1、- 1 -第 5 讲 直线、平面垂直的判定与性质基础题组练1若平面 平面 ，平面 平面 直线 l，则( )A垂直于平面 的平面一定平行于平面 B垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 C垂直于平面 的平面一定平行于直线 lD垂直于直线 l 的平面一定与平面 ， 都垂直解析：选 D.对于 A，垂直于平面 的平面与平面 平行或相交，故 A 错误；对于 B，垂直于直线 l 的直线与平面 垂直、斜交、平行或在平面 内，故 B 错误；对于 C，垂直于平面 的平面与直线 l 平行或相交，故 C 错误，D 正确2设 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同的直线，且 l ， m ( )A若 l ，则 B若
2、 ，则 l mC若 l ，则 D若 ，则 l m解析：选 A.选项 A，因为 l ， l ，所以 ，A 正确；选项B， ， l ， m ， l 与 m 的位置关系不确定；选项 C，因为 l ， l ，所以 或 与 相交；选项 D，因为 ， l ， m ，此时 l 与 m 的位置关系不确定故选 A.3.如图，在 Rt ABC 中， ABC90， P 为 ABC 所在平面外一点，PA平面 ABC，则四面体 PABC 中共有直角三角形的个数为( )A4 B3C2 D1解析：选 A.由 PA平面 ABC 可得 PAC， PAB 是直角三角形，且PA BC.又 ABC90，所以 ABC 是直角三角形，且
3、 BC平面 PAB，所以 BC PB，即PBC 为直角三角形，故四面体 PABC 中共有 4 个直角三角形4.如图，在斜三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC90， BC1 AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在( )A直线 AB 上 B直线 BC 上C直线 AC 上 D ABC 内部- 2 -解析：选 A.由 AC AB， AC BC1，得 AC平面 ABC1.因为 AC平面 ABC，所以平面 ABC1平面 ABC.所以 C1在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上5.如图，在正四面体 PABC 中， D， E， F 分别是 AB， BC， CA的中点，下面四个结论
4、不成立的是( )A BC平面 PDFB DF平面 PAEC平面 PDF平面 PAED平面 PDE平面 ABC解析：选 D.因为 BC DF， DF平面 PDF，BC平面 PDF，所以 BC平面 PDF，故选项 A 正确；在正四面体中， AE BC， PE BC， AE PE E，且 AE， PE平面 PAE，所以 BC平面 PAE，因为 DF BC，所以 DF平面 PAE，又 DF平面 PDF，从而平面 PDF平面 PAE.因此选项 B，C 均正确6.如图，在 ABC 中， ACB90， AB8， ABC60， PC平面ABC， PC4， M 是 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为_解析
5、：作 CH AB 于 H，连接 PH.因为 PC平面 ABC，所以 PH AB， PH为 PM 的最小值，等于 2 .7答案：2 77如图所示，在四棱锥 PABCD 中 PA底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接 AC， BD，则 AC BD，因为 PA底面 ABCD，所以PA BD.又 PA AC A，所以 BD平面 PAC，所以 BD PC.所以当DM PC(或 BM PC)时，即有 PC平面 MBD.- 3 -而 PC平面 PCD，所以平面 MBD平面 PCD.答案： D
6、M PC(或 BM PC)8.如图， PA O 所在平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点，AE PC， AF PB，给出下列结论： AE BC； EF PB； AF BC； AE平面 PBC，其中正确结论的序号是_解析： AE平面 PAC， BC AC， BC PAAE BC，故正确； AE PC， AE BC， PB平面 PBCAE PB， AF PB， EF平面 AEFEF PB，故 正确；若 AF BCAF平面PBC，则 AF AE 与已知矛盾，故错误；由可知正确答案：9.如图，在多面体 ABCDPE 中，四边形 ABCD 和 CDPE 都是直角梯形，AB DC， PE D
7、C， AD DC， PD平面ABCD， AB PD DA2 PE， CD3 PE， F 是 CE 的中点(1)求证： BF平面 ADP；(2)已知 O 是 BD 的中点，求证： BD平面 AOF.证明：(1)如图，取 PD 的中点为 G，连接 FG， AG，因为 F 是 CE 的中点，所以 FG 是梯形 CDPE 的中位线，因为 CD3 PE，所以 FG2 PE，FG CD，因为 CD AB， AB2 PE，所以 AB FG， AB FG，即四边形 ABFG 是平行四边形，所以 BF AG，又 BF平面 ADP， AG平面 ADP，所以 BF平面 ADP.(2)延长 AO 交 CD 于 M，连
8、接 BM， FM，因为 BA AD， CD DA， AB AD， O 为 BD 的中点，所以 ABMD 是正方形，则 BD AM， MD2 PE.所以 FM PD，因为 PD平面 ABCD，所以 FM平面 ABCD，所以 FM BD，因为 AM FM M，所以 BD平面 AMF，所以 BD平面 AOF.10由四棱柱 ABCDA1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形 ABCD为正方形， O 为 AC 与 BD 的交点， E 为 AD 的中点， A1E平面 ABCD.- 4 -(1)证明： A1O平面 B1CD1; (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM
9、平面 B1CD1.证明：(1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1， A1O1，由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以 A1O1 OC， A1O1 OC，因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1O O1C，又 O1C平面 B1CD1， A1O平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1.(2)因为 AC BD， E， M 分别为 AD 和 OD 的中点，所以 EM BD，又 A1E平面 ABCD， BD平面 ABCD，所以 A1E BD，因为 B1D1 BD，所以 EM B1D1， A1E B1D1，又 A1E， EM平面 A1EM， A1E EM E，所以 B1D1平面 A
10、1EM，又 B1D1平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1.综合题组练1(创新型)如图，边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G，已知 A DE 是 ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上； BC平面 A DE；三棱锥 A FED 的体积有最大值A B- 5 -C D解析：选 C.中由已知可得平面 A FG平面 ABC，所以点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上 BC DE，根据线面平行的判定定理可得 BC平面 A DE.当平面 A DE平面 ABC 时，三棱锥
11、A FED 的体积达到最大，故选 C.2(创新型)如图，梯形 ABCD 中， AD BC， ABC90，AD BC AB234， E， F 分别是 AB， CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折，给出下列四个结论： DF BC； BD FC；平面BDF平面 BCF；平面 DCF平面 BCF，则上述结论可能正确的是( )A BC D解析：选 B.对于，因为 BC AD， AD 与 DF 相交但不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直，则不成立；对于，设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P，当 BP CF 时就有 BD FC，而 AD BC AB234 可使条件满足，所以正确；对
12、于，当点 D 在平面 BCF 上的射影 P落在 BF 上时， DP平面 BDF，从而平面 BDF平面 BCF，所以正确；对于，因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上，所以不成立3(创新型)在矩形 ABCD 中， AB BC，现将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直；存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直；存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：假设 AC 与 BD 垂直，过点 A 作 AE BD 于 E，连接 CE
13、.则Error! BD平面AECBD CE，而在平面 BCD 中， EC 与 BD 不垂直，故假设不成立，错假设 AB CD，因为 AB AD，所以 AB平面 ACD，所以 AB AC，由 AB BC 可知，存在这样的等腰直角三角形，使 AB CD，故假设成立，正确假设 AD BC，因为 DC BC，所以 BC平面 ADC，所以 BC AC，即 ABC 为直角三角形，且 AB 为斜边，而 AB BC，故矛盾，假设不成立，错综上，填.答案：4(应用型)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱长为- 6 -2， AC BC1， ACB90， D 是 A1B1的中点， F 是 BB1上的动点， A
14、B1， DF 交于点 E.要使AB1平面 C1DF，则线段 B1F 的长为_解析：设 B1F x，因为 AB1平面 C1DF， DF平面 C1DF，所以 AB1 DF.由已知可以得 A1B1 ，2设 Rt AA1B1斜边 AB1上的高为 h，则 DE h，12又 2 h ，2 22 （ 2） 2所以 h ， DE .233 33在 Rt DB1E 中， B1E .（ 22） 2 （ 33） 2 66由面积相等得 x，得 x .即线段 B1F 的长为 .66 x2 （ 22） 2 22 12 12答案：125.如图，在四棱锥 SABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB DC， ABC90， A
15、D SD， BC CD AB，侧面 SAD底面12ABCD.(1)求证：平面 SBD平面 SAD；(2)若 SDA120，且三棱锥 SBCD 的体积为 ，求侧面 SAB 的面积612解：(1)证明：设 BC a，则 CD a， AB2 a，由题意知 BCD 是等腰直角三角形，且 BCD90，则 BD a， CBD45，2所以 ABD ABC CBD45，在 ABD 中，AD a，AB2 DB2 2ABDBcos 45 2因为 AD2 BD24 a2 AB2，所以 BD AD，由于平面 SAD底面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD AD， BD平面 ABCD，所以 BD平面 SAD，又 BD
16、平面 SBD，所以平面 SBD平面 SAD.(2)由(1)可知 AD SD a，在 SAD 中， SDA120， SA2 SDsin 60 a，2 6作 SH AD，交 AD 的延长线于点 H，则 SH SDsin 60 a，62- 7 -由(1)知 BD平面 SAD，因为 SH平面 SAD，所以 BD SH，又 AD BD D，所以 SH平面 ABCD，所以 SH 为三棱锥 SBCD 的高，所以 VSBCD a a2 ，13 62 12 612解得 a1，由 BD平面 SAD， SD平面 SAD，可得 BD SD，则 SB 2，SD2 BD2 2 2又 AB2， SA ，6在等腰三角形 SB
17、A 中，边 SA 上的高为 ，4 64 102则 SAB 的面积为 .12 6 102 1526如图 1，矩形 ABCD 中， AB12， AD6， E， F 分别为 CD， AB 边上的点，且DE3， BF4，将 BCE 沿 BE 折起至 PBE 的位置(如图 2 所示)，连接 AP， PF，其中 PF2.5(1)求证： PF平面 ABED；(2)求点 A 到平面 PBE 的距离解：(1)证明：在题图 2 中，连接 EF，由题意可知， PB BC AD6， PE CE CD DE9，在 PBF 中， PF2 BF2201636 PB2，所以 PF BF.在题图 1 中，连接 EF，作 EH AB 于点 H，利用勾股定理，得EF ，62 （ 12 3 4） 2 61在 PEF 中， EF2 PF2612081 PE2，所以 PF EF，因为 BF EF F， BF平面 ABED， EF平面 ABED，所以 PF平面 ABED.- 8 -(2)如图，连接 AE，由(1)知 PF平面 ABED，所以 PF 为三棱锥 PABE 的高设点 A 到平面 PBE 的距离为 h，因为 VAPBE VPABE，即 69h 1262 ，所以 h ，13 12 13 12 5 853即点 A 到平面 PBE 的距离为 .853
