1、11.5.1 平行关系的判定A.基础达标1设 AB， BC， CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们的中点的平面和直线 AC的位置关系是( )A平行 B相交C平行或相交 D AC 在此平面内解析：选 A.如图所示， E， F， G 分别为 AB， BC， CD 的中点，不难得出EF AC.显然 EF 平面 EFG， AC 平面 EFG，所以有 AC平面 EFG.2. 平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为( )A平行 B 相交C平行或相交 D 可能重合解析：选 C.若三点分布于平面 的同侧，则 与 平行，若三点分布于平面 的两侧，则 与 相交3在正方体 A
2、BCDA1B1C1D1中，与平面 AB1D1平行的平面是( )A平面 BCD B平面 BCC1C平面 BDC1 D平面 CDC1解析：选 C.由于 BD B1D1，且 BD 平面 AB1D1， B1D1 平面 AB1D1，所以 BD平面AB1D1，因为 BC1 AD1，且 BC1 平面 AB1D1， AD1 平面 AB1D1，所以 BC1平面 AB1D1，从而平面 BDC1平面 AB1D1.4下列三个命题，其中真命题的个数是( )两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；两个平面如果没有公共点，那么这两个平面平行；两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行A1 B2C3 D0解析：选 A.中
3、两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面；是真命题；中两个平面都平行于同一条直线，这两个平面可能平行，也可能相交5在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 是棱 A1D1上的动点，则直线 MD 与平面 AA1C1C 的位置关系是( )A平行 B相交C直线在平面内 D相交或平行解析：选 D.如图，若点 M 与点 D1重合，因为 D1D A1A， D1D 平面 AA1C1C， A1A 平面 AA1C1C，2所以 D1D平面 AA1C1C，即 DM平面 AA1C1C.若点 M 与点 D1不重合，设 DM AA1 P，则 DM平面 AA1C1C P.6在空间四边形 ABCD 中， M AB
4、， N AD，若 ，则直线 MN 与平面 BDC 的位置关AMMB ANND系是_解析：连接 BD，因为 ，AMMB ANND所以 MN BD.因为 BD 平面 BDC， MN 平面 BDC，所以 MN平面 BDC.答案：平行7在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 为 DD1的中点，则 BD1与过 A， C， E 的平面的位置关系是_解析：如图，连接 AC 交 BD 于点 O.则 O 为 BD 的中点，又 E 为 DD1的中点，连接 EO，所以 OE 为 BDD1的中位线，所以OE BD1.又因为 BD1 平面 ACE， OE 平面 ACE，所以 BD1平面 ACE.答案：平行8设 a，
5、 b 是直线， 是平面，给出下列三个命题：若 a b， a ，则 b ；若 a b， b 与 相交，则 a 与 也相交；若 a 与 b 异面， a ，则 b .其中正确命题的序号是_解析：如图的正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 AD直线 B1C1，直线 AD平面 A1C1，但是直线 B1C1 平面 A1C1，所以不正确；显然正确，可以用反证法证明；直线 AD 与直线 B1A1异面，直线 AD平面 A1C1，但是直线 B1A1 平面 A1C1，所以不正确答案：9已知底面是平行四边形的四棱锥 PABCD，点 E 在 PD 上，且 PE ED21.在棱 PC上是否存在一点 F，使 BF平面
6、AEC？若存在，求出点 F 的位置；若不存在，请说明理由解：存在如图，连接 BD 交 AC 于 O 点，连接 OE，过 B 点作 OE 的平行线交 PD 于点3G，过点 G 作 GF CE，交 PC 于点 F，连接 BF.因为 BG OE， BG 平面 AEC， OE 平面 AEC，所以 BG平面 AEC.同理， GF平面 AEC，又 BG GF G.所以平面 BGF平面 AEC，所以 BF平面 AEC.因为 BG OE， O 是 BD 的中点，所以 E 是 GD 的中点又因为 PE ED21，所以 G 是 PE 的中点而 GF CE，所以 F 为 PC 的中点综上，当点 F 是 PC 的中点
7、时， BF平面 AEC.10已知正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AA1， CC1的中点，求证：平面 BDF平面 B1D1E.证明：如图，取 BB1的中点 G，连接 EG， GC1，则有 EG 綊 A1B1.又 A1B1綊 C1D1，所以 EG 綊 C1D1.所以四边形 EGC1D1为平行四边形，所以 D1E 綊 GC1.又 BG 綊 C1F，所以四边形 BGC1F 为平行四边形所以 BF C1G，所以 BF D1E.由 BF 平面 B1D1E， D1E 平面 B1D1E，得 BF平面 B1D1E，又 BD B1D1，同理可得 BD平面 B1D1E.又因为 BF BD B
8、，所以平面 BDF平面 B1D1E.B.能力提升1. 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M 为棱 A1D1的动点， O 为底面 ABCD 的中心， E、 F 分别是 A1B1、 C1D1的中点，下列平面中与 OM 扫过的平面平行的是( )A面 ABB1A1 B 面 BCC1B1C面 BCFE D 面 DCC1D1解析：选 C.4取 AB、 DC 的中点 E1和 F1， OM 扫过的平面即为面 A1E1F1D1.故面 A1E1F1D1面 BCFE.2空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A梯形 B 矩形C平行四边形 D 正方形解析：选 D.因为
9、 BD AC 且 BD AC，又 F、 E、 G、 H 分别为中点，所以 FG 綊 EH 綊 BD，12HG 綊 EF 綊 AC，12所以 FG HG 且 FG HG，所以四边形 EFGH 为正方形3三棱锥 S-ABC 中， G 为 ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE2 ES，则 EG 与平面 SBC的关系为_解析：如图，取 BC 中点 F，连接 SF， AF.因为 G 为 ABC 的重心，所以 A、 G、 F 共线且 AG2 GF.又因为 AE2 ES，所以 EG SF.因为 SF 平面 SBC， EG 平面 SBC，所以 EG平面 SBC.答案：平行4已知直线 l， m，平面
10、， ，下列命题正确的是_ l ， l ； l ， m ， l ， m ； l m， l ， m ； l ， m ， l ， m ， l m M .解析：如图所示长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB CD，则 AB平面 DC1， AB 平面 AC，但是平面 AC 与平面 DC1不平行，所以错误；取 BB1的中点 E， CC1的中点 F，则可证 EF平面 AC， B1C1平面AC.EF 平面 BC1， B1C1 平面 BC1，但是平面 AC 与平面 BC1不平行，所以错误；可证 AD B1C1， AD 平面 AC， B1C1 平面 BC1，又平面 AC 与平面5BC1不平行，所以错误；很明显
11、 D 是面面平行的判定定理，所以正确答案：5如图，正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N， E， F 分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1的中点，求证：平面 AMN平面 EFDB.证明：因为 M， N， E， F 分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1， C1D1的中点，所以 MN EF.由直线与平面平行的判定定理， MN平面 EFDB，同理有 AM平面 EFDB.因为 MN AM M，所以平面 AMN平面 EFDB.6(选做题)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，点 M， N 分别为BC， PA 的中点，在线段 PD 上是否存在一点 E，使得 NM平面 ACE；若存在，说明点 E 的位置；若不存在，说明理由解：存在取 PD 的中点 E，连接 NE， EC， AE， AC，因为 N， E 分别为 PA， PD 的中点，所以 NE AD 且 NE AD.12又在平行四边形 ABCD 中， CM AD 且 CM AD，所以 NE 綊 MC，即四边形 MCEN 是平行12四边形，所以 NM EC.又 EC 平面 ACE， NM 平面 ACE，所以 MN平面 ACE，即在线段 PD 上存在一点 E，使得 NM平面 ACE，此时 PE PD.12
