1、- 1 -第二节 空间图形的基本关系与公理考纲传真 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类Error!(2)异面直线所成的角定义：设 a， b 是两
2、条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)范围：(0，903直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况5等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补常 用 结 论 1公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面2异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图所示基础自测1(思
3、考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)- 2 -(1)如果两个不重合的平面 ， 有一条公共直线 a，就说平面 ， 相交，并记作 a. ( )(2)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线 ( )(3)平面 ABC 与平面 DBC 相交于线段 BC. ( )(4)没有公共点的两条直线是异面直线 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2下列命题正确的是( )A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D 依据公理 2 可知 D 选项正确3(教材改编)如图所示，在正方体 A
4、BCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成的角的大小为( )A30 B45C60 D90C 连接 B1D1， D1C(图略)，则 B1D1 EF，故 D1B1C 为所求的角，又B1D1 B1C D1C， D1B1C60.4已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A空间四边形 B矩形C菱形 D正方形B 如图， E， F， G， H 分别是边 AB， BC， CD， DA 的中点，易知 EH 綊 BD， FG 綊 BD，12 12 EH 綊 FG，四边形 EFGH 为平行四边形，又 AC BD，故 EF F
5、G，四边形 EFGH 为矩形故选 B5在三棱锥 SABC 中， G1， G2分别是 SAB 和 SAC 的重心，则直线 G1G2与 BC 的位置关系是_平行 如图所示，连接 SG1并延长交 AB 于 M，连接 SG2并延长交 AC 于 N，连接 MN.由题意知 SM 为 SAB 的中线，且 SG1 SM， SN 为 SAC 的中线，且 SG2 SN，23 23在 SMN 中， ，SG1SM SG2SN G1G2 MN，- 3 -易知 MN 是 ABC 的中位线， MN BC，因此可得 G1G2 BC.空间两条直线的位置关系1对于任意的直线 l 与平面 ，在平面 内必有直线 m，使得 m 与 l
6、( )A平行 B相交C垂直 D互为异面直线C 若 l ，则排除选项 D；若 l A，则排除选项 A；若 l ，则排除选项 B，故选 C.2设 a， b， c 是空间中三条不同的直线，给出下面四个说法：若 a b， b c，则 a c；若 a b， b c，则 a c；若 a 与 b 相交， b 与 c 相交，则 a 与 c 相交；若 a 平面 ， b 平面 ，则 a 与 b 一定是异面直线其中说法正确的是_(写出所有正确说法的序号) 显然正确；若 a b， b c，则 a 与 c 可以相交，平行，异面，故错误；当 a 与 b 相交， b 与 c 相交时， a 与 c 可能相交，也可能平行，还可
7、能异面，故错误；中 a 与 b 的关系，也可能有相交，平行，异面三种情况，故错误故只有正确3(2019唐山模拟)如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号) 图中，直线 GH MN；图中， G， H， N 三点共面，但 M平面 GHN，因此直线GH 与 MN 异面；图中，连接 MG， GM HN，因此 GH 与 MN 共面；图中， G， M， N 共面，但H平面 GMN，因此 GH 与 MN 异面所以在图 中 GH 与 MN 异面规律方法 (1)要判断空间两条直线的位置关系(平行、相交、异面)，可利用
8、定义及公理 4，借助空间想象并充分利用图形进行判断(2)判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形- 4 -等)模型来推断；二是利用排除法(3)在判断两条异面直线位置关系时，多用反证法平面的基本性质及应用【例 1】 如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F 分别是 AB和 AA1的中点求证：(1)E， C， D1， F 四点共面；(2)CE， D1F， DA 三线共点证明 (1)如图，连接 EF， CD1， A1B E， F 分别是 AB， AA1的中点， EF BA1.又 A1B D1C， EF CD1， E， C， D1， F 四点共面(2)
9、 EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，则由 P直线 CE， CE 平面 ABCD，得 P平面 ABCD同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1 DA， P直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点规律方法 1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ， 重合2证明点共线问题的常用方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3
10、证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上3证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上如图所示，空间四边形 ABCD 中， E， F 分别是 AB， AD的中点， G， H 分别在 BC， CD 上，且 BG GC DH HC12.(1)求证： E， F， G， H 四点共面；- 5 -(2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证： P， A， C 三点共线证明 (1)因为 E， F 分别为 AB， AD 的中点，所以 EF BD在 BCD 中， ，BGGC DHHC 12所以 GH BD，所以 EF
11、GH.所以 E， F， G， H 四点共面(2)因为 EG FH P， P EG， EG 平面 ABC，所以 P平面 ABC.同理 P平面 ADC.所以 P 为平面 ABC 与平面 ADC 的公共点又平面 ABC平面 ADC AC，所以 P AC，所以 P， A， C 三点共线异面直线所成的角【例 2】 (1)(2018银川二模)已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外的一点， M， N 分别是 AB， PC 的中点，若 MN BC4， PA4 ，则异面直线 PA 与 MN 所成角的大小是( )3A30 B45C60 D90(2)在三棱锥 SABC 中， AB AC， AB AC SA，
12、SA平面 ABC， D 为 BC 中点，则异面直线 AB 与 SD 所成角的余弦值为( )A. B55 66C. D306 305(1)A (2)B (1)连接 AC，并取其中点 O，连接 OM， ON，则 OM 綊 BC，12ON 綊 PA，12 ONM 是异面直线 PA 与 MN 所成的角，由 MN BC4， PA4 ，得 OM2， ON2 ， MN4，3 3cos ONM ，ON2 MN2 OM22ONMN 12 16 42234 32又 ONM(0，90， ONM30，即异面直线 PA 与 MN 所成角的大小为 30，- 6 -故选 A.(2)以 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axy
13、z，如图所示设 AB AC SA2，则(0,0,2)， (2,0,0)， (0,2,0)，AS AB AC (1,1,0)， (1,1，2)AD 12AB 12AC SD AD AS cos ， .故选 BAB SD 226 66规律方法 1.用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角2当题设中含有两两垂直的三边关系时，常借助坐标法求异面直线所成的角(1)如图所示，正三棱柱 ABCA1B1
14、C1的各棱长(包括底面边长)都是 2， E， F分别是 AB， A1C1的中点，则 EF 与侧棱 C1C 所成的角的余弦值是( )A. B55 255C. D212(2)(2019安庆模拟)正四面体 ABCD 中， E， F 分别为 AB， BD 的中点，则异面直线AF， CE 所成角的余弦值为_(1)B (2) (1)如图，取 AC 中点 G，连接 FG， EG，则16FG C1C， FG C1C， EG BC， EG BC，故 EFG 即为 EF 与 C1C 所成12的角，在 Rt EFG 中，cos EFG .FGFE 25 255(2)取 BF 的中点 G，连接 CG， EG(图略)，
15、易知 EG AF，所以异面直线 AF， CE 所成的角即为 GEC(或其补角)不妨设正四面体棱长为 2，易求得 CE ， EG ， CG ，由余弦定理得332 132- 7 -cos GEC ，所以异面直线 AF， CE 所成角的余弦值为 .EG2 CE2 CG22EGCE34 3 134232 3 16 161.(2018全国卷)在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，3则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为( )A. B15 56C. D55 22C 法一：如图，连接 BD1，交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM， OM，易知 O 为 BD1的
16、中点，所以 AD1 OM，则 MOD 为异面直线 AD1与 DB1所成角因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB BC1， AA1 ， AD1 2， DM 3 AD2 DD21AD2 (12AB)2 52， DB1 ，所以 OM AD11， OD DB1 ，AB2 AD2 DD21 512 12 52于是在 DMO 中，由余弦定理，得 cos MOD ，即异面直线 AD1与 DB112 (52)2 (52)22152 55所成角的余弦值为 ，故选 C.55法二：以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示由条件可知 D(
17、0,0,0)，A(1,0,0)， D1(0,0， )， B1(1,1， )，所以 (1,0 ， )，3 3 AD1 3(1,1， )，则由向量夹角公式，得 cos ， DB1 3 AD1 DB1 ，即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 225 55为 ，故选 C.552.(2017全国卷)已知直三棱柱 ABCA1B1C1中， ABC120， AB2，BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( )- 8 -A. B32 155C. D105 33C 以 B1为坐标原点， B1C1所在的直线为 x 轴，垂直于B1C1的直线为 y 轴，
18、 BB1所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示由已知条件知 B1(0,0,0)， B(0,0,1)， C1(1,0,0)， A(1， ，1)，3则 (1,0，1)， (1， ，1)BC1 AB1 3所以 cos ， .AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 252 105所以异面直线 AB1与 BC1所成的角的余弦值为 .故选 C.1053(2016全国卷)平面 过正方体 ABCDA1B1C1D1的顶点 A， 平面 CB1D1， 平面 ABCD m， 平面 ABB1A1 n，则 m， n 所成角的正弦值为( )A. B32 22C. D33 13A 如图，设平面 CB1D1平面 ABCD m1.平面 平面 CB1D1， m1 m.又平面 ABCD平面 A1B1C1D1，且平面 CB1D1平面 A1B1C1D1 B1D1， B1D1 m1. B1D1 m.平面 ABB1A1平面 DCC1D1，且平面 CB1D1平面 DCC1D1 CD1，同理可证 CD1 n.因此直线 m 与 n 所成的角即直线 B1D1与 CD1所成的角在正方体 ABCDA1B1C1D1中， CB1D1是正三角形，故直线 B1D1与 CD1所成角为 60，其正弦值为 .32- 9 -
