1、11.2.4 第二课时 两平面垂直学业水平训练1.已知 PA矩形 ABCD 所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有_对解析： DA AB， DA PA， AB PA A， DA平面 PAB，同理 BC平面 PAB，AB平面 PAD， DC平面 PAD，平面 AC平面 PAD，平面 AC平面 PAB，平面 PBC平面 PAB，平面 PDC平面 PAD，平面 PAB平面 PAD，共 5 对答案：52.如图，四面体 P-ABC 中， PA PB ，平面 PAB平面13ABC， ABC90， AC8， BC6，则 PC_.解析：取 AB 的中点 E，连结 PE， PA PB， PE AB.又平面
2、PAB平面 ABC， PE平面 ABC，连结 CE，所以 PE CE. ABC90， AC8， BC6， AB2 ， PE ，7 PA2 AE2 6CE ，BE2 BC2 43PC 7.PE2 CE2答案：73若 P 是 ABC 所在平面外一点，而 PBC 和 ABC 都是边长为 2 的正三角形， PA ，6那么二面角 P-BC-A 的大小为_解析：取 BC 的中点 O，连结 OA， OP(图略)，则 POA 为二面角 P-BC-A 的平面角，OP OA ， PA ，所以 POA 为直角三角形， POA90.3 6答案：904.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工
3、件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是_解析：如图：因为 OA OB， OA OC， OB ， OC 且 OB OC O，根据线面垂直的判定定理，可得 OA ，又 OA ，根据面面垂直的判定定理，可得 .答案：面面垂直的判定定理5.平面四边形 ABCD，其中 AB AD1， BC CD ， AB AD，沿 BD 将2 ABD 折起，使得 AC1，则二面角 A-BD-C 的平面角的正弦值为_解析：取 BD 中点 E，连结 AE， CE. AB AD， BC CD，2 AE BD， CE BD， AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角 DAB 中，
4、 AB AD1， AB AD， AE .22 BCD 中， BC CD ，2BD ，2 CE .又 AC1，62 AEC 中， AE2 AC2 CE2， EAC90.sin AEC .ACEC 26 63答案：636如图，把边长为 a 的正三角形 ABC 沿高线 AD 折成 60的二面角，这时顶点 A 到 BC 的距离是_解析：在翻折后的图形中， BDC 为二面角 B AD C 的平面角，即 BDC60， AD平面 BDC.过 D 作 DE BC 于 E，连结 AE，则 E 为 BC 的中点，且 AE BC，所以 AE 即为点 A 到 BC 的距离易知， AD a， BCD 是边长为 的等边三
5、角形，所以32 a2DE a， AE a.34 AD2 DE2 154答案： a1547如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，直线 SC平面 ABCD， E 是SA 的中点，求证：平面 EDB平面 ABCD.证明：连结 AC，交 BD 于点 F，连结 EF， EF 是 SAC 的中位线， EF SC. SC平面 ABCD， EF平面 ABCD.又 EF平面 EDB，平面 EDB平面 ABCD.38.如图：三棱锥 P-ABC 中，已知 ABC 是等腰直角三角形， ABC90， PAC 是直角三角形， PAC90， ACP30，平面 PAC平面 ABC.求证：平面 PAB平面 PBC.证明：平
6、面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面 ABC AC， PA AC， PA平面 ABC.又 BC平面 ABC， PA BC.又 AB BC， AB PA A， AB平面 PAB， PA平面 PAB. BC平面 PAB.又 BC平面 PBC，平面 PAB平面 PBC.高考水平训练1如图所示，沿直角三角形 ABC 的中位线 DE 将平面 ADE 折起，使得平面 ADE平面BCDE，得到四棱锥 A-BCDE.则平面 ABC 与平面 ACD 的关系是_解析： AD DE，平面 ADE平面 BCDE，且平面 ADE平面 BCDE DE， AD平面 BCDE.又 BC平面 BCDE， AD BC.又 B
7、C CD， CD AD D， BC平面 ACD，又 BC平面 ABC，平面 ABC平面 ACD.答案：垂直2.如图，二面角 -l- 的大小是 60，线段 AB ， B l， AB 与 l 所成的角为 30，则 AB 与平面 所成的角的正弦值是_解析：如图，过点 A 作 AC l，垂足为 C， AD ，垂足为 D，连结 CD、 BD.由题意知 ACD60， ABC30， ABD 即为 AB 与平面 所成的角设 AC a，则 AB2 a， AD a，32sin ABD .32a2a 34答案：343如图，在矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 是 AB 的中点，沿 DE 将 ADE 折起(1)
8、如果二面角 A-DE-C 是直二面角，求证： AB AC；(2)如果 AB AC，求证：平面 ADE平面 BCDE.4证明：(1)过点 A 作 AM DE 于点 M，则 AM平面 BCDE， AM BC.又 AD AE， M 是 DE 的中点，取 BC 中点 N，连结 MN， AN，则 MN BC.又 AM BC， AM MN M， BC平面 AMN， AN BC.又 N 是 BC 的中点， AB AC.(2)取 BC 的中点 N，连结 AN， AB AC， AN BC.取 DE 的中点 M，连结 MN， AM， MN BC.又 AN MN N， BC平面 AMN， AM BC.又 M 是 D
9、E 的中点， AD AE， AM DE.又 DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线， AM平面 BCDE. AM平面 ADE，平面 ADE平面 BCDE.4.如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的菱形， DAB60，侧面 PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD.(1)求证： AD PB；(2)若 E 为 BC 边的中点，能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF平面ABCD？并证明你的结论解：(1)证明：如图所示，设 G 为 AD 的中点，连接 PG， BG， PAD 为正三角形， PG AD.在菱形 ABCD 中， BAD60，G 为 AD 的中点， BG AD.又 BG PG G， AD平面 PGB. PB平面 PGB， AD PB.(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF平面 ABCD.设 F 为 PC 的中点，则在 PBC 中， FE PB.在菱形 ABCD 中， GB DE. FE平面 DEF， DE平面 DEF， EF DE E，平面 DEF平面 PGB.由(1)得 PG平面 ABCD，而 PG平面 PGB，平面 PGB平面 ABCD，平面 DEF平面 ABCD.
