1、- 1 -第三节 三角函数的图像与性质考纲传真 1.能画出 ysin x， ycos x， y tan x的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x轴的交点等)，理解正切函数在区间 内的单调性(2， 2)1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数 ysin x， x0,2图像的五个关键点是： (0,0)， ，(，0)，(2， 1)，(2 ，0)(32， 1)余弦函数 ycos x， x0,2 图像的五个关键点是： (0,1)， ，(，1)，(2， 0)，(2 ，1)(32， 0)2正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质函数
2、 ysin x ycos x y tan x图像定义域R R xx k ，2kZ值域 1,1 1,1 R递增区间 ，2k 2， 2k 2kZ2k，2 k，kZk ，2k ， kZ2递减区间 ，2k 2， 2k 32kZ2k，2 k，kZ无奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数对称中心(k，0)， kZ， kZ(k 2， 0)， kZ(k2， 0)- 2 -对称轴方程 x k (kZ)2 x k( kZ) 无周期性 2 2 常 用 结 论 若 f(x) Asin(x )(A， 0)，则：(1)f(x)为偶函数的充要条件是 k( kZ)；2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)基础自测1(思考辨
3、析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 ysin x的图像关于点( k，0)( kZ)中心对称 ( )(2)正切函数 y tan x在定义域内是增函数 ( )(3)已知 y ksin x1， xR，则 y的最大值为 k1. ( )(4)ysin | x|与 y|sin x|都是周期函数 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2下列函数中，周期为 的是( )2A ycos 4 x B ysin 2 xC ycos D ysin x4 x2A 由 T 可知， 4，检验可知选项 A正确，故选 A.2 2T3若函数 ysin( x)是奇函数，则 的值可能是( )A. B6
4、 3C. D2D 由 ysin( x)是奇函数可知， k， kZ，故选 D4函数 y tan 2x的定义域是( )A.Error!BError!C.Error!DError!D 由 2x k ， kZ，得 x ， kZ，2 k2 4 y tan 2x的定义域为Error!.- 3 -5 ysin 的减区间是_(2x4)(kZ) 由 2 k2 x 2 k， kZ 得38 k ， 78 k 2 4 32 k x k， kZ.38 78三角函数的定义域和值域1函数 f(x)3sin 在区间 上的值域为( )(2x6) 0， 2A. B32， 32 32， 3C. D332， 332 332， 3B
5、因为 x ，0，2所以 2x ，6 6， 56所以 sin ，(2x6) 12， 1所以 3sin ，(2x6) 32， 3所以函数 f(x)在区间 上的值域是 .0，2 32， 32.(2016全国卷)函数 f(x)cos 2 x6cos 的最大值为( )(2 x)A4 B5C6 D7B f(x)cos 2 x6cos cos 2 x6sin x(2 x)12sin 2x6sin x22 ，(sin x32) 112又 sin x1,1，当 sin x1 时， f(x)取得最大值 5.故选 B3函数 ylg sin x 的定义域为_cos x 12(kZ) 要使函数有意义，则有(2k ，3
6、2k - 4 -Error!即Error!解得Error!( kZ)，2 k x 2 k， kZ.3函数的定义域为.x2k x3 2k ， k Z4函数 ysin xcos xsin x cos x， x0，的值域为_1,1 设 tsin xcos x，则 t2sin 2xcos 2x2sin xcos x，即 sin xcos x ，且1 t .1 t22 2 y t (t1) 21.t22 12 12当 t1 时， ymax1；当 t1 时， ymin1.函数的值域为1,1规律方法 1.三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来
7、求解2求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用 sin x和 cos x的值域求解(2)化一法：把所给三角函数化为 y Asin(x ) k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域(3)换元法：把 sin x，cos x，sin xcos x或 sin xcos x换成 t，转化为二次函数求解三角函数的单调性【例 1】 (1)(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x在0， a 是减函数，则 a的最大值是( )A. B4 2C. D34(2)函数 f(x)sin 的减区间为_( 2x3)- 5 -(1)C (2) (kZ) (1) f(x)cos xsin x sin ，k
8、12， k 512 2 (x 4)当 x ，即 x 时，4 2， 2 4， 34sin 递增， sin 递减，(x4) 2 (x 4) 是 f(x)在原点附近的递减区间，4， 34结合条件得0， a ，4， 34 a ，即 amax ，故选 C.34 34(2)由已知，得函数为 ysin ，欲求函数的减区间，只需求 ysin(2x3)的单调增区间即可(2x3)由 2k 2 x 2 k ， kZ，2 3 2得 k x k ， kZ.12 512故所求函数的减区间为 (kZ)k 12， k 512规律方法 1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：求形如 y Asin(x )( 0)的单调区间
9、时，要视“ x ”为一个整体，通过解不等式求解若 0，应先用诱导公式化 x的系数为正数，以防止把单调性弄错(2)图像法：画出三角函数的图像，利用图像求它的单调区间2已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解(1)(2019珠海模拟)已知 0，函数 f(x)sin 在 上( x4) (2， )递减，则 的取值范围是( )A(0,2 B (0，12C. D12， 34 12， 54(2)已知函数 f(x) Asin(x )(A， ， 均为正的常数)的最小正周期为 ，当x 时，函数 f(x)取得最小值，则下列结论正确的是( )23- 6 -A f(2) f(2) f
10、(0) B f(0) f(2) f(2)C f(2) f(0) f(2) D f(2) f(0) f(2)(1)D (2)A (1)由 2k x 2 k ，得2 4 32 x ， kZ，因为 f(x)sin 在 上递减，所以Error!2k 4 2k 54 ( x 4) (2， )解得Error!因为 kZ， 0，所以 k0，所以 ，即 的取值范围为 .故选 D12 54 12， 54(2)因为 T，所以 2.所以 2 2 k， kZ，得 的一个正值为23 32，所以 y Asin .6 (2x 6)由函数图像及 2，2,0 与最近的最高值的距离，距离越大值越小，可判断 f(2) f(2) f
11、(0)故选 A.三角函数的奇偶性、周期性及对称性考法 1 三角函数的周期性【例 2】 (1)函数 y sin 2xcos 2 x的最小正周期为( )3A. B2 23C D2(2)若函数 f(x)2 tan 的最小正周期 T满足 1 T2，则自然数 k的值为(kx3)_(1)C (2)2 或 3 (1)因为 y sin 2xcos 2x2 2sin3 (32sin 2x 12cos 2x)，所以其最小正周期 T .故选 C.(2x6) 22(2)由题意知 1 2，即 k2 k.k又 kZ，所以 k2 或 k3.考法 2 三角函数的奇偶性【例 3】 已知函数 f(x)sin( x ) cos(x
12、 )， 是偶函数，则3 2， 2 的值为( )A0 B6- 7 -C. D4 3B f(x)2sin ，(x 3)要使 f(x)为偶函数，只需 k ， kZ.3 2 k ， kZ.6又 ，当 k0 时， .2， 2 6考法 3 三角函数图像的对称性【例 4】 (1)(2018陕西二模)已知函数 f(x)sin ( 0)的最小正周期为( x3)，则该函数的图像( )A关于点 对称(12， 0)B关于点 对称(6， 0)C关于直线 x 对称12D关于直线 x 对称3(2)(2019武汉模拟)若函数 ycos ( N *)图像的一个对称中心是 ，( x6) (6， 0)则 的最小值为_(1)C (2
13、)2 (1)由题意，得 T ，所以 2，所以 f(x)sin .由2 (2x 3)2x k( kZ)，得 x (kZ)，所以函数 f(x)关于点 (kZ)对称，3 k2 6 (k2 6， 0)故 A，B 不正确；由 2x k (kZ)，得 x (kZ)，所以函数 f(x)关于直3 2 k2 12线 x 对称，故 C正确，D 不正确，故选 C.12(2)由题意知 k (kZ)，6 6 2 6 k2( kZ)，又 N * ， min2.规律方法 1.对于函数 y Asin(x )，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点- 8 -2求三角函数周期的方法(1)利用周期函
14、数的定义(2)利用公式： y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 ，2| |y tan(x )的最小正周期为 .| |(1)在函数 ycos|2 x|， y|cos x|， ycos ， y tan(2x6)中，最小正周期为 的所有函数为( )(2x4)A BC D(2)(2019山师大附中模拟)设函数 f(x)sin(2 x )(0 )在 x 时取得最6大值，则函数 g(x)cos(2 x )的图像( )A关于点 对称(6， 0)B关于点 对称(3， 0)C关于直线 x 对称6D关于直线 x 对称3(3)(2018济南一模)已知函数 f(x)sin( x ) cos(x
15、)3的最小正周期为 ，且 f f(x)，则( )( 0， | |2) (3 x)A f(x)在 上递减(0，2)B f(x)在 上递增(6， 23)C f(x)在 上递增(0，2)D f(x)在 上递减(6， 23)(1)A (2)A (3)D (1) ycos|2 x|cos 2 x，最小正周期为 ；由图像知 y|cos x|的最小正周期为 ； ycos 的最小正周期 T ；(2x6) 22- 9 - y tan 的最小正周期 T ，故选 A.(2x4) 2(2)因为 x 时， f(x)sin(2 x )(0 )取得最大值，6所以 ，即 g(x)cos ，6 (2x 6)所以对称中心 ，对称
16、轴 x ，故选 A.(k2 6， 0) k2 12(3)f(x)sin( x ) cos(x )2sin ，因为其最小正周期为3 ( x 3)，所以 ， 2，则 f(x)2sin ，又因为 f f(x)，所以 x2 (2x 3) (3 x)为函数 f(x)图像的一条对称轴，则 2 k， kZ，解得6 6 3 2 k， kZ，又因为| | ，所以 ，则 f(x)6 2 62sin 2sin ，令 2 k2 x 2 k， kZ，得(2x6 3) (2x 6) 2 6 32 k x k， kZ，令 k0，得函数 f(x)在 上递减，故选 D6 23 (6， 23)1(2017全国卷)函数 f(x)s
17、in 的最小正周期为( )(2x3)A4 B2C D2C 函数 f(x)sin 的最小正周期 T .故选 C.(2x3) 222.(2017全国卷)设函数 f(x)cos ，则下列结论错误的是( )(x3)A f(x)的一个周期为2B y f(x)的图像关于直线 x 对称83C f(x)的一个零点为 x6D f(x)在 递减(2， )D A 项，因为 f(x)cos 的周期为 2k( kZ)，所以 f(x)的一个周期为(x3)- 10 -2，A 项正确B项，因为 f(x)cos 图像的对称轴为直线 x k (kZ)，所以 y f(x)的(x3) 3图像关于直线 x 对称，B 项正确83C项，
18、f(x)cos .令 x k (kZ)，得 x k ，当 k1(x43) 43 2 56时， x ，所以 f(x)的一个零点为 x ，C 项正确6 6D项，因为 f(x)cos 的递减区间为 (kZ)，递增区间为(x3) 2k 3， 2k 23(kZ)，所以 是减区间， 是增区间，D 项错误2k 23， 2k 53 (2， 23) 23， )故选 D3.(2018全国卷)函数 f(x)cos 在0，的零点个数为(3x6)_3 由题意知，cos 0，所以 3x k， kZ，所以(3x6) 6 2x ， kZ.当 k0 时， x ；当 k1 时， x ；当 k2 时， x ，均满足9 k3 9 49 79题意，所以函数 f(x)在0，的零点个数为 3.4(2017全国卷)函数 f(x)sin 2x cos x 的最大值是334(x 0， 2)_1 f(x)1cos 2x cos x 21.334 (cos x 32) x ，cos x0,1，0，2当 cos x 时， f(x)取得最大值，最大值为 1.32- 11 -
