1、1课时作业 34 数列的综合应用1已知数列 an为等差数列，且满足 a3 a2 015 ，其中点 A， B， C 在一条直线OA OB OC 上，点 O 为直线 AB 外一点，记数列 an的前 n 项和为 Sn，则 S2 017的值为( A )A. B2 0172 0172C2 018 D2 015解析：因为点 A， B， C 在一条直线上，所以 a3 a2 0151，则 S2 017 ，故选 A.2 017 a1 a2 0172 2 017 a3 a2 0152 2 01722某制药厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n
2、) (n1)( n2)(2 n3)吨，但如果年产量超13过 130 吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( C )A5 年 B6 年C7 年 D8 年解析：由题意知第一年产量为 a1 23510；13以后各年产量分别为 an f(n) f(n1) (n1)( n2)(2 n3) n(n1)(2 n1)2( n1) 2(nN *)，13 13令 2(n1) 2130，所以 1 n 1，65所以 1 n7.故最长的生产期限为 7 年3定义：若数列 an对任意的正整数 n，都有| an1 | an| d(d 为常数)，则称 an为“绝对和数列” ， d 叫
3、作“绝对公和” 在“绝对和数列” an中， a12，绝对公和为 3，则其前 2 017 项的和 S2 017的最小值为( C )A2 017 B3 014C3 022 D3 032解析：依题意，要使其前 2 017 项的和 S2 017的值最小，只需每一项都取最小值即可因为| an1 | an|3，所以有 a3 a2 a5 a4 a2 017 a2 0163，即a3 a2 a5 a4 a2 017 a2 0163，所以 S2 017的最小值为 2 (3)3 2 017 12022，故选 C.4设等比数列 an的公比为 q，其前 n 项之积为 Tn，并且满足条件： a11， a2 015a2 0
4、161， 0.给出下列结论：(1)0 q1；(2) a2 015a2 01710；(3) T2 016的值是a2 015 1a2 016 1Tn中最大的；(4)使 Tn1 成立的最大自然数等于 4 030.其中正确的结论为( C )2A(1)(3) B(2)(3)C(1)(4) D(2)(4)解析：由 0 可知 a2 0151 或 a2 0161.a2 015 1a2 016 1如果 a2 0151，那么 a2 0161，若 a2 0150，则 q0；又 a2 016 a1q2 015， a2 016应与 a1异号，即 a2 0160，这与假设矛盾，故 q0.若 q1，则 a2 0151 且
5、a2 0161，与推出的结论矛盾，故 0 q1，故(1)正确又 a2 015a2 017 a 1，故(2)错误22 016由结论(1)可知 a2 0151， a2 0161，故数列从第 2 016 项开始小于 1，则 T2 015最大，故(3)错误由结论(1)可知数列从第 2 016 项开始小于 1，而 Tn a1a2a3an，故当 Tn( a2 015)n时，求得 Tn1 对应的自然数为 4 030，故(4)正确5(2019太原模拟)已知数列 an中， a10， an an1 12( n1)( nN *， n2)，若数列 bn满足 bn n n1 ，则数列 bn的最大项为第 6 项an 1
6、1 (811)解析：由 a10，且 an an1 12( n1)( nN *， n2)，得 an an1 2 n1( n2)，则 a2 a1221， a3 a2231， a4 a3241， an an1 2 n1( n2)，以上各式累加得 an2(23 n)( n1)2 n1 n21( n2)， n 2 n 12当 n1 时，上式仍成立，所以bn n n1 n n1 ( n2 n) n1 (nN *)an 1 1 (811) n 1 2 (811) (811)由Error! 得Error!解得 n .163 193因为 nN *，所以 n6，所以数列 bn的最大项为第 6 项6将正整数 12
7、分解成两个正整数的乘积有 112,26,34 三种，其中 34 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 34 为 12 的最佳分解当 pq(p q 且p， qN *)是正整数 n 的最佳分解时，我们定义函数 f(n) q p，例如 f(12)431，数列 f(3n)的前 100 项和为 3 501 .解析：当 n 为偶数时， f(3n)0；当 n 为奇数时， f(3n)3 3 ，因此数列n 12 n 12f(3n)的前 100 项和为 313 03 23 13 503 493 501.7(2019长沙、南昌联考)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足： a11， an0， a4 Sn
8、4 n1( nN *)，若不等式 4n28 n3(5 m)2nan对任意的 nN *恒成立，则2n 13整数 m 的最大值为( B )A3 B4C5 D6解析：当 n2 时，Error!两式相减得 a a 4 an4，2n 1 2n即 a a 4 an4( an2) 2，2n 1 2n又 an0，所以 an1 an2( n2)对 a 4 Sn4 n1，2n 1令 n1，可得 a 4 a1419，2所以 a23，则 a2 a12，所以数列 an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，故 an2 n1.因为 4n28 n3(2 n1)(2 n3)， nN *，2 n10，所以不等式4n28 n3(
9、5 m)2nan等价于 5 m .2n 32n记 bn ，则 ，2n 32n bn 1bn2n 12n 12n 32n 2n 14n 6当 n3 时， 1，bn 1bn又 b1 ， b2 ， b3 ，12 14 38所以( bn)max b3 .38故 5 m ，得 m ，38 378所以整数 m 的最大值为 4.8(2019南昌调研)已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn， nN *,2Sn a an.令 bn2n，设 bn的前 n 项和为 Tn，则在 T1， T2， T3， T100中有理数的个数1anan 1 an 1an为 9 .解析：2 Sn a an，2n2 Sn1 a an1
10、，2n 1，得 2an1 a an1 a an，2n 1 2na a an1 an0，( an1 an)(an1 an1)0.2n 1 2n又 an为正项数列， an1 an10，即 an1 an1.在 2Sn a an中，令 n1，可得 a11.2n数列 an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列 an n，4 bn1nn 1 n 1 n n 1 n nn 1nn 1 n 1 n n 1 n nn 1 ， n 1 n nn 1n n 1 1n 1n 1 Tn1 1 ，12 12 13 1n 1 1n 1n 1n 1 1n 1要使 Tn为有理数，只需 为有理数，1n 1令 n1 t2，1 n1
11、00， n3,8,15,24,35,48,63,80,99，共 9 个数 T1， T2， T3， T100中有理数的个数为 9.9(2019福建漳州模拟)已知数列 an满足nan( n1) an1 2 n22 n(n2,3,4，)， a16.(1)求证： 为等差数列，并求出 an的通项公式；ann 1(2)设数列 的前 n 项和为 Sn，求证： Sn .1an 512解：(1)证明：由 nan( n1) an1 2 n22 n(n2,3,4，)， a16，可得 ann 12， 3，则 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，可得 32( n1)an 1n a11 1 ann 1 ann 12 n
12、1，则 an( n1)(2 n1)( nN *)(2)证明：由 ，1 n 1 2n 1 12n n 1 12(1n 1n 1)可得数列 的前 n 项和1anSn 1a1 1a2 1an 16 12 (12 13 13 14 1n 1n 1) 16 12(12 1n 1) 16 14 512，即 Sn .51210已知函数 f(x) ，函数 y f(x) 在(0，)上的零点按从(sinx2 cosx2)2 1cos2x2 sin2x2 3小到大的顺序构成数列 an(nN *)(1)求数列 an的通项公式；5(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.3 an 4n2 1 3n 2解：(1
13、) f(x) tan x，(sinx2 cosx2)2 1cos2x2 sin2x2 sinxcosx由 tanx 及 x0 得 x k (kN)，数列 an是首项 a1 ，公差 d 的等差3 3 3数列，所以 an ( n1) n . 3 23(2)bn3 an 4n2 1 3n 2 .1 2n 1 2n 1 12( 12n 1 12n 1)Sn12(1 13) (13 15) ( 12n 1 12n 1) .12(1 12n 1) n2n 111已知 an是公差不为 0 的等差数列， bn是等比数列，且a1 b11， a2 b2， a5 b3.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)记
14、 Sn ，是否存在 mN *，使得 Sm3 成立，若存在，求出 m，若不a1b1 a2b2 anbn存在，请说明理由解：(1)设数列 an的公差为 d(d0)，数列 bn的公比为 q，则由题意知Error! d0 或 d2， d0， d2， q3， an2 n1， bn3 n1 .(2)由(1)可知，Sn ，a1b1 a2b2 anbn 11 331 532 2n 33n 2 2n 13n 1Sn ，13 131 332 533 2n 33n 1 2n 13n两式相减得， Sn1 1 223 231 232 23n 1 2n 13n 231 (13)n 11 13 2n 13n2， Sn3.2
15、n 23n故不存在 mN *，使得 Sm3 成立12(2019河南洛阳模拟)已知等差数列 an的公差 d0，且 a35， a1， a2， a5成等比数列6(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ， Sn是数列 bn的前 n 项和若对任意正整数 n，不等式1a2n 4n 22Sn(1) n1 a0 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)因为 a35， a1， a2， a5成等比数列，所以Error! 解得 a11， d2，所以数列 an的通项公式为 an2 n1.(2)因为 bn1a2n 4n 21 2n 1 2 4n 2 14n2 1 1 2n 1 2n 1 ，12( 12n 1 12n 1)所以 Sn b1 b2 bn 12(1 13) 12(13 15) 12( 12n 1 12n 1) ，12(1 12n 1)依题意，对任意正整数 n，不等式 1 (1) n1 a0，12n 1当 n 为奇数时，1 (1) n1 a0 即 a1 ，所以 a ；12n 1 12n 1 23当 n 为偶数时，1 (1) n1 a0 即 a1 ，所以 a .12n 1 12n 1 45所以实数 a 的取值范围是 .(23， 45)7
