1、- 1 -课后限时集训(三十一) 数列求和(建议用时：60 分钟)A 组 基础达标一、选择题1等差数列 an中，已知公差 d ，且 a1 a3 a9950，则 a2 a4 a100( )12A50 B75 C100 D125B an是等差数列，公差 d ，12 a2 a4 a100( a1 a3 a99)50 d5050 75.1221 1 的值为( )(112) (1 12 14) 12 14 1210A18 B20129 1210C22 D181211 1210B 设 an1 2 .12 14 12n 111 (12)n1 12 1 (12)n则原式 a1 a2 a112 2 21 (12
2、)1 1 (12)2 1 (12)112 11 (12 122 1211)21112(1 1211)1 12 2 11 (11211)2 20 .(11 11211) 12103已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S37， S663，则数列 nan的前 n 项和为( )A3( n1)2 n B3( n1)2 nC1( n1)2 n D1( n1)2 nD 设等比数列 an的公比为 q， S37， S663， q1，- 2 -Error!解得Error! an2 n1 ， nan n2n1 ，设数列 nan的前 n 项和为Tn， Tn12232 242 3( n1)2 n2 n2n1
3、，2Tn222 232 342 4( n1)2 n1 n2n，两式相减得 Tn122 22 32 n1 n2n2 n1 n2n(1 n)2n1， Tn1( n1)2 n，故选 D4(2019湘潭模拟)已知 Sn为数列 an的前 n 项和，若 a12 且 Sn1 2 Sn，设bnlog 2an，则 的值是( )1b1b2 1b2b3 1b2 017b2 018A. B4 0352 018 4 0332 017C. D2 0172 018 2 0162 017B 由 Sn1 2 Sn可知，数列 Sn是首项为 S1 a12，公比为 2 的等比数列，所以Sn2 n.当 n2 时， an Sn Sn1
4、2 n2 n1 2 n1 .bnlog 2anError!当 n2 时， 1bnbn 1 ，所以 11 1 n 1 n 1n 1 1n 1b1b2 1b2b3 1b2 017b2 018 12 12 13 12 0162 .故选 B12 017 12 017 4 0332 0175已知函数 f(x) xa的图像过点(4,2)，令 an ， nN *，记数列1f n 1 f nan的前 n 项和为 Sn，则 S2 019( )A. 1 B 12 018 2 019C. 1 D 12 020 2 020C 由 f(4)2 得 4a2，解得 a ，则 f(x) x .12 12 an ，1f n 1
5、 f n 1n 1 n n 1 nS2 019 a1 a2 a3 a2 019( )( )( )( 2 1 3 2 4 3 2 020) 1.2 019 2 020二、填空题6设数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 ansin ， nN *，则 S2 018_.n21 ansin ， nN *，显然每连续四项的和为 0.n2- 3 -S2 018 S4504 a2 017 a2 0180101.7已知数列 an满足 a11， an1 an2 n(nN *)，则 S2 018_.321 0093 数列 an满足 a11， an1 an2 n， n1 时， a22， n2 时， anan1 2
6、n1 ，由得 2，an 1an 1数列 an的奇数项、偶数项分别成等比数列， S2 018 32 1 0093.1 21 0091 2 2 1 21 0091 28设 Sn1357(1) n1 (2n1)( nN *)，则 Sn_.(1) n1 n 当 n 为偶数时， Sn(13)(57)(2 n3)(2 n1)(2222)2 n.n2当 n 为奇数时， Sn(13)(57)(2 n5)(2 n3)(2 n1)2 (2 n1) n.n 12 Sn(1) n1 n.三、解答题9(2018开封一模)已知数列 an满足 a11，且 2nan1 2( n1) an n(n1)(1)求数列 an的通项公
7、式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.1an解 (1)由已知可得 ，an 1n 1 ann 12数列 是以 1 为首项， 为公差的等差数列，ann 12 ， an .ann n 12 n n 12(2) bn ， bn 2 ，1an 2n n 1 (1n 1n 1) Sn2 (112) (12 13) (1n 1n 1)2 (11n 1) .2nn 110(2018洛阳一模)已知各项均不为零的数列 an的前 n 项和为 Sn，且对任意的- 4 -nN *，满足 Sn a1(an1)13(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 bn满足 anbnlog 2an，数列 bn的前
8、 n 项和为 Tn，求证： Tn .89解 (1)当 n1 时， a1 S1 a1(a11) a a1，13 1321 13 a10， a14. Sn (an1)，当 n2 时， Sn1 (an1 1)，43 43两式相减得 an4 an1 (n2)，数列 an是首项为 4，公比为 4 的等比数列， an4 n.(2)证明： anbnlog 2an2 n， bn ，2n4n Tn ，241 442 643 2n4nTn ，14 242 443 644 2n4n 1两式相减得Tn 2 2 34 24 242 243 244 24n 2n4n 1 (14 142 143 144 14n) 2n4n
9、 114(1 14n)1 14 .2n4n 1 23 234n 2n4n 1 23 6n 834n 1 Tn .89 6n 894n 89B 组 能力提升1(2018石家庄一模)已知函数 f(x)的图像关于 x1 对称，且 f(x)在(1，)上单调，若数列 an是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50) f(a51)，则 an的前 100 项的和为( )A200 B100 C0 D50B 因为函数 f(x)的图像关于 x1 对称，又函数 f(x)在(1，)上单调，数列an是公差不为 0 的等差数列，且 f(a50) f(a51)，所以 a50 a512，所以 S10050( a50 a51)
10、100，故选 B100 a1 a10022(2019郑州模拟)在数列 an中，若对任意的 nN *均有 an an1 an2 为定值，且a72， a93， a984，则数列 an的前 100 项的和 S100( )- 5 -A132 B299 C68 D99B 因为在数列 an中，若对任意的 nN *均有 an an1 an2 为定值，所以an3 an，即数列 an中各项是以 3 为周期呈周期变化的因为a72， a93， a98 a3308 a84，所以 a1 a2 a3 a7 a8 a92439，所以S10033( a1 a2 a3) a100339 a7299，故选 B3(2019济南模拟
11、)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签：原点处标数字 0，记为 a0；点(1,0)处标数字 1，记为a1；点(1，1)处标数字 0，记为 a2；点(0，1)处标数字1，记为 a3；点(1，1)处标数字2，记为a4；点(1,0)处标数字1，记为 a5；点(1,1)处标数字 0，记为 a6；点(0,1)处标数字 1，记为 a7；以此类推，格点坐标为( i， j)的点处所标的数字为 i j(i， j 均为整数)，记Sn a1 a2 an，则 S2 018_.249 设 an的坐标为( x， y)，则 an x y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共 8 个点，
12、由对称性可知 a1 a2 a80；第二圈从点(2,1)到点(2,2)共 16 个点，由对称性可知a9 a10 a240，以此类推，可得第 n 圈的 8n 个点对应的这 8n 项的和也为 0.设 a2 018在第 k 圈，则 8168 k4 k(k1)，由此可知前 22 圈共有 2 024 个数，故 S2 0240，则 S2 018 S2 024( a2 024 a2 023 a2 019)， a2 024所在点的坐标为(22,22)， a2 0242222， a2 023所在点的坐标为(21,22)， a2 0232122，以此类推，可得 a2 0222022， a2 0211922， a2
13、0201822， a2 0191722，所以 a2 024 a2 023 a2 019249，故 S2 018249.4各项均为正数的数列 an的首项 a1 ，前 n 项和为 Sn，且 Sn1 Sn a .1 2n 1(1)求 an的通项公式；(2)若数列 bn满足 bn nan，求 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)因为 Sn1 Sn a ，2n 1所以当 n2 时， Sn Sn1 a ，2n得， an1 an a a ，即 an1 an (an1 an)(an1 an)，2n 1 2n因为 an的各项均为正数，所以 an1 an0，且 0，所以 an1 an (n2)1由知， S2 S1
14、 a ，即 2a1 a2 a ，又 a1 ，所以 a2 .2 21 2- 6 -所以 a2 a1 .1故 an1 an (nN *)，1所以数列 an是首项为 ，公差为 的等差数列，1 1所以 an ( n1) .1 1 n(2)由(1)得 an ，所以 bn n n1 ，n所以 Tn12 3 2( n1) n2 n n1 ，T n 2 23 3( n1) n1 n n，得(1 )Tn1 2 n1 n n，当 0 且 1 时，(1 )Tn n n，1 n1 得 Tn ，1 n 1 2 n n1 当 1 时，由得 Tn123( n1) n .n n 12 n2 n2综上，数列 bn的前 n 项和 TnError!
