1、14.2.2 最大值、最小值问题（二）基础达标1.内接于半径为 R 的半圆中的矩形，周长最大的矩形边长为( )A. 和 R B. R 和 RR2 32 55 455C. R 和 R D. 以上都不对45 75解析：选 B.设矩形一边长为 x，则另一边长为 2 ，则 l2 x4 (00，4xR2 x2 55 55 55当 R0)，500x x 275y x2.250x 225由 y0，得 x25，当 x(0，25)时， y0；当 x(25，)时， y0；当 0)，为使耗电量最小，则速度应为_13 392解析：由 y x239 x400，得 x1 或 40，由于 040时， y0.所以，当 x40
2、 时， y 有最小值答案：408.已知函数 f(x) xln x若对于任意 x 不等式 2f(x) x2 ax3 恒成立，1e， e则实数 a 的取值范围为_解析：由题意知，2 xln x x2 ax3，则 a2ln x x .设 h(x)2ln 3xx x (x0)，则 h( x) 1 .当 x 时， h( x)3x 2x 3x2 （ x 3） （ x 1）x2 1e， 1)0， h(x)单调递减；当 x(1，e时， h( x)0， h(x)单调递增由h 2 3e， h(e)2e ， h h(e)2e 40，可得 h h(e)所以当(1e) 1e 3e (1e) 2e (1e)x 时， h(
3、x)的最大值为 h 2 3e.故 a2 3e.1e， e (1e) 1e 1e答案：2 3e，)1e9.一矩形铁皮的长为 8 cm，宽为 5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3解：设小正方形的边长为 x cm，则盒子底面长为(82 x) cm，宽为(52 x) cm.V(82 x)(52 x)x4 x326 x240 x(00 得 10)，ln xx ln xxf( x) ，当 x(0，e)时， f( x)0，当 x(e，)时， f( x)0，2x3 124 f( x)0，即 f(x)在 上是增函数12， 1 f(x)的最大值为 f(1)2 a1， f(x)的最小值为 f a4.(12)由已知，得 2a 1 （ a 4） 1， )得 a0， y0， y2 (00， f(x)为增函数；12当 x1 时， f( x)0， f(x)为减函数12 f( )是 f(x)在区间(0，1)上的极大值，也是最大值，且 f( ) ，此时 S .故12 12 274 332当 x 时， S 取得最大值 .12 332
