1、1课时作业 6 函数的奇偶性与周期性1(2019长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，)上单调递增的是( D )A ye xe x B yln(| x|1)C y D y xsinx|x| 1x解析：选项 A，B 显然是偶函数，排除；选项 C 是奇函数，但在(0，)上不是单调递增函数，不符合题意；选项 D 中， y x 是奇函数，且 y x 和 y 在(0，)上均为1x 1x增函数，故 y x 在(0，)上为增函数，所以选项 D 正确1x2(2019商丘模拟)已知函数 f(x)ln(e x)ln(e x)，则 f(x)是( D )A奇函数，且在(0，e)上是增函数B奇函数，且在(0，e)上
2、是减函数C偶函数，且在(0，e)上是增函数D偶函数，且在(0，e)上是减函数解析： f(x)的定义域为(e，e)，且 f(x)ln(e 2 x2)又 te 2 x2是偶函数，且在(0，e)上是减函数， f(x)是偶函数，且在(0，e)上是减函数3(2019南昌模拟)若定义域为 R 的函数 f(x)在(4，)上为减函数，且函数y f(x4)为偶函数，则( D )A f(2) f(3) B f(2) f(5)C f(3) f(5) D f(3) f(6)解析： y f(x4)为偶函数， f( x4) f(x4)，因此 y f(x)的图象关于直线 x4 对称， f(2) f(6)， f(3) f(5
3、)又 y f(x)在(4，)上为减函数， f(5) f(6)，所以 f(3) f(6)4(2019安徽蚌埠模拟)已知单调函数 f(x)，对任意的 xR 都有 ff(x)2 x6，则 f(2)( C )A2 B4 C6 D8解析：设 t f(x)2 x，则 f(t)6，且 f(x)2 x t，令 x t，则 f(t)2 t t6， f(x)是单调函数， f(2)2 226， t2，即 f(x)2 x2，2则 f(2)426，故选 C.5(2019河北石家庄一模)已知奇函数 f(x)在 x0 时单调递增，且 f(1)0，若f(x1)0，则 x 的取值范围为( A )A x|0 x1 或 x2 B
4、x|x0 或 x2C x|x0 或 x3 D x|x1 或 x1解析：奇函数 f(x)在(0，)上单调递增，且 f(1)0，函数 f(x)在(，0)上单调递增，且 f(1)0，则1 x0 或 x1 时， f(x)0； x1 或 0 x1 时，f(x)0.不等式 f(x1)0 即1 x10 或 x11，解得 0 x1 或 x2，故选 A.6(2019惠州调研)已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在(，0上是减函数，且 f(1)2，则不等式 f(log2x)2 的解集为( B )A(2，) B. (2，)(0，12)C. ( ，) D( ，)(0，22) 2 2解析： f(x)是 R 上的偶函数，
5、且在(，0上是减函数，所以 f(x)在0，)上是增函数，所以 f(log2x)2 f(1)f(|log2x|) f(1)|log2x|1log 2x1 或log2x1 x2 或 0 x .127(2019河南郑州一模)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2e) f(x)(其中e2.718 2)，且在区间e,2e上是减函数，令 a ， b ， c ，则 f(a)， f(b)，ln22 ln33 ln55f(c)的大小关系(用不等号连接)为( A )A f(b) f(a) f(c) B f(b) f(c) f(a)C f(a) f(b) f(c) D f(a) f(c) f(b)解析：
6、 f(x)是 R 上的奇函数，满足 f(x2e) f(x)， f(x2e) f( x)，函数 f(x)的图象关于直线 xe 对称， f(x)在区间e,2e上为减函数， f(x)在区间0，e上为增函数，又易知 0 c a be， f(c) f(a) f(b)，故选 A.8(2019四川师大附中模拟)设函数 f(x)的定义域为 D，若 f(x)满足条件：存在a， bD(a b)，使 f(x)在 a， b上的值域也是 a， b，则称为“优美函数” 若函数 f(x)log 2(4x t)为“优美函数” ，则 t 的取值范围是( D )A. B(0,1)(14， )C. D.(0，12) (0， 14)
7、解析：函数 f(x)log 2(4x t)是定义域上的增函数，3由题意得，若函数为“优美函数” ，则 f(x) x 有两个不相等的实根，即 log2(4x t) x，整理得 4x t2 x，(2 x)22 x t0 有两个不相等的实根2 x0，令 2 x( 0)， 2 t0 有两个不相等的正实根，Error! 解得 0 t ，14即 t ，故选 D.(0，14)9(2016江苏卷)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1)上， f(x)Error! 其中 aR.若 f f ，则 f(5a)的值是 .(52) (92) 25解析：因为 f(x)的周期为 2，所以 f f a
8、，(52) ( 12) 12f f ，即 a ，所以 a ，(92) (12) 110 12 110 35故 f(5a) f(3) f(1) .2510(2019泰安模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x y) f(x) f(y)， f(x2) f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列几个命题： f(x)是周期函数； f(x)的图象关于直线 x1 对称； f(x)在1,2上是减函数； f(2) f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)解析： f(x y) f(x) f(y)对任意 x， yR 恒成立令 x y0，所以 f(0)0.令 x y0，所以 y
9、 x，所以 f(0) f(x) f( x)所以 f( x) f(x)，所以 f(x)为奇函数因为 f(x)在 x1,0上为增函数，又 f(x)为奇函数，所以 f(x)在0,1上为增函数由 f(x2) f(x)f(x4) f(x2) f(x4) f(x)，所以周期 T4，即 f(x)为周期函数f(x2) f(x)f( x2) f( x)又因为 f(x)为奇函数，所以 f(2 x) f(x)，所以函数关于直线 x1 对称由 f(x)在0,1上为增函数，又关于直线 x1 对称，所以 f(x)在1,2上为减函数由 f(x2) f(x)，令 x0 得 f(2) f(0) f(0)411已知函数 f(x)
10、Error!是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，结合 f(x)的图象知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,312函数 f(x)的定义域为 D x|x0，且满足对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的
11、奇偶性并证明你的结论；(3)如果 f(4)1， f(x1)2，且 f(x)在(0，)上是增函数，求 x 的取值范围解：(1)对于任意 x1， x2 D，有 f(x1x2) f(x1) f(x2)，令 x1 x21，得 f(1)2 f(1)， f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令 x1 x21，有 f(1) f(1) f(1)， f(1) f(1)0.12令 x11， x2 x，有 f( x) f(1) f(x)， f( x) f(x)， f(x)为偶函数(3)依题设有 f(44) f(4) f(4)2，由(2)知， f(x)是偶函数， f(x1)2 等价于 f(|x1|) f(16)又
12、f(x)在(0，)上是增函数，0| x1|16，解之得15 x17 且 x1， x 的取值范围是 x|15 x17 且x113(2019太原模拟)已知函数 f(x)是偶函数， f(x1)是奇函数，且对于任意x1， x20,1， x1 x2，都有( x1 x2)f(x1) f(x2)0，设a f ， b f ， c f ，则下列结论正确的是( B )(8211) (509) (247)A a b c B b a cC b c a D c a b5解析：由函数 f(x)是偶函数， f(x1)是奇函数，可知函数的周期为 4，则 a f f(8211)， b f f ， c f f .由( x1 x2
13、)f(x1) f(x2)0，可知函数是区间(611) (509) (49) (247) (47)0,1上的减函数，据此可得 b a c.14已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时， f(x) x3 x，则函数 y f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为( B )A6 B7 C8 D9解析：因为 f(x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0 x2 时， f(x) x3 x x(x1)(x1)，所以当 0 x2 时， f(x)0 有两个根，即 x10， x21.由周期函数的性质知，当 2 x4 时， f(x)0 有两个根，即 x32， x43；当
14、4 x6 时， f(x)0 有三个根，即 x54， x65， x76.故函数 f(x)的图象在区间0,6上与 x 轴交点的个数为 7.15(2019河南林州一中调研)已知函数 y f(x)是 R 上的偶函数，满足 f(x2) f(x2) f(2)，且当 x0,2时， f(x)2 x4，令函数 g(x) f(x) m，若 g(x)在区间10,2上有 6 个零点，分别记为 x1， x2， x3， x4， x5， x6，则x1 x2 x3 x4 x5 x624_.解析：函数 y f(x)是 R 上的偶函数， f(2) f(2)，由 f(x2) f(x2) f(2)，令 x0，可得 f(2)0， f(
15、x2) f(x2)，即 f(x4) f(x)，周期 T4.作出函数 f(x)在10,2上的图象及直线 y m 如图所示由图象可知 f(x)的图象在10,2上有 3 条对称轴，分别为 x8， x4， x0，6 个零点之和为 2(8)2(4)2024.16已知函数 y f(x)在定义域1,1上既是奇函数，又是减函数(1)求证：对任意 x1， x21,1，有 f(x1) f(x2)(x1 x2)0；(2)若 f(1 a) f(1 a2)0，求实数 a 的取值范围解：(1)证明：若 x1 x20，显然原不等式成立若 x1 x20，则1 x1 x21，6因为 f(x)在1,1上是减函数且为奇函数，所以 f(x1) f( x2) f(x2)，所以 f(x1) f(x2)0.所以 f(x1) f(x2)(x1 x2)0 成立若 x1 x20，则1 x2 x11，同理可证 f(x1) f(x2)0.所以 f(x1) f(x2)(x1 x2)0 成立综上所述，对任意 x1， x21,1，有 f(x1) f(x2)(x1 x2)0 恒成立(2)因为 f(1 a) f(1 a2)0 f(1 a2) f(1 a) f(a1)，所以由 f(x)在定义域1,1上是减函数，得Error!即 Error!解得 0 a1.故所求实数 a 的取值范围是0,1)
