1、- 1 -第 6 节 离散型随机变量的分布列及均值和方差【选题明细表】知识点、方法 题号离散型随机变量的分布列及性质 1,2,4,7离散型随机变量的期望与方差 6,8,9,10,12,13超几何分布及应用 3,5,11基础巩固(建议用时:25 分钟)1.(2017茂名市二模)若离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1P则 X 的数学期望 E(X)等于( C )(A)2 (B)2 或 (C) (D)1解析:由题意, + =1,a0,所以 a=1,所以 E(X)=0 +1 = .故选 C.2.(2017南宁市二模)设随机变量 X 的概率分布表如表,则 P(|X-2|=1)等于( C )X 1 2
2、3 4P m(A) (B) (C) (D)解析:m= ,P(|X-2|=1)= + = .故选 C.3.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,从中任意抽出 3 张卡片,设 3 张卡片上的数字之和为 X,则 X8 的概率是( C )(A) (B) (C) (D)解析:X 的取值为 6,9,12,X8 时,P(X=9)= = ,P(X=12)= = ,所以 X8 的概率为- 2 -+ = .故选 C.4.设随机变量 的分布列为 P(= )=ak(k=1,2,3,4,5),则 P( 6)=P(X=7)+P(X=8)= + = .6.(2017合肥市二模)已知 5 件产品中有
3、 2 件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为 ,则 E()等于( B )(A)3 (B) (C) (D)4解析:由题意知 的可能取值为 2,3,4,P(=2)= = ,P(=3)=( + + ) = ,P(=4)=1-P(=2)-P(=3)= ,所以 E()=2 +3 +4 = .故选 B.7.设随机变量 等可能取 1,2,3,n,若 P(0,即 a,b 同号.所以随机变量 的分布列为 0 1 2P所以 E()=0 +1 +2 = .故选 A.10.(2019广东汕头市二模)一个不透明的袋子中装有大小相同的 12 个黑球,4 个白球,每次有放回地任意摸取一个球,共摸取 3
4、次,若用 X 表示取到白球的次数,则 X 的数学期望 E(X)与- 4 -方差 D(X)分别为 ,. 解析:由题意,X 的可能取值为 0,1,2,3,摸到白球的概率为 ,则 P(X=0)=( )3= ,P(X=1)= ( )2 = ,P(X=2)= ( )2= ,P(X=3)=( )3= .所以 X 的概率分布列为X 0 1 2 3P所以数学期望为 E(X)=0 +1 +2 +3 = 或 E(X)=3 = ;方差为 D(X)= (0- )2+ (1- )2+ (2- )2+ (3- )2= .答案: 11.(2017黔东南州一模)从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成
5、绩得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分;(2)若用分层抽样的方法从分数在30,50)和130,150的学生中抽取 6 人,该 6 人中成绩在130,150的有几人?(3)在(2)抽取的 6 人中,随机抽取 3 人,设分数在130,150内的人数为 ,求其数学期望E().解:(1)由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为0.005 02040+0.007 52060+0.007 52080+0.015 0- 5 -20100+0.012 520120+0.002 520140=92(分).(2)样本中分数在30,50)和130
6、,150的人数分别为 6 人和 3 人,所以抽取的 6 人中分数在130,150的人有 6 =2(人).(3)由(2)知,抽取的 6 人中分数在130,150的有 2 人,依题意 的所有取值为 0,1,2,当 =0 时,P(=0)= = ;当 =1 时,P(=1)= = ;当 =2 时,P(=2)= = ;所以 E()=0 +1 +2 =1.12.(2019天津和平区二模)甲、乙、丙均两次参加英语高考,取两次成绩中较高的为最终成绩,三人第一次成绩不低于 130 分的概率依次为 , , .甲若第一次成绩不低于 130 分,则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ,若第一次成绩在 130 分以下,
7、则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ;乙若第一次成绩不低于 130 分,则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ,若第一次成绩在 130 分以下,则第二次成绩不低于 130 分的概率为 ;丙第二次成绩不受第一次成绩的影响,不低于 130 分的概率为 .(1)设 A 为事件“甲的英语高考最终成绩不低于 130 分”,B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于 130 分”,C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于 130 分”,分别求出事件 A、事件B、事件 C 发生的概率;(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X,求 X 的分布列与数学期望.解:(1)A 为事件“甲的英
8、语高考最终成绩不低于 130 分”,事件 A 发生的概率 P(A)= +(1- ) = ,B 为事件“乙的英语高考最终成绩不低于 130 分”,事件 B 发生的概率 P(B)= +(1- ) = ,C 为事件“丙的英语高考最终成绩不低于 130 分”,- 6 -事件 C 发生的概率 P(C)= +(1- ) = .(2)设甲、乙、丙中英语高考最终成绩不低于 130 分的人数为 X,则 X 的可能取值为 0,1,2,3,P(X=0)=P( )= = ,P(X=1)=P( C+ B +A )= + + = ,P(X=2)=P( BC+A C+AB )= + + = ,P(X=3)=P(ABC)=
9、= .所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 =2.13.(2019河南洛阳市二模)某市共有户籍人口约 400 万,其中老人(60 岁及以上)约 66 万,为了解老人们的身体健康状况,相关部门从这些老人中随机抽取 600 人进行健康评估.健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级,并以 80 岁为界限分成两个群体进行统计,由样本数据制得条形图如图.(1)根据条形图完成下表:健康状况 健康 基本健康不健康尚能自理不能自理80 岁及以上80 岁以下并估算该市 80 岁及以上老人占全市户籍人口的百分比;- 7 -(2)据统计,该市大约有五
10、分之一的户籍老人无固定收入,该市政府计划给这部分老人每月发放生活补贴,标准如下:80 岁及以上老人每人每月发放生活补贴 200 元;80 岁以下老人每人每月发放生活补贴 120 元;不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴 100 元.试估算该市政府为执行此计划每年所需资金的总额(单位:亿元,保留两位小数)解:(1)健康状况 健康 基本健康不健康尚能自理不能自理80 岁及以上 20 45 20 1580 岁以下 200 225 50 2580 岁及以上老人大约为66 =11(万人),所以该市 80 岁及以上老人占全市户籍人口的百分比为100%=2.75%.(2)设某户籍老人每月享受的生活补助为 X 元,X 的取值为 0,120,200,220,300.则 P(X=0)= ,P(X=120)= = ,P(X=200)= = ,P(X=220)= = ,P(X=300)= = .所以 X 的分布列为X 0 120 200 220 300P所以 E(X)=0 +120 +200 +220 +300 =28.所以该市政府为执行此计划每年所需资金的总额为281266104=2.217 61082.2210 8(元)=2.22(亿元).所以该市政府为执行此计划每年所需资金的总额约为 2.22 亿元.- 8 -
