1、1专题强化训练(二) 圆锥曲线与方程(建议用时：45 分钟)基础达标练一、选择题1已知 F1(5,0)， F2(5,0)，动点 P 满足| PF1| PF2|2 a，当 a 分别为 3 和 5 时，点 P 的轨迹分别为 ( )A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线C 依题意，得| F1F2|10.当 a3 时，| PF1| PF2|2 a6b0)，则 c .又 2b2，即 b1，所以y2a2 x2b2 5a2 b2 c26，则所求椭圆的标准方程为 x2 1.y263若双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率 e( ) x2
2、a2 y2b2【导学号：97792113】A. B2 C. D32 3A 由题意知 1，即 1，ba ba b2a2 e21 2，即 e .b2a2 24直线 y 与双曲线 y21 交点的个数是( )13(x 72) x292A0 B1 C2 D3B 双曲线的渐近线方程为 y x，则直线 y 与双曲线的一条渐近线平行，13 13(x 72)所以直线与双曲线只有一个交点5若直线 mx ny4 和圆 O： x2 y24 没有交点，则过点 P(m， n)的直线与椭圆 x291 的交点个数为( )y24A2 B1 C0 D0 或 1A 由题意，得 2，所以 m2 n21)，x2a2则右焦点 F( ，0
3、)，a2 1由题设，知 3，|a2 1 22|2解得 a23，故所求椭圆的方程为 y21.x23(2)设点 P 为弦 MN 的中点，由Error!得(3 k21) x26 mkx3( m21)0，由于直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m2m2，解得 00，解得 m ，2m 13 12故所求 m 的取值范围是 .(12， 2)10已知椭圆 C 经过点 A ，两个焦点为(1，0)，(1,0)(1，32)(1)求椭圆 C 的方程；4(2)E， F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值解 (1)由题意， c1，设椭圆
4、的方程为 1.x21 b2 y2b2因为 A 在椭圆上，所以 1，11 b2 94b2解得 b23 或 b2 (舍去)34所以椭圆的方程为 1.x24 y23(2)证明：设直线 AE 的方程为 y k(x1) ，32代入 1，x24 y23得(34 k2)x24 k(32 k)x4 120，(32 k)2 设 E(xE， yE)， F(xF， yF)，所以 xE ， yE kxE k.32又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中以 k 代 k，可得xF ， yF kxF k.32所以直线 EF 的斜率kEF .yF yExF xE k xF xE 2kxF xE 12即直线 E
5、F 的斜率为定值，其值为 .12能力提升练1已知双曲线 C 的两条渐近线为 l1， l2，过右焦点 F 作 FB l1且交 l2于点 B，过点B 作 BA l2且交 l1于点 A.若 AF x 轴，则双曲线 C 的离心率为( )A. B. 3233C. D262 2B 如图，延长 AF 交 l2于 A1，则易得| OA| OA1|.在 OAA1中， F 为 AA1的中点，而BF OA，所以 B 为 OA1的中点又 AB OA1，于是 OAA1中边 OA1上的高线与中线重合，从而OAA1为等边三角形，所以边 OA 即直线 l1与 x 轴的夹角为 30，所以5e .1cos 302332在平面直角
6、坐标系 xOy 中，双曲线 y21 的右准线与它的两条渐近线分别交于x23点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是_2 如图所示，双曲线 y21 的焦点为 F1(2,0)， F2(2,0)，3x23所以| F1F2|4.双曲线 y21 的右准线方程为 x ，x23 a2c 32渐近线方程为 y x.33由Error! 得 P .同理可得 Q .(32， 32) (32， 32)| PQ| ，3 S 四边形 F1PF2Q |F1F2|PQ| 4 2 .12 12 3 33与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2)的双曲线的标准方程为_. x216 y24 2【导学
7、号：97792115】 1 法一：设双曲线的标准方程为 1( a0， b0)又点(3 ，2)在双x212 y28 x2a2 y2b2 2曲线上，故 1. 又 a2 b216420，得 a212， b28，则双曲线的标准 32 2a2 4b2方程为 1.x212 y28法二：设双曲线的标准方程为 1(41 时，设切线 l 的方程为 y k(x m)由Error!得(14 k2)x28 k2mx4 k2m240.设 A， B 两点的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则x1 x2 ， x1x2 .8k2m1 4k2 4k2m2 41 4k2又由 l 与圆 x2 y21 相切，得 1，|km|k2 1即 m2k2 k21.所以| AB| x2 x1 2 y2 y1 2 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 . 1 k2 64k4m2 1 4k2 2 4 4k2m2 41 4k2 43|m|m2 3由于当 m1 时，| AB| ，3所以| AB| ， m(，11，)43|m|m2 3因为| AB| 2，43|m|m2 3 43|m| 3|m|当且仅当 m 时，| AB|2，3所以| AB|的最大值为 2.
