1、1活页作业(二十六) 函数模型的应用实例(时间：45 分钟 满分：100 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1某林场计划第一年造林 10 000 亩，以后每年比前一年多造林 20%，则第四年造林( )A14 400 亩 B172 800 亩C20 736 亩 D17 280 亩解析：设年份为 x，造林亩数为 y，则y10 000(120%) x1 ， x4 时， y17 280(亩)故选 D.答案：D2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A甲比乙先出发B乙比甲跑的路程多C甲、乙两人的速度相同D甲先到达终点解析：从题图可以看出，
2、甲、乙两人同时出发( t0)，跑相同多的路程( s0)，甲用时(t1)比乙用时( t2)较少，即甲比乙的速度快，甲先到达终点答案：D3某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： yError!其中，x 代表拟录用人数， y 代表面试人数若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为( )A15 B40C25 D130解析：令 y60，若 4x60，则 x1510，不合题意；若 2x1060，则 x25，满足题意；若 1.5x60，则 x40100，不合题意；故拟录用人数为 25.故选 C.答案：C24用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最
3、大，则隔墙的长度为( )A3 m B4 mC5 m D6 m解析：设隔墙的长为 x m，矩形面积为 S，则S x x(122 x)24 4x22 x212 x2( x3) 218(0 x6)，所以当 x3 时， S 有最大值 18.答案：A5今有一组实验数据如下表所示：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )A ulog 2t B u2 t2C u D u2 t2t2 12解析：由散点图可知，图象不是直线，排除 D；图象不符合对数函数和一次函数的图象特征，排除 A、D；当 t3 时，2 t22 326，
4、 4，t2 12 32 12而由表格知当 t3 时， u4.04，故模型 u 能较好地体现这些数据关系故选t2 12C.答案：C二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6从盛满 20 L 纯酒精的容器里倒出 1 L，然后用水加满，再倒出 1 L 混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数 x 和酒精残留量 y 之间的函数关系为_解析：第一次倒完后， y19；3第二次倒完后， y19 ；1920 192201第三次倒完后， y19 ；1920 1920 193202第 x 次倒完后， y 20 x.19x20x 1 (1920)答案： y20 x(1920)7将进货单价为 8 元的商品按
5、10 元/个销售时，每天可卖出 100 个，若此商品的销售单价涨 1 元，日销售量就减少 10 个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为_元解析：设销售单价应涨 x 元，则实际销售单价为(10 x)元，此时日销售量为(10010 x)个，每个商品的利润为(10 x)82 x(元)，总利润 y(2 x)(10010 x)10 x280 x20010( x4) 2360(0 x10，且 xN *)当 x4 时 y 有最大值，此时单价为 14 元答案：148某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元，预测六月份销售额为 500 万元，七月份销售额比六月份递增 x%，八月份销售额比七月份递
6、增 x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元，则 x 的最小值是_解析：七月份的销售额为 500(1 x%)，八月份的销售额为 500(1 x%)2，则一月份到十月份的销售总额是 3 8605002500(1 x%)500(1 x%)2，根据题意有 3 8605002500(1 x%)500(1 x%)27 000，即 25(1 x%)25(1 x%)266，令t1 x%，则 25t225 t660，解得 t 或者 t (舍去)，故 1 x% ，解得65 115 65x20.答案：20三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9大西洋鲑
7、鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v log3 ，单位是 m/s，其中 Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数12 Q1004(1)当一条鲑鱼的耗氧量是 2 700 个单位时，它的游速是多少？(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数解：(1)由题意得 v log3 (m/s)12 2 700100 32当一条鲑鱼的耗氧量是 2 700 个单位时，它的游速是 m/s.32(2)当一条鲑鱼静止时，即 v0(m/s)则 0 log3 ，12 Q100解得 Q100.所以当一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是 100.10某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面的统计规
8、律：每生产产品 x 百台，其总成本为 G(x)万元，其中固定成本为 2 万元，并且每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入 R(x)(单位：万元)满足 R(x)Error!假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律，解决下列问题：(1)要使工厂有盈利，产品数量 x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少解：依题意， G(x) x2，设利润函数为 f(x)，则 f(x)Error!(1)要使工厂有盈利，则有 f(x)0.当 0 x5 时，有0.4 x23.2 x2.80.解得 1 x7，1 x5.当 x5 时，由 8.
9、2 x0，解得 x8.2，5 x8.2.综上，要使工厂盈利，应满足 1 x8.2，即产品数量应控制在大于 100 台小于 820台的范围内(2)当 0 x5 时， f(x)0.4( x4) 23.6，故当 x4 时， f(x)有最大值 3.6，当x5 时， f(x)8.253.2.故当工厂生产 400 台产品时，盈利最大，此时，每台产品的售价为240(元)R 4 104400一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额5(元) f(n) k(n)(n500)( n 为年销售额)，而 k(n)Error!，若一员工获得 40
10、0 元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )A800 B1 000C1 200 D1 500解析：根据题意，奖励金额 f(n)可以看成年销售额 n 的函数，那么该问题就是已知函数值为 400 时，求自变量 n 的值的问题据题中所给的函数关系式可算得 n1 500，故选D.答案：D2.如图，点 P 在边长为 1 的正方形边上运动，设 M 是 CD 的中点，则当 P 沿A B C M 运动时，点 P 经过的路程 x 与 APM 的面积 y 之间的函数 y f(x)的图象大致是( )解析：依题意，当 0x1 时， S APM 1x x；12 12当 1x2 时，S APM S 梯形 ABCM S A
11、BP S PCM 1 1(x1) (2 x) x ；12 (1 12) 12 12 12 14 34当 2x2.5 时，S APM S 梯形 ABCM S 梯形 ABCP 1 (1 x2)112 (1 12) 12 x34 12 12 x .12 54 y f(x)Error!再结合图象知应选 A.答案：A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3某个病毒经 30 min 繁殖为原来的 2 倍，且知病毒的繁殖规律为 ye kt(其中 k 为常6数， t 表示时间，单位：h， y 表示病毒个数)，则 k_，经过 5 h,1 个病毒能繁殖为_个解析：当 t0.5 时， y2，2e k. k2ln
12、 2.12 ye 2tln 2.当 t5 时， ye 10ln 22 101 024.答案：2ln 2 1 0244在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长 x 为_m.解析：如图，过点 A 作 AH BC 于点 H，交 DE 于点 F，易知 ，又DEBC x40 ADAB AFAHAH BC40 m，则 DE AF x， FH40 x.则 S x(40 x)( x20) 2400.当 x20 m时， S 取得最大值 400 m2.故填 20.答案：20三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)5一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是 40 cm
13、 与 60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积解：设直角三角形为 ABC， AC40 cm， BC60 cm，矩形为 CDEF，如图所示，设 CD x cm， CF y cm，则由 Rt AFERt EDB 得 ，即 ，解得AFED FEBD 40 yy x60 x7y40 x.23记剩下的残料面积为 S，则S 6040 xy x240 x1 200 (x30) 2600(0 x60)，12 23 23故当 x30 时， Smin600，此时 y20.所以当 CD30 cm， CF20 cm 时，剩下的残料面积最小，
14、为 600 cm2.6下表是某款车的车速与刹车后的停车距离，试分别就y aekx， y axn， y ax2 bx c 三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为 120 km/h 时的刹车距离.车速/(km/h) 10 15 30 40 50停车距离/m 4 7 12 18 25车速/(km/h) 60 70 80 90 100停车距离/m 34 43 54 66 80解：若以 y aekx为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代入函数关系式，得Error!解得Error! y2.422 8e 0.050 136x.以此函数式计算车速为 90 km/h,100 km/
15、h 时，停车距离分别为 220.8 m,364.5 m，与实际数据相比，误差较大若以 y axn为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代入函数关系式，得Error!解得Error! y0.328 9 x1.085.以此函数关系计算车速为 90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为 43.39 m,48.65 m，与实际情况误差也较大若以 y ax2 bx c 为模拟函数，将(10,4)，(40,18)，(60,34)代入函数关系式，得Error! 解得Error! y x2 x2.1150 215以此函数解析式计算车速为 90 km/h,100 km/h 时，停车距离分别为 68 m,82 m，与前两个相比，它较符合实际情况当 x120 时， y114.即当车速为 120 km/h 时，停车距离为 114 m.
