1、- 1 -第二节 随机抽样考纲传真 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本.3.了解分层抽样和系统抽样方法.4.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题1简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法2系统抽样的步骤假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本(1)先将总体的 N 个个体编号(2)确定分段间隔 k，对编号进行分段，当 是整数时，取 k ，当 不是
2、整数时，随机从总Nn Nn Nn体中剔除余数，再取 k (N为从总体中剔除余数后的总数)Nn(3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l k)(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号( l k)，再加 k得到第 3 个个体编号( l2 k)，依次进行下去，直到获取整个样本3分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样(2)分层抽样的应用范围当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样常用结论1不论哪种抽样方法，总体中
3、的每一个个体入样的概率都是相同的2系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔 k 的整数倍3分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关( )(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样( )(3)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本，需要剔除 2 个学生，这样对被剔除者不公平( )- 2 -(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( )答案 (1) (2) (3) (4)2从 50
4、份高三学生期中考试试卷中随机抽出 15 份进行教研分析，则下列说法正确的是( )A15 名学生是样本 B50 名学生是总体C样本容量是 15 D样本容量是 50C 本题考查简单随机抽样的概念样本容量是 15.故选 C.3某学校为了了解高中一年级、二年级、三年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A抽签法 B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法C 总体由差异明显的几部分组成，故最合理的抽样方法是分层抽样法故选 C.4(教材改编)某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为 4的样本，已知 3
5、号，29 号，42 号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是( )A10 B11C12 D16D 由题意可知，分段间隔 k 13，524样本中还有一个学生的学号为 31316，故选 D.5某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件18 ，样 本 容 量总 体 个 数 60200 400 300 100 350应从丙种型号的产品中抽取 30018(件)350简单随机抽样1下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )从无限多个个体中抽
6、取 100 个个体作为样本；盒子里共有 80 个零件，从中选出 5 个零件进行质量检验在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验；某班有 56 名同学，指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛A0 B1C2 D3- 3 -A 不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；不是简单随机抽样因为它是有放回抽样；不是简单随机抽样因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；不是简单随机抽样因为不是等可能抽样故选 A.2总体由编号为 01,02,03，49,50 的 50 个个体组成，利用随机数表(以下选
7、取了随机数表中的第 1 行和第 2 行)选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，则选出来的第 4 个个体的编号为( )66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 9057 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 83 20 37 90A05 B09C11 D20B 从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取，符合条件的数有14,05,11,05,09 因为 05 出现了两次，所以选出来的第 4 个
8、个体的编号为 09.故选 B.3利用简单随机抽样，从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )13A. B.14 13C. D.514 1027C 根据题意得， ，解得 n28.故每个个体被抽到的概率为 .9n 1 13 1028 514规律方法 抽签法与随机数法的适用情况1 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况.2 一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.系统抽样【例 1】 采用
9、系统抽样方法从 1 000 人中抽取 50 人做问卷调查，将他们随机编号 1,2，1 000.适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若抽到的 50 人中，编号落入区间1,400的人做问卷 A，编号落入区间401,750的人做问卷 B，其余的人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 C 的人数为( )A12 B13C14 D15A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为 8，公差d 20 的等差数列 an，通项公式 an820( n1)20 n12，令1 0005075120 n121 000，得 n ，又 nN *，39 n50，76320 2535- 4 -做
10、问卷 C 的共有 12 人，故选 A.规律方法 1.如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除，则抽样间隔为 ，否则，可随机地kNn从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是nN.2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第 1 组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.(1)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做视力检查现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号已知从 3348 这 16 个数中抽到的数是39，则在第 1 小组 116 中随
11、机抽取的数是( )A5 B7C11 D13(2)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：Error!0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 91 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 80 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是_(1)B (2)4 (1)把 800 名学生分成 50 组，每组 16 人，各小组抽到的数构成一个公差为 16的等差数列，39 在第 3 组所以第 1 组抽到的数为 39327.(2)依题意，可将编号为 135
12、 号的 35 个数据分成 7 组，每组有 5 个数据，从每组中抽取一人成绩在区间139,151上共有 20 个数据，分在 4 个小组内，每组抽取 1 人，共抽取 4 人分层抽样【例 2】 (1)某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为 42 的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A7,11,18 B6,12,18C6,13,17 D7,14,21(2)一支田径队有男运动员 56 人，女运动员 m 人，用分层抽样抽出一个容量为 n 的样本，在这个样本中随机取一个当队长的概率为 ，且样本中的男队员比
13、女队员多 4 人，则128m_.(1)D (2)42 (1)因为该单位共有 275481162(人)，样本容量为 42，所以应当按 的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是 7,14,21.故42162 727选 D.(2)由题意知 n28，设其中有男队员 x 人，女队员有 y 人- 5 -则Error!解得 x16， y12， m42.规律方法 分层抽样问题类型及解题思路1 求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.2 已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.3 分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比.样
14、本 容 量总 体 容 量 各 层 样 本 数 量各 层 个 体 数 量 ”(1)某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的问卷调查，在A， B， C， D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收 1 000 份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为 150 的样本，若在 B 单位抽取 30 份，则在 D 单位抽取的问卷数是( )A40 B50C60 D70(2)已知某地区中学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_图 1 图 2(1)C (2)200,20 (1)由题意依次设在 A， B， C， D 四个单位回收的问卷数分别为a1， a2， a3， a4，在 D 单位抽取的问卷数为 n，则有 ，解得 a2200，又30a2 1501 000a1 a2 a3 a41 000，即 3a2 a41 000，所以 a4400，所以 ，解得 n60.n400 1501 000(2)样本容量为(3 5002 0004 500)2%200，抽取的高中生近视人数为 2 0002%50%20.- 6 -
