1、- 1 -课后限时集训(三十八) 空间点、直线、平面之间的位置关系(建议用时：60 分钟)A组 基础达标一、选择题1 是一个平面， m， n是两条直线， A是一个点，若 m ， n ，且 A m， A ，则m， n的位置关系不可能是( )A垂直 B相交C异面 D平行D 是一个平面， m， n是两条直线， A是一个点， m ， n ， n在平面 内 A m， A ， A是 m和平面 相交的点， m和 n异面或相交，一定不平行2如图是正方体或四面体， P， Q， R， S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )A B C DD A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面3给出下列说
2、法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1个或 3个平面其中正确的序号是( )A BC DB 显然正确；错误，三条平行直线可能确定 1个或 3个平面；若三个点共线，则两个平面相交，故错误；显然正确故选 B.4已知在四面体 ABCD中， E， F分别是 AC， BD的中点若 AB2， CD4， EF AB，则 EF与 CD所成角的度数为( )A90 B45C60 D30D 如图，设 G为 AD的中点，连接 GF， GE，则 GF， GE分别为ABD， ACD的中位线由此可得， GF AB，且 GF AB1，12GE CD，且 GE CD2
3、，12- 2 - FEG或其补角即为 EF与 CD所成的角又 EF AB， GF AB， EF GF.因此，在 Rt EFG中， GF1， GE2，sin GEF ，GFGE 12可得 GEF30， EF与 CD所成角的度数为 30.5.如图是某个正方体的侧面展开图， l1， l2是两条侧面对角线，则在正方体中， l1与 l2( )A互相平行B异面且互相垂直C异面且夹角为3D相交且夹角为3D 将侧面展开图还原成正方体如图所示，则 B， C两点重合故 l1与l2相交，连接 AD， ABD为正三角形，所以 l1与 l2的夹角为 .故选 D.3二、填空题6.如图所示，在棱长为 2的正方体 ABCDA
4、1B1C1D1中， E， F分别是CC1， AD的中点，那么异面直线 D1E和 A1F所成角的余弦值等于_如图，以 D为原点建立空间直角坐标系25则 A1(2,0,2)， F(1,0,0)， D1(0,0,2)， E(0,2,1)，则 (1,0，2)， (0,2，1)，cos ， A1F D1E D1E A1F D1E A1F |D1E |A1F | ，异面直线 D1E和 A1F所成角的余弦值等于 .255 25 257.如图所示，在三棱锥 ABCD中， E， F， G， H分别是棱AB， BC， CD， DA的中点，则当 AC， BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形，当 AC， BD满足条
5、件_时，四边形 EFGH是正方形AC BD AC BD且 AC BD 易知 EH BD FG，且 EH BD FG，同12- 3 -理 EF AC HG，且 EF AC HG，显然四边形 EFGH为平行四边形要使平行四边形 EFGH为12菱形需满足 EF EH，即 AC BD；要使平行四边形 EFGH为正方形需满足 EF EH且 EF EH，即 AC BD且 AC BD.8(2019长白山模拟)下列命题中不正确的是_(填序号)没有公共点的两条直线是异面直线；分别和两条异面直线都相交的两直线异面；一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；一条直线和两条异面直线都相交，则它们
6、可以确定两个平面 没有公共点的两直线平行或异面，故错；命题错，此时两直线有可能相交；命题正确，因为若直线 a和 b异面， c a，则 c与 b不可能平行，用反证法证明如下：若c b，又 c a，则 a b，这与 a， b异面矛盾，故 c与 b不平行；命题正确，若 c与两异面直线 a， b都相交，可知， a， c可确定一个平面， b， c也可确定一个平面，这样，a， b， c共确定两个平面三、解答题9在正方体 ABCDA1B1C1D1中，(1)求 AC与 A1D所成角的大小；(2)若 E， F分别为 AB， AD的中点，求 A1C1与 EF所成角的大小解 (1)如图，连接 B1C， AB1，由
7、ABCDA1B1C1D1是正方体，易知 A1D B1C，从而 B1C与 AC所成的角就是 AC与 A1D所成的角因为 AB1 AC B1C，所以 B1CA60.即 A1D与 AC所成的角为 60.(2)连接 BD，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， AC BD， AC A1C1.因为 E， F分别为 AB， AD的中点，所以 EF BD，所以 EF AC.所以 EF A1C1.即 A1C1与 EF所成的角为 90.10.如图所示，四边形 ABEF和 ABCD都是梯形， BC綊 AD， BE綊12FA， G， H分别为 FA， FD的中点12(1)证明：四边形 BCHG是平行四边形；(2)C
8、， D， F， E四点是否共面？为什么？解 (1)证明：由已知 FG GA， FH HD，可得 GH綊 AD.又 BC綊 AD， GH綊 BC.12 12四边形 BCHG为平行四边形(2) BE綊 AF， G为 FA的中点，12- 4 - BE綊 FG，四边形 BEFG为平行四边形， EF BG.由(1)知 BG綊 CH， EF CH， EF与 CH共面又 D FH， C， D， F， E四点共面B组 能力提升1在正方体 ABCDA1B1C1D1中， P， Q， R分别是 AB， AD， B1C1的中点，那么正方体过P， Q， R的截面图形是( )A三角形 B四边形C五边形 D六边形D 如图所
9、示，作 RG PQ交 C1D1于 G，连接 QP并延长与 CB延长线交于M，且 QP反向延长线与 CD延长线交于 N，连接 MR交 BB1于 E，连接 PE，则 PE， RE为截面与正方体的交线，同理连接NG交 DD1于 F，连接 QF， FG，则 QF， FG为截面与正方体的交线，所以截面为六边形 PQFGRE.2.如图所示， ABCDA1B1C1D1是长方体， O是 B1D1的中点，直线 A1C交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( )A A， M， O三点共线B A， M， O， A1不共面C A， M， C， O不共面D B， B1， O， M共面A 连接 A1C1， AC，
10、则 A1C1 AC，所以 A1， C1， C， A四点共面，所以A1C平面 ACC1A1，因为 M A1C，所以 M平面 ACC1A1，又 M平面AB1D1，所以 M在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 O在平面ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，又 A在平面 ACC1A1和平面 AB1D1的交线上所以 A， M， O三点共线B，C 不正确， BB1与 AO异面，所以 D不正确故选 A.3(2019西安模拟)如图是正四面体的平面展开图， G， H， M， N分别为 DE， BE， EF， EC的中点，在这个正四面体中， GH与 EF平行； BD与 MN为异面直线； GH与
11、MN成 60角； DE与 MN垂直，以上四个命题中，正确命题的序号是_ 还原成正四面体 ADEF，其中 H与 N重合， A， B， C三点重合易知 GH与 EF异面， BD与 MN异面又 GMH为等边三角形， GH与 MN成 60角，易证 DE AF， MN AF， MN DE.因此正确的序号是.4如图所示，在三棱锥 PABC中， PA底面 ABC， D是 PC的中点已知- 5 - BAC ， AB2， AC2 ， PA2.求：2 3(1)三棱锥 PABC的体积；(2)异面直线 BC与 AD所成角的余弦值解 (1) S ABC 22 2 ，12 3 3三棱锥 PABC的体积为V S ABCPA 2 2 .13 13 3 433(2)如图，取 PB的中点 E，连接 DE， AE，则 ED BC，所以 ADE是异面直线 BC与 AD所成的角(或其补角)在 ADE中， DE2， AE ， AD2，cos ADE .222 22 2222 34故异面直线 BC与 AD所成角的余弦值为 .34
