1、1课时作业 43 空间点、直线、平面之间的位置关系1如图是正方体或四面体， P， Q， R， S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( D )解析：A、B、C 图中四点一定共面，D 中四点不共面2(2019烟台质检) a， b， c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( C )A若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 异面B若直线 a， b 相交， b， c 相交，则 a， c 相交C若 a b，则 a， b 与 c 所成的角相等D若 a b， b c，则 a c解析：若直线 a， b 异面， b， c 异面，则 a， c 相交、平行或异面；若 a， b
2、 相交， b， c相交，则 a， c 相交、平行或异面；若 a b， b c，则 a， c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确3若 m， n 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是( A )若直线 m， n 都平行于平面 ，则 m， n 一定不是相交直线；若直线 m， n 都垂直于平面 ，则 m， n 一定是平行直线；已知平面 ， 互相垂直，且直线 m， n 也互相垂直，若 m ，则 n ；若直线 m， n 在平面 内的射影互相垂直，则 m n.A BC D解析：对于， m 与 n 可能平行，可能相交，也可能异面，错误；对于，由线面垂直的性质定理
3、可知， m 与 n 一定平行，故正确；对于，还有可能 n ， n 或 n 与 相交，错误；对于，把 m， n 放入正方体中，如图，取 A1B 为 m， B1C 为 n，平面 ABCD 为平面 ，则 m 与 n 在 内的射影分别为 AB 与 BC，且 AB BC.而 m 与 n 所成的角为 60，故错误24过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( D )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为 .2
4、联想正方体的其他体对角线，如连接 BD1，则 BD1与棱 BC， BA， BB1所成的角都相等， BB1 AA1， BC AD，体对角线 BD1与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，同理，体对角线 A1C， DB1也与棱 AB， AD， AA1所成的角都相等，过 A 点分别作BD1， A1C， DB1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4 条5如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2，长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱DD1上运动，点 N 在正方体的底面 ABCD 内运动，则 MN 的中点 P 的轨迹的面积是( D )A4 B3C2 D. 2解析：连接
5、 DN，则 MDN 为直角三角形，在 Rt MDN 中， MN2， P 为 MN 的中点，连接 DP，则 DP1，所以点 P 在以 D 为球心，半径 R1 的球面上，又因为点 P 只能落在正方体上或其内部，所以点 P 的轨迹的面积等于该球面面积的 ，18故所求面积 S 4 R2 .18 26在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 P 在线段 AD1上运动，则异面直线 CP 与 BA1所成的角 的取值范围是( D )A0 B0 2 2C0 D0 3 3解析：连接 CD1， CA. A1B D1C，异面直线 CP 与 A1B 所成的角即为 CP 与 D1C 所成的角 AD1C 是正三角形，当
6、P 与 A 重合时，所成角最大，为 . 3又 P 不能与 D1重合(此时 D1C 与 A1B 平行，不是异面直线)， ，故选 D.(0， 37如图， ABCD-A1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( A )4A A， M， O 三点共线 B A， M， O， A1不共面C A， M， C， O 不共面 D B， B1， O， M 共面解析：连接 A1C1， AC，则 A1C1 AC，所以 A1， C1， C， A 四点共面，所以 A1C平面 ACC1A1，因为 M A1C，所以 M平面 ACC1A1，又 M平面 AB1
7、D1，所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，因为平面 ACC1A1平面 AB1D1 AO，所以 M AO，所以 A， M， O 三点共线8直三棱柱 ABC-A1B1C1中， BCA90， M， N 分别是 A1B1， A1C1的中点，BC CA CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( C )A. B.110 25C. D.3010 22解析：解法一：取 BC 的中点 Q，连接 QN， AQ，易知 BM QN，则 ANQ 或其补角的余弦值即为所求，设 BC CA CC12，则 AQ ， AN ， QN ，5 5 6cos ANQ .AN2 NQ2 AQ22ANNQ 5
8、 6 5256 6230 30105解法二：以 C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 BC CA CC12，则 A(2,0,2)， N(1,0,0)， M(1,1,0)， B(0,2,2)， (1,0，2)， (1，1，2)，AN BM cos ， .故选 C.AN BM AN BM |AN |BM | 1 456 330 30109(2019西安模拟)如图是正四面体的平面展开图， G， H， M， N 分别为DE， BE， EF， EC 的中点，在这个正四面体中， GH 与 EF 平行； BD 与 MN 为异面直线； GH 与 MN 成 60角； DE 与 MN 垂直以上四个命题
9、中，正确命题的序号是 .解析：还原成正四面体 A-DEF，其中 H 与 N 重合， A， B， C 三点重合如图所示6易知 GH 与 EF 异面， BD 与 MN 异面又 GMH 为等边三角形， GH 与 MN 成 60角，易证 DE AF， MN AF， MN DE.因此正确的序号是.10如图，已知圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，那么异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 .2解析：取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D，连接 C1D， AD，如图因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点，所以 AD BC，所以直线
10、 AC1与 AD 所成的角即为异面直线 AC1与 BC 所成的角，因为 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D圆柱下底面，所以 C1D AD.因为圆柱的轴截面 ABB1A1是正方形，所以 C1D AD，2所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为 ，所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 .2 211如图所示，在三棱锥 P-ABC 中， PA底面 ABC， D 是 PC 的中点. 7已知 BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求： 2 3(1)三棱锥 P-ABC 的体积；(2)异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值解：(1) S ABC 22 2 ，12 3 3三棱锥
11、P-ABC 的体积为V S ABCPA 2 2 .13 13 3 433(2)如图，取 PB 的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE 是异面直线 BC 与 AD 所成的角(或其补角)在 ADE 中， DE2， AE ， AD2，2cos ADE .22 22 2222 34故异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 .3412如图，已知二面角 -MN- 的大小为 60，菱形 ABCD 在平面 内， A， B 两点在棱 MN 上， BAD60， E 是 AB 的中点， DO平面 ，垂足为 O.(1)证明： AB平面 ODE；8(2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦
12、值解：(1)证明， DO ， AB ， DO AB.连接 BD，由题意知， ABD 是正三角形又 E 是 AB 的中点， DE AB.而 DO DE D， AB平面 ODE.(2) BC AD， BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即 ADO 是异面直线 BC 与OD 所成的角由(1)知， AB平面 ODE，所以 AB OE.又 DE AB， DEO 是二面角 -MN- 的平面角，即 DEO60.不妨设 AB2，则 AD2，易知 DE .3在 Rt DOE 中， DO DEsin60 .32连接 AO，在 Rt AOD 中，cos ADO .故异面直线 BC 与 OD 所成
13、角的余弦值为DOAD 322 34.3413正四棱锥 P-ABCD 中，四条侧棱长均为 2，底面 ABCD 是正方形， E 为 PC 的中点，若异面直线 PA 与 BE 所成的角为 45，则该四棱锥的体积是( D )A4 B2 3C. D.43 233解析：如图所示，连接 AC， BD.设 AC BD O，连接 PO， OE，9 O， E 分别是 AC 和 PC 的中点， OE PA， OE PA1，12则 BEO 或其补角即为异面直线 PA 与 BE 所成的角底面 ABCD 是正方形， BO AC，又 PO OB， PO AC O， BO平面 PAC，则 BO OE， BOE 是等腰直角三角
14、形， OB OE1，PO ， BC ，PB2 OB2 3 2则四棱锥 P-ABCD 的体积 V ( )2 ，故选 D.13 2 3 23314如图是三棱锥 D-ABC 的三视图，点 O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和 AB 所成角的余弦值等于( A )A. B.33 12C. D.322解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，10从 A 出发的三条线段 AB， AC， AD 两两垂直且 AB AC2， AD1， O 是 BC 的中点，取AC 中点 E，连接 DE， DO， OE，则 OE1，又可知 AE1，由于 OE AB，故 DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角在直角
15、三角形 DAE 中， DE ，由于 O 是 BC 的中点，在直角2三角形 ABC 中可以求得 AO ，在直角三角形 DAO 中可以求得 DO .在三角形 DOE 中，2 3由余弦定理得 cos DOE ，故所求异面直线 DO 与 AB 所成角的余弦值为1 3 2213 33，故选 A.3315如图，在矩形 ABCD 中， AB2 AD， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折过程中，下列四个命题中不正确的是 .(填序号) BM 是定值；点 M 在某个球面上运动；存在某个位置，使 DE A1C；存在某个位置，使 MB平
16、面 A1DE.解析：取 DC 的中点 F，连接 MF， BF，则 MF A1D 且 MF A1D， FB ED 且 FB ED，所以 MFB A1DE.由余弦定理可得12MB2 MF2 FB22 MFFBcos MFB 是定值，所以 M 是在以 B 为球心， MB 为半径的球面上，可得正确；由 MF A1D 与 FB ED 可得平面 MBF平面 A1DE，可得正确；若存在某个11位置，使 DE A1C，则因为 DE2 CE2 CD2，即 CE DE，因为 A1C CE C，则 DE平面A1CE，所以 DE A1E，与 DA1 A1E 矛盾，故不正确16如图，在直三棱柱 A1B1C1-ABC 中
17、， AC BC,2AC2 BC CC14，点 N 为 CC1的中点，P 为线段 AC(包含端点)上一动点，给出以下四个结论：直线 BP 与直线 B1A1为异面直线； P 到平面 A1B1N 的距离是定值； A1P 与 B1N 所成角最小为 45； B1P 与平面 A1PN 所成角余弦值的最小值为 .255其中正确结论的序号为 .解析：若 P 点与 A 点重合，则 BP B1A1，故错；记 P 到平面 A1B1N 的距离为 h1，平面三角形 A1PN 的面积 S A1PN 在变化，点 B1到平面 A1PN1的距离 h2为定值，又三角形 A1B1N 的面积 S A1B1N 为定值，所以 VP-A1
18、B1N VB1-A1PN，即 S A1B1Nh113S A1PNh2，13所以 h1不是定值，错如图所示，建立空间直角坐标系， A1(0,0,0)， P(0， y0,4)， B1(2,2,0)， N(0,2,2)，(0， y0,4)， (2,0,2)，A1P B1N 记 A1P 与 B1N 所成角为 ，12则 cos (0 y02)，(cos )max ，|A1P B1N |A1P |B1N | 22y20 16 22所以 的最小值为 45.连接 PC1.B1C1平面 AA1C1C，则 B1PC1即为线面角，tan B1PC1 ， B1C1为定值，B1C1C1P当 tan B1PC1最大时， PC1最小，cos B1PC1最小，所以当 P 与 C 重合时，(cos B1PC1)min .255
