1、11.6.1 垂直关系的判定A.基础达标1垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是( )A垂直 B斜交C平行 D不能确定解析：选 A.梯形的两腰所在的直线相交，根据线面垂直的判定定理可知选项 A 正确2下列结论正确的是( )A若直线 a平面 ，直线 b a， b 平面 ，则 B若直线 a直线 b， a平面 ， b平面 ，则 C过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直D过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选 B.A 选项中满足条件的平面 与平面 可能垂直，也可能平行或斜交，故A 错；C 选项中当平面外的直线与平面垂直时，过该直线有无数个平面与已知平面垂直，故 C 错；过
2、平面外一点有无数个平面与已知平面垂直，故 D 错3.如图，已知正方形 ABCD 所在平面外有一点 M，如果 MC平面 ABCD所在的平面，那么 MA 与 BD 的位置关系是( )A平行 B垂直相交C垂直异面 D相交但不垂直解析：选 C.因为 MC平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 MC BD.又 BD AC，AC MC C 且 AC， MC 在平面 ACM 内，所以 BD平面 ACM.又 AM 平面 ACM，所以 BD MA，但 BD 与 MA 不相交4长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB AD2 ， CC1 ，则二面角 C1BDC 的大小为( )3 2A30 B45C60 D
3、90解析：选 A.如图，连接 AC 交 BD 于 O，连接 C1O.因为 AB AD，所以底面为正方形，所以 AC BD.又因为 BC CD，所以 C1D C1B， O 为 BD 的中点，所以 C1O BD.所以 C1OC 就是二面角 C1BDC 的平面角则在 C1OC 中， CC1 ，2CO ，12 （ 23） 2 （ 23） 2 6tan C1OC ，CC1CO 26 33所以 C1OC30.5.如图， BC 是 Rt ABC 的斜边，过 A 作 ABC 所在平面 的垂线AP，连接 PB， PC，过 A 作 AD BC 于点 D，连接 PD，那么图中直角三角形的个数是( )A4 B6C7
4、D8解析：选 D.容易证得 PA BC，又 AD BC， PA AD A，所以 BC平面 PAD，从而图中： ABC， PAB， PAC， PAD， ABD， ACD， PBD， PCD 均为直角三角形共有 82个6已知 PA 垂直于 ABCD 所在平面，若 PC BD，则 ABCD 的形状是_解析：因为 PA平面 ABCD， BD 平面 ABCD，所以 PA BD.又因为PC BD， PA PC P，所以 BD平面 PAC，所以 BD AC，所以 ABCD 一定是菱形答案：菱形7如图，已知 AB平面 BCD， BC CD，则图中互相垂直的平面共有_对解析：因为 AB平面 BCD，所以平面 A
5、BD平面 BCD，平面 ABC平面 BCD，又因为BC CD， AB CD， AB BC B，所以 DC平面 ABC，所以平面 ADC平面 ABC.故共有 3 对答案：38如图，在正方形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿AE， AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B， C， D 三点重合，重合后的点记为 H，那么给出下面四个结论： AH平面 EFH； AG平面 EFH； HF平面 AEF； HG平面 AEF.其中正确命题的序号是_解析：在这个空间图形中， AH HF， AH HE， HF HE H，所以 AH平面 EFH.答案
6、：9如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上，A1D B1C1.求证：(1) EF平面 ABC.(2)平面 A1FD平面 BB1C1C.证明：(1)由 E， F 分别是 A1B， A1C 的中点知 EF BC.因为 EF 平面 ABC， BC 平面 ABC.所以 EF平面 ABC.(2)由三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱知 CC1平面 A1B1C1.又 A1D 平面 A1B1C1，故 CC1 A1D.又因为 A1D B1C1， CC1 B1C1 C1，故 A1D平面 BB1C1C，又 A1D 平面 A1FD，所以平面 A1
7、FD平面 BB1C1C.10在 ABC 中， BAC60， P 是 ABC 所在平面外一点，PA PB PC， APB APC90.(1)求证： PB平面 PAC.3(2)若 H 是 ABC 的重心，求证： PH平面 ABC.证明：(1)如图，由题设易得 AB AC，因为 BAC60，所以 ABC 为等边三角形，所以 AB BC.因为 PA PB PC，所以 PAB PBC，所以 BPC APB90，即 PB PC.又 PB PA， PA PC P，所以 PB平面 PAC.(2)取 BC 的中点 D，因为 PB PC，所以 PD BC.同理可得 AD BC， PD AD D，所以 BC平面 P
8、AD.因为 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线，所以 ABC 的重心 H 在 AD 上，所以 BC PH，同理可得 AB PH.又 AB BC B，所以 PH平面 ABC.B.能力提升1.如图，已知四边形 ABCD 是正方形， PA平面 ABCD，则图中所有互相垂直的平面共有( )A8 对 B7 对C6 对 D5 对解析：选 B.由 PA平面 ABCD 可得平面 PAB平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD，平面PAC平面 ABCD.又 ABCD 为正方形， CD AD，因为 PA CD， PA AD A，所以 CD平面PAD，所以平面 PCD平面 PAD，平面 PAB平面 PAD.同
9、理可得，平面 PBC平面 PAB，平面PAC平面 PBD.共 7 对2.如图，在三棱锥 PABC 中，已知 PC BC， PC AC，点 E， F， G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是( )A平面 EFG平面 PBCB平面 EFG平面 ABCC BPC 是直线 EF 与直线 PC 所成的角D FEG 是平面 PAB 与平面 ABC 所成二面角的平面角解析：选 D.由已知 PC BC， PC AC，又 AC BC C，所以 PC平面 ABC.又 FG PC，所以 FG平面 ABC.又 FG 平面 EFG，所以平面 EFG平面 ABC，故 B 正确因为 FG PC， GE BC，所以平面
10、 EFG平面 PBC.故 A 正确由异面直线所成角的定义知 C 正确故选 D.3已知点 O 为三棱锥 PABC 的顶点 P 在平面 ABC 内的投影，若 PA PB PC，则 O 为 ABC 的_心；若 PA BC， PB AC，则 O 为 ABC 的_心；若 P 到三边AB， BC， CA 的距离都相等且点 O 在 ABC 的内部，则 O 为 ABC 的4_心解析：连接 OA， OB， OC，由 PA PB PC，所以 OA OB OC， O 是 ABC 的外心若 PA BC，又 PO平面 ABC，所以 BC PO.所以 BC平面 PAO.所以 BC AO.同理 AC OB.所以 O 是 A
11、BC 的垂心若 P 到 AB， BC 边的距离相等，则易知 O 到 AB， BC 边的距离也相等，从而可判定 O 是 ABC 的内心答案：外 垂 内4.如图正方体 ABCDA1B1C1D1，点 P 在面对角线 BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥 AD1PC 的体积不变； A1P面ACD1； DP BC1；面 PDB1面 ACD1.其中正确的命题的序号是_(写出所有你认为正确结论的序号)解析：对于，容易证明 AD1 BC1，从而 BC1平面 AD1C，故 BC1上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等，所以以 P 为顶点，平面 AD1C 为底面，则三棱锥AD1PC 的体积不变，正确；对于，连接
12、 A1B， A1C1，容易证明 A1C1 AC 且相等，由知，AD1 BC1，所以 BA1C1平面 ACD1，从而由线面平行的定义可得，正确；对于，由于 DC平面 BCC1B1，所以 DC BC1，若 DP BC1，则 DC 与 DP 重合，与条件矛盾，错误；对于，连接 DB1，容易证明 DB1平面 ACD1，从而由面面垂直的判定定理知，正确答案：5已知 Rt ABC，斜边 BC ，点 A ， AO ， O 为垂足， ABO30， ACO45，求二面角 ABCO 的大小解：如图，在平面 内，过 O 作 OD BC，垂足为 D，连接 AD.因为 AO ， BC ，所以 AO BC.又因为 AO
13、OD O，所以 BC平面 AOD.而 AD 平面 AOD，所以 AD BC.所以 ADO 是二面角 ABCO 的平面角由 AO ， OB ， OC ，知 AO OB， AO OC.又 ABO30， ACO45，所以设 AO a，则 AC a， AB2 a.2在 Rt ABC 中， BAC90，所以 BC a，AC2 AB2 6所以 AD a.ABACBC 2a2a6a 233在 Rt AOD 中，sin ADO .AOAD a233a 32所以 ADO60，即二面角 ABCO 的大小是 60.6(选做题)如图，在直角梯形 ABCD 中， BAD ADC90，ABCD， PD平面 ABCD， A
14、B AD a， PD a.2(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2)设 M 为 PB 的中点，当 CD2 AB 时，求证： DM MC.证明：(1)因为 BAD90，所以 AB AD.又 PD平面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以 PD AB.因为 PD AD D，所以 AB平面 PAD.又 AB 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2)连接 BD，因为 BAD90， AB AD a，5所以 BD a，所以 PD BD， BDA45.2又 M 为 PB 的中点，所以 DM PB.取 CD 的中点为 N，连接 BN，则 DN AB，且 DN AB，所以 BN AD，故 BN CD，因为 CD2 AB， AB AD，所以 CN BN，即 CBN45，所以 CBD90 CB BD.PD平面 ABCDPD BC，因为 PD BD D，所以 BC平面 PBD.因为 DM 平面 PBD，所以 BC DM.由，因为 PB BC B，所以 DM平面 PBC.而 CM 平面 PBC，所以 DM MC.
