1、1模块复习课核心知识回顾一、常用逻辑用语1命题及其关系(1)原命题：若 p，则 q.则逆命题：若 q，则 p.否命题：若 p，则 q.逆否命题：若 q，则 p.(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性2充分条件与必要条件(1)若 pq，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件(2)若 pq，则 p 是 q 的充要条件(3)若 pq， q p，则 p 是 q 的充分不必要条件/(4)若 p q， qp，则 p 是 q 的必要不充分条件/(5)若 p q， q p，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件/ /3简单的逻辑联结词(1)命题 p q 的真假：“全真则真” ， “一假则
2、假” (2)命题 p q 的真假：“一真则真” ， “全假则假” (3)命题 p 的真假： p 与 p 的真假性相反4全称命题与特称命题的否定(1)全称命题的否定p： x M， p(x) p： x0 M， p(x0)(2)特称命题的否定p： x0 M， p(x0) p： x M， p(x)二、圆锥曲线与方程1椭圆(1)椭圆的定义平面内与两个定点 F1， F2的距离的和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆(2)椭圆的标准方程2焦点在 x 轴上： 1( ab0)，x2a2 y2b2焦点在 y 轴上： 1( ab0)y2a2 x2b2(3)椭圆的几何性质范围：对于椭圆 1( ab0)，
3、a x a， b y b.x2a2 y2b2对称性：椭圆 1 或 1( ab0)，x2a2 y2b2 y2a2 x2b2关于 x 轴， y 轴及原点对称顶点：椭圆 1 的顶点坐标为 A1( a,0)， A2(a,0)， B1(0， b)， B2(0， b)x2a2 y2b2离心率： e ，离心率的范围是 e(0,1)ca a， b， c 的关系： a2 b2 c2.2双曲线(1)双曲线的定义：平面内与两个定点 F1， F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线(2)双曲线的标准方程焦点在 x 轴上： 1( a0， b0)，x2a2 y2b2焦点在 y 轴上： 1(
4、 a0， b0)；y2a2 x2b2(3)双曲线的几何性质范围：对于双曲线 1( a0， b0)， y a 或 y a， xR，y2a2 x2b2对称性：双曲线 1 或 1( a0， b0)关于 x 轴， y 轴及原点对称x2a2 y2b2 y2a2 x2b2顶点：双曲线 1( a0， b0)的顶点坐标为 A1( a,0)， A2(a,0)，双曲线 x2a2 y2b2 y2a21( a0， b0)的顶点坐标为 A1(0， a)， A2(0， a)，x2b2渐近线：双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x，双曲线x2a2 y2b2 ba 1( a0， b0)的渐近线方程为 y x.y2
5、a2 x2b2 ab离心率： e ，双曲线离心率的取值范围是 e(1，)，ca a， b， c 的关系： c2 a2 b2.33抛物线(1)抛物线的定义平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线(2)抛物线的标准方程焦点在 x 轴上： y22 px(p0)，焦点在 y 轴上： x22 py(p0)(3)抛物线的几何性质范围：对于抛物线 x22 py(p0)，xR， y0，)对称性：抛物线 y22 px(p0)，关于 x 轴对称，抛物线 x22 py(p0)，关于 y 轴对称顶点：抛物线 y22 px 和 x22 py(p0)的顶点坐标为(0,0)离心率：
6、抛物线上的点 M 到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知 e1.三、空间向量与立体几何1空间向量及其运算(1)共线向量定理： a ba b(b0)(2)P， A， B 三点共线 x y (x y1)OP OA OB (3)共面向量定理： p 与 a， b 共面 p xa yb(4)P， A， B， C 四点共面 x y z (x y z 1)，OP OA OB OC (5)空间向量基本定理如果三个向量 a， b， c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y， z，使得 p xa yb zc，把 a， b， c叫做空间的一个基底(6)空间向量运算的
7、坐标表示设 a( a1， a2， a3)， b( b1， b2， b3)，则 ab( a1b1， a2b2， a3b3)， a( a 1， a 2， a 3)， ab a1b1 a2b2 a3b3， a ba ba1 b 1， a2 b 2， a3 b 3， a bab0 a1b1 a2b2 a3b30，| a| ，aa a21 a2 a23cos a， b ，ab|a|b| a1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b234若 A(x1， y1， z1)， B(x2， y2， z2)，则 ( x2 x1， y2 y1， z2 z1)，| |AB AB .(x2 x1)2
8、(y2 y1)2 (z2 z1)22立体几何中的向量方法(1)异面直线所成的角两条异面直线所成的角为 ，两条异面直线的方向向量分别为 a， b，则 cos |cos a， b| ，|ab|a|b|(2)直线与平面所成的角直线与平面所成的角为 ，直线的方向向量为 a，平面的法向量为 n，则 sin |cos a， n|an|a|n|(3)二面角二面角为 ， n1， n2为两平面的法向量，则|cos |cos n1， n2|n1n2|n1|n2|易错易混辨析1一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性()提示 一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性2使 ab 成立的充分不必要条件是
9、 ab1.()提示 ab1 ab./3 “p q”的否定为“( p)( q)”， “p q”的否定为“( p)( q)”() 提示 “且”的否定为“或” ， “或”的否定为“且” 4命题 p： x(0，)，则 x22 x10，则 p 为： x0(，0，使x 2 x010.()20提示 p 应为 x0(0，)，使 x 2 x010.205命题“若 f(x)是奇函数，则 f( x)是奇函数”的否命题是“若 f(x)是偶函数，则f( x)是偶函数” ()提示 命题“若 f(x)是奇函数，则 f( x)是奇函数”的否命题是“若 f(x)不是奇函数，则 f( x)不是奇函数” 6命题“菱形的两条对角线相
10、等”是全称命题且是真命题()提示 此命题是全称命题，但是是假命题7 “x6”是“ x1”的充分但不必要条件()提示 x6x1，但 x1 x6./8若命题 p q 为假，且 p 为假，则 q 假()5提示 由 p 为真， p q 为假知， q 为假9椭圆上的点到焦点的最大距离为 a c，最小距离为 a C ()提示 椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值10已知 F1(4,0)， F2(4,0)，平面内到 F1， F2两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆()提示 | F1F2|8，故点的轨迹是线段 F1F2.11椭圆 2x23 y212 的焦点坐标为(0， )()2提示 椭圆标准方程为
11、1， c2 a2 b22，故椭圆的焦点坐标为x26 y24( ， 0)212已知椭圆的标准方程为 1( m0)，焦距为 6，则实数 m 的值为 4. ()x225 y2m2提示 当焦点在 x 轴上时，由 25 m29 得 m4，当焦点在 y 轴上时， m2259得 m .3413已知 F1(5,0)， F2(5,0)，动点 P 满足| PF1| PF2|10，则点 P 的轨迹是双曲线的右支()提示 点 P 的轨迹是一条射线14 “0 k0)中过焦点的最短弦长为 2p.()提示 抛物线中通径是最短的弦长20抛物线 y ax2(a0)的准线方程为 y2，则实数 a 的值是 .()186提示 抛物线
12、标准方程为 x2 y，则 2，解得 a .1a 14a 1821若空间任一点 O 和不共线的三点 A， B， C 满足 ，则点 P 与OP 12OA 32OB OC A， B， C 共面()提示 11，故四点共面12 3222 a， b 为空间向量，则 cos a， bcos b， a ()提示 a， b b， a ，则 cos a， bcos b， a 23两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直()提示 由平面法向量的定义可知24直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直()提示 直线的方向向量与平面的法向量平行25若向量 e1， e2， e3是三个不共面的向量，且满足 k1e1
13、k2e2 k3e30，则k1 k2 k30.()提示 假设 k10，则 e1 e2 e3，则 e1， e2， e3共面k2k1 k3k126若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为 150，则直线与平面所成的角为30.()提示 直线与平面所成的角为 60.27若直线与平面所成的角为 0，则直线在平面内()提示 直线与平面也可能平行28两个平面的法向量所成的角为 120，则两个平面所成的二面角也是 120.()提示 二面角的度数是 120或 60.29两条异面直线所成的角为 30，则两条直线的方向向量所成的角可能是 150.()提示 根据向量所成角的定义知正确30若二面角是 30，则在二面角的两
14、个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是 30.()提示 在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是 30或150.高考真题感悟1已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y x，且与椭圆x2a2 y2b2 52 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )x212 y237A 1 B 1x28 y210 x24 y25C 1 D 1x25 y24 x24 y23B 由 y x 可得 .52 ba 52由椭圆 1 的焦点为(3,0)，(3,0)，x212 y23可得 a2 b29.由可得 a24， b25.所以 C 的方程为 1.x24 y25故选 B2已
15、知椭圆 C： 1( a b0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直x2a2 y2b2径的圆与直线 bx ay2 ab0 相切，则 C 的离心率为( ) 【导学号：46342195】A B63 33C D23 13A 由题意知以 A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 a.又直线 bx ay2 ab0 与圆相切，圆心到直线的距离 d a，解得 a b，2aba2 b2 3 ，ba 13 e .ca a2 b2a 63故选 A3若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被圆( x2) 2 y24 所截得的x2a2 y2b2弦长为 2，则 C 的离心率为( )A2 B
16、 3C D2233A 设双曲线的一条渐近线方程为 y x，ba8圆的圆心为(2,0)，半径为 2，由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 .22 12 3根据点到直线的距离公式得 ，解得 b23 a2.|2b|a2 b2 3所以 C 的离心率 e 2.ca c2a2 1 b2a2故选 A4已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC120， AB2， BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( )A B32 155C D105 33C 方法 1：将直三棱柱 ABCA1B1C1补形为直四棱柱 ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接 AD1， B1D1， BD图由题意知 AB
17、C120， AB2， BC CC11，所以 AD1 BC1 ， AB1 ， DAB60.2 5在 ABD 中，由余弦定理知 BD22 21 2221cos 603，所以 BD ，所以3B1D1 .3又 AB1与 AD1所成的角即为 AB1与 BC1所成的角 ，所以 cos .AB21 AD21 B1D212AB1AD1 5 2 3252 105故选 C方法 2：以 B1为坐标原点， B1C1所在的直线为 x 轴，垂直于 B1C1的直线为 y 轴， BB1所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图所示9由已知条件知 B1(0,0,0)， B(0,0,1)， C1(1,0,0)， A(1， ，1
18、)，则 (1,0，1)，3 BC1 (1， ，1)AB1 3所以 cos ， .AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 252 105所以异面直线 AB1与 BC1所成的角的余弦值为 .105故选 C5已知 F 为抛物线 C： y24 x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1， l2，直线 l1与 C 交于 A， B 两点，直线 l2与 C 交于 D， E 两点，则| AB| DE|的最小值为( )A16 B14C12 D10A 因为 F 为 y24 x 的焦点，所以 F(1,0)由题意直线 l1， l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 ，
19、1k故直线 l1， l2的方程分别为 y k(x1)， y (x1)1k由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x21，2k2 4k2所以| AB| |x1 x2|1 k2 1 k2 (x1 x2)2 4x1x2 .1 k24(1 k2)k2同理可得| DE|4(1 k2)所以| AB| DE| 4(1 k2)4(1 k2)k24 (1k2 1 1 k2)1084 84216，(k21k2)当且仅当 k2 ，即 k1 时，取得等号1k2故选 A6如图 1，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂
20、直于底面ABCD， AB BC AD， BAD ABC90， E 是 PD 的中点12图 1(1)证明：直线 CE平面 PAB；(2)点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45，求二面角 MABD 的余弦值. 【导学号：46342196】解 (1)证明：取 PA 的中点 F，连接 EF， BF.因为 E 是 PD 的中点，所以 EF AD， EF AD12由 BAD ABC90得 BC AD，又 BC AD，所以 EF BC，12 四边形 BCEF 是平行四边形， CE BF.又 BF平面 PAB， CE平面 PAB，故 CE平面 PAB(2)由已知得 BA AD，
21、以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，| |为单位长度，AB AB 建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(1,1,0)， P(0,1， )，3(1,0， )， (1,0,0) PC 3 AB 设 M(x， y， z)(00.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8km4k2 1 4m2 44k2 1而 k1 k2 y1 1x1 y2 1x2 kx1 m 1x1 kx2 m 1x2 .2kx1x2 (m 1)(x1 x2)x1x2由题设 k1 k21，故(2 k1) x1x2( m1)( x1 x2
22、)0.即(2 k1) ( m1) 0，解得 k .4m2 44k2 1 8km4k2 1 m 12当且仅当 m1 时， 0，于是 l： y x m，m 12即 y1 (x2)，m 12所以 l 过定点(2，1)8设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： y21 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为x22N，点 P 满足 .NP 2NM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3 上，且 1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的OP PQ 左焦点 F. 【导学号：46342197】解 (1)设 P(x， y)， M(x0， y0)，则 N(x0,0)， ( x
23、x0， y)， (0， y0)NP NM 由 得 x0 x， y0 y.NP 2NM 22因为 M(x0， y0)在 C 上，所以 1.x22 y22因此点 P 的轨迹方程为 x2 y22.13(2)由题意知 F(1,0)设 Q(3， t)， P(m， n)，则 (3， t)，OQ (1 m， n)，PF 33 m tn，OQ PF ( m， n)， (3 m， t n)OP PQ 由 1 得3 m m2 tn n21，OP PQ 又由(1)知 m2 n22，故 33 m tn0.所以 0，即 .OQ PF OQ PF 又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
