1、1第 22 讲 正弦定理和余弦定理 1.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,C= ,S ABC=2 ,则 b= ( ) 3 3A. B.2 C.2 D.43 32.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45,则此三角形 ( )A.无解 B.有两个解C.有一个解 D.解的个数不确定3.2018北京石景山区一模 在 ABC 中, A=60,AC=4,BC=2 ,则 ABC 的面积为 ( )3A.4 B.4 C.2 D.23 3 24.2018北京丰台区一模 在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b
2、,c,a=2,c=4,且3sinA=2sinB,则 cosC= . 5.设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cos2A+cos2B+2sinAsinB=1+cos2C,则角C= . 6.2018承德模拟 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b=1,c= ,cosC= ,623则 a= ( )A.3 B.4 C.5 D.67.在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,如果( a+b+c)(b+c-a)=3bc,且 a= ,那么3 ABC 外接圆的半径为 ( )A.2 B.4 C. D.128.2018南昌质检 在 ABC
3、 中,tan A 是以 -2 为第 3 项,6 为第 7 项的等差数列的公差;tanB 是以 为第 2 项,27 为第 7 项的等比数列的公比 .则 ABC 是 ( )19A. 钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上都不对9.2018咸阳二模 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A= ,a=2 ,则 ABC 3 2面积的最大值为 ( )A. B.22 3C. D.6 310.2018合肥三模 若 ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 sin(C-A)= sinB,b=4,则 c2-a2= ( )12A.10 B.8 C.7
4、 D.411.2018石家庄质检 如图 K22-1 所示,平面四边形 ABCD 的对角线交点位于四边形的内部, AB=1,BC= ,AC=CD,AC CD,当 ABC 变化时,对角线 BD 的最大值为 . 22图 K22-1图 K22-212.2018北京朝阳区期末 如图 K22-2 所示,一位同学从 P1处观测塔顶 B 及旗杆顶 A,得仰角分别为 和 90-. 后退 lm 至点 P2处再观测塔顶 B,仰角变为原来的一半,设塔 CB和旗杆 BA 都垂直于地面,且 C,P1,P2三点在同一条水平线上,则塔 CB 的高为 m;旗杆 BA 的高为 m.(用含有 的式子表示) 13.2018唐山二模
5、如图 K22-3 所示,在平面四边形 ABCD 中,AB=2 ,AC=2, ADC= CAB=90,设 DAC=.3(1)若 = 60,求 BD 的长度;(2)若 ADB=30,求 tan.图 K22-314.2018合肥一模 在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,(a-2b)cosC+ccosA=0.(1)求 C 的值;(2)若 c=2 ,求 ABC 的周长的最大值 .315.2018宁德一检 如图 K22-4 所示,岛 A,C 相距 10 海里 .上午 9 点整有一艘客轮在7岛 C 的北偏西 40且距岛 C10 海里的 D 处,客轮沿直线方向匀速开往岛 A,在岛 A
6、停留 10 分钟后前往 B 市 .上午 9:30 测得客轮位于岛 C 的北偏西 70且距岛 C10 海里的 E 处,此时3小张从岛 C 乘坐速度为 V 海里 /时的小艇沿直线方向前往 A 岛换乘客轮去 B 市 .(1)若 V(0,30,问小张能否乘上这班客轮?(2)现测得 cos BAC=- ,sin ACB= .已知速度为 V 海里 /时( V(0,30)的小艇每小时的45 55总费用为 元,若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市,则至少需要多少费用?(12V2+V+50)3图 K22-4课时作业(二十二)1.D 解析 S ABC=2 = absinC= 2b ,解得 b=4.故选 D.312
7、 12 322.B 解析 = , sinB= sinA= sin45, sinB= .又 aA= 45,B 有两asinA bsinB ba 2418 223个值,即三角形有两个解 .3.C 解析 ABC 中, A=60,AC=4,BC=2 ,由正弦定理得 = , = ,解得3BCsinA ACsinB 23sin604sinBsinB=1,B= 90,C=30, ABC 的面积为 2 4sin30=2 ,故选 C.12 3 34.- 解析 在 ABC 中, a=2,c=4,且 3sinA=2sinB,故 3a=2b,b= 3,则 cosC= =- .14 a2+b2-c22ab 145.60
8、 解析 由已知得 1-2sin2A+1-2sin2B+2sinAsinB=1+1-2sin2C,由正弦定理得ab=a2+b2-c2,所以 cosC= = ,所以 C=60.a2+b2-c22ab 126.A 解析 由余弦定理可得 cosC= ,即 = ,整理可得( a-3)(3a+5)=0,结合a2+b2-c22ab 23a2+1-62aa0 可得 a=3.47.D 解析 因为( a+b+c)(b+c-a)=3bc,所以( b+c)2-a2=3bc,即 b2+c2-a2=bc,所以 cosA= ,又 A(0,),所以 A= .又 a= ,由正弦定理可得 ABC 的外接圆半径 R= b2+c2-
9、a22bc 12 3 3 12= =1,故选 D.asinA12 3328.B 解析 设题中等差数列为 an,则 a3=-2,a7=6,可得公差 d=2,即 tanA=2;设题中等比数列为 bn,则 b2= ,b7=27,可得公比 q=3,即 tanB=3.故 tanC=-tan(A+B)=1,所以 A,B,C 都是19锐角 .故选 B.9.B 解析 在 ABC 中,由余弦定理知 a2=b2+c2-2bccosA,即 8=b2+c2-2bccos =b2+c2- 3bc2 bc-bc=bc,即 bc8,当且仅当 b=c 时,等号成立,所以 ABC 的面积S= bcsinA 8sin =2 ,故
10、选 B.12 12 3 310.B 解析sin( C-A)= sinB= sin(A+C),即 2sinCcosA-2cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC,12 12即 sinCcosA=3sinAcosC.由正弦定理和余弦定理得 c =3a ,即 b2+c2-b2+c2-a22bc a2+b2-c22aba2=3a2+3b2-3c2,即 4c2-4a2=2b2=216=32,则 c2-a2=8,故选 B.11.3 解析 设 ABC= , ACB= ,在 ABC 中,由余弦定理可得 AC2=3-2 cos ,由正2弦定理可得 sin= .在 BCD 中,由余弦定理可得 BD2=
11、2+3-2 cos- 2 sin3-22cos 2 2cos(90+ )=5-2 cos+ 2 sin= 5+4sin(- 45),当 = 1353-2 2cos 2 2时, BD2有最大值 9,则 BD 的最大值为 3.12.(1)lsin (2) 解析 设 BC=xm.在 Rt BCP1中, BP1C= ,在 Rt P2BC 中,lcos2sin P2= . BP1C= P1BP2+ P2, P1BP2= ,即 P1BP2为等腰三角形, 2 2P1P2=P1B=lm,BC=l sin m.在 Rt ACP1中, = =tan(90- ),AC= m,则 AB=AC-ACCP1 AClcos
12、 lcos2sinBC= -lsin= = (m).lcos2sin l(cos2 -sin2 )sin lcos2sin13.解:(1)由题意可知, AD=1.在 ABD 中, DAB=150,AB=2 ,AD=1,由余弦定理可知,3BD2=(2 )2+12-22 1 - =19,3 332BD= .19(2)由题意可知, AD=2cos , ABD=60-.在 ABD 中,由正弦定理可知, = ,即 =4 ,即 =4 ,即ADsin ABDABsin ADB 2cossin(60- ) 3 2cos32cos -12cos 3=4 ,则 tan= .232-12tan 3 23 314.解
13、:(1)根据正弦定理,由已知得(sin A-2sinB)cosC+sinCcosA=0,即 sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosC,5 sin(A+C)=2sinBcosC,A+C= -B, sin(A+C)=sin( -B)=sinB0, sinB=2sinBcosC,从而 cosC= .12C (0,), C= . 3(2)由(1)和余弦定理得 cosC= = ,即 a2+b2-12=ab,a2+b2-c22ab 12 (a+b)2-12=3ab3 2,a+b2即( a+b)248(当且仅当 a=b=2 时等号成立), a+b 4 .3 3则 ABC 周长的最大值为 4 +
14、c=6 .3 315.解:(1)根据题意得, CD=10,CE=10 ,AC=10 , DCE=70-40=30.3 7在 CDE 中,由余弦定理得, DE= =10,CD2+CE2-2CDCEcos DCE102+(103)2-21010332所以客轮的航行速度 V1=102=20(海里 /时) .因为 CD=DE,所以 DEC= DCE=30,所以 AEC=180-30=150.在 ACE 中,由余弦定理得, AC2=AE2+CE2-2AECEcos AEC,整理得 AE2+30AE-400=0,解得 AE=10 或 AE=-40(舍去) .所以客轮从 E 处到岛 A 所用的时间 t1=
15、= (小时),102012小张到岛 A 所用的时间至少为 t2= = (小时) .10730 73由于 t2t1+ ,16所以若小张上午 9:30 出发,则无法乘上这班客轮 .(2)在 ABC 中,cos BAC=- ,sin ACB= ,45 55所以 ACB 为锐角,sin BAC= ,cos ACB= ,35 255所以 sinB=sin180-( BAC+ ACB)=sin( BAC+ ACB)=sin BACcos ACB+cos BACsin ACB= - = .35 255 45 55 2525由正弦定理得, = ,BCsin BACACsinB所以 BC= =15 ,107352525 35所以小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市的总费用为f(V)= V2+V+50 =15 V+1+ 165 (V(0,30),1535V 12 3512 50V 35当且仅当 V= ,即 V=10 时, f(V)min=165 (元) .12 50V 356所以若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市,其费用至少需要 165 元 .35
