1、- 1 -第三节 函数的奇偶性与周期性考纲传真 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义， 会判断、应用简单函数的周期性1奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数；图像关于 y 轴对称的函数叫作偶函数2判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称；(2)考察表达式 f(x)是否与 f(x)或 f(x)相等若 f( x) f(x)，则 f(x)为奇函数；若 f( x) f(x)，则 f(x)为偶函数；若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f
2、(x)既是奇函数又是偶函数；若 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数3函数的周期性(1)周期函数对于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f(x T) f(x)，那么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期常用结论1函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数 f(x)在 x0 处有定义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x) f(|x
3、|)(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性2周期性的几个常用结论对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x，周期为 T，则(1) 若 f(x a) f(x)，则 T2 a；- 2 -(2)若 f(x a) ，则 T2 a；1f x(3)若 f(x a) f(x b)，则 T a b.基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y x2， x(0，)是偶函数 ( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点 ( )(3)若函数 y f(x a)是偶函数，则函数 y f(x)关于直线 x a
4、对称 ( )(4)函数 f(x)在定义域上满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期为 2a(a0)的周期函数 ( )答案 (1) (2) (3) (4)2(教材改编)下列函数中为偶函数的是( )A y x2sin x B y x2cos xC y|ln x| D y2 xB A 为奇函数，C，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选 B.3已知 f(x) ax2 bx 是定义在 a1,2 a上的偶函数，那么 a b 的值是( )A B.13 13C. D12 12B 依题意 b0，且 2a( a1)， b0 且 a ，则 a b .13 134(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R
5、上的奇函数，当 x0 时， f(x) x(1 x)，则当x0 时， f(x)的解析式为( )A f(x) x(1 x) B f(x) x(1 x)C f(x) x(1 x) D f(x) x(x1)B 当 x0 时， x0，又 x0 时， f(x) x(1 x)，故 f( x) x(1 x)又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)， f(x) x(1 x)，即 f(x) x(1 x)，故选 B.5已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，则 f(8)的值为_0 f(x)为定义在 R 上的奇函数， f(0)0，又 f(x4) f(x)， T4. f(8) f(0)0
6、.- 3 -函数的奇偶性及其应用【例 1】 (1)若 f(x)ln(e 3x1) ax 是偶函数，则 a_.(2)判断下列函数的奇偶性： f(x) ；3 x2 x2 3 f(x) ；lg 1 x2|x 2| 2 f(x)Error!(1) 由 f( x) f(x)得 ln(e3 x1) axln(e 3x1) ax，32整理得 ln 2 ax0.e3x 1e 3x 1 e 3x，e3x 1e 3x 1 e3x e 3x 1e 3x 1ln e 3x2 ax0，2 ax3 x，即(2 a3) x0 对任意 x 恒成立，故 2a30，所以 a .32(2)解 由Error!得 x23，解得 x ，
7、3即函数 f(x)的定义域为 ， ，3 3从而 f(x) 0.3 x2 x2 3因此 f( x) f(x)且 f( x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数由Error!得定义域为(1,0)(0,1)，关于原点对称 x20，| x2|2 x， f(x) .lg 1 x2 x又 f( x)lg1 x 2x f(x)，lg 1 x2 x函数 f(x)为奇函数显然函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当 x0 时， x0，则 f( x)( x)2 x x2 x f(x)；- 4 -当 x0 时， x0，则 f( x)( x)2 x x2 x f(x)；综上可知：对于定义域内
8、的任意 x，总有 f( x) f(x)成立，函数 f(x)为奇函数规律方法 判断函数的奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图像法：(1)已知 y f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) y f(|x|)； y f( x)； y xf(x)； y f(x) x.A BC D(2)(2019湖北重点中学联考)已知函数 f(x)(e xe x)ln 1，若 f(a)1，则1 x1 xf( a)( )A1 B1C3 D3(3)若函数 f(x) x5 ax3 bsin x2 在3,3上的最大值为 M，最小值为 m，则M m_.(1)D (2)D (3)4 (1)由奇函数的定义，
9、 f( x) f(x)验证， f(| x|) f(|x|)，故为偶函数； f( x) f(x) f( x)，为奇函数； xf( x) x f(x) xf(x)，为偶函数； f( x)( x) f(x) x，为奇函数综上可知正确，故选 D.- 5 -(2)令 g(x) f(x)1(e xe x)ln ，则 g( x)(e xe x)ln (e xe x)ln 1 x1 x 1 x1 x g(x)，所以 g(x)为奇函数，所以 f( a) g( a)1 g(a)1 f(a)1 x1 x23，故选 D.(3)令 g(x) x5 ax3 bsin x， x3,3，则 g(x)为奇函数， f(x) g(
10、x)2， M f(x)max g(x)max2，m f(x)min g(x)min2， M m4.函数周期性、对称性的应用【例 2】 (1)(2018全国卷)已知 f(x)是定义在(，)的奇函数， 满足f(1 x) f(1 x)若 f(1)2，则 f(1) f(2) f(3) f(50)( )A50 B0C2 D50(2)(2018江苏高考)函数 f(x)满足 f(x4) f(x)(xR)，且在区间(2,2上， f(x)Error!则 f(f(15)的值为_(1)C (2) (1)由 f(1 x) f(1 x)可知 f(x) f(2 x)，22又 f( x) f(x)，且 f( x) f(2
11、x)，故 f(2 x) f(x)， f(4 x) f(x)，即函数 y f(x)是周期为 4 的周期函数又由题意可知 f(0)0， f(1)2，所以 f(2) f(0)0， f(3) f(1) f(1)2， f(4) f(0)0， f(1) f(2) f(3) f(4)20200.又 501242， f(1) f(2) f(3) f(50)4 f(1) f(2) f(3) f(4) f(1) f(2)40202.故选 C.(2)由函数 f(x)满足 f(x4) f(x)(xR)，可知函数 f(x)的最小正周期是 4.因为在区间(2,2上， f(x)Error!所以 f(f(15) f(f(1)
12、 f cos .(12) 4 22规律方法 1 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.2 根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性- 6 -都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.在解决具体问题时，要注意结论：若 T是函数的周期，则 kT kZ 且 k0 也是函数的周期.(2019泉州检测)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且 f(1)2，则 f(4) f(5)_.2 f(x1)为偶函数， f(x)是奇函数， f( x1) f(x1)，f(x) f( x)， f(0)0，
13、 f(x1) f( x1) f(x1)， f(x2) f(x)， f(x4) f(x22) f(x2) f(x)， f(x)是周期为 4 的周期函数，则 f(4) f(0)0， f(5) f(1)2， f(4) f(5)022.函数性质的综合应用考法 1 单调性与奇偶性结合【例 3】 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)为减函数，且f(1)1，若 f(x2)1，则 x 的取值范围是( )A(，3 B(，1C3，) D1，)A 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且是0，)上的减函数，故函数 f(x)在 R 上递减又 f(1)1，所以 f(1)1，因此 f(x2)
14、1 f(x2) f(1)x21 x3，所以 x 的取值范围是(，3，故选 A.考法 2 周期性与奇偶性结合【例 4】 (1)(2019四川模拟)设奇函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x4) f(x)，当x4,6时 f(x)2 x1，则 f(x)在区间2,0上的表达式为( )A f(x)2 x1 B f(x)2 x4 1C f(x)2 x4 1 D f(x)2 x1(2)(2017山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4) f(x2)若当x3,0时， f(x)6 x，则 f(919)_.(1)B (2)6 (1)当 x2,0时， x0,2， x44,6又当 x4,6时，
15、 f(x)2 x1， f( x4)2 x4 1.又 f(x4) f(x)，函数 f(x)的周期为 T4，- 7 - f( x4) f( x)又函数 f(x)是 R 上的奇函数， f( x) f(x)， f(x)2 x4 1，当 x2,0时， f(x)2 x4 1.故选 B.(2) f(x4) f(x2)， f(x2)4) f(x2)2)，即 f(x6) f(x)， f(x)是周期为 6 的周期函数， f(919) f(15361) f(1)又 f(x)是定义在 R 上的偶函数， f(1) f(1)6，即 f(919)6.考法 3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例 5】 (2019惠州调研)已知
16、函数 y f(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 x1， x24,8，当 x1 x2时，都有 0 恒成立；f x1 f x2x1 x2 f(x4) f(x)； y f(x4)是偶函数若 a f(7)， b f(11)， c f(2 018)，则 a， b， c 的大小关系正确的是( )A a b c B b c aC a c b D c b aB 由知函数 f(x)在区间4,8上为递增函数；由知 f(x8) f(x4) f(x)，即函数 f(x)的周期为 8，所以 c f(2 018) f(25282) f(2)， b f(11) f(3)；由可知函数 f(x)的图像关于直线 x
17、4 对称，所以 b f(3) f(5)， c f(2) f(6)因为函数 f(x)在区间4,8上为递增函数，所以 f(5) f(6) f(7)，即 b c a，故选 B.规律方法 函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法1 函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图像的对称性.2 周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.3 周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.(1)(2019山师大附中模拟)函数 f(x)是
18、R 上的偶函数，且 f(x1) f(x)，若 f(x)在1,0上递减，则函数 f(x)在3,5上是( )A增函数- 8 -B减函数C先增后减的函数D先减后增的函数(2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在区间0，)上为增函数，且 f 0，则不等式(13)f(x)0 的解集为_(1)D (2) (1)已知 f(x1) f(x)，则函数周期 T2，因为函数 f(x)是x|x13或 x 13R 上的偶函数，在1,0上递减，所以函数 f(x)在0,1上递增，即函数 f(x)在3,5上是先减后增的函数故选 D.(2)由已知 f(x)在 R 上为偶函数，且 f 0，(13) f(x)0 等价于 f(
19、|x|) f ，(13)又 f(x)在0，)上为增函数，| x| ，13即 x 或 x .13 131(2017全国卷)函数 f(x)在(，)递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1 f(x2)1 的 x 的取值范围是( )A2,2 B1,1C0,4 D1,3D f(x)为奇函数， f( x) f(x) f(1)1， f(1) f(1)1.故由1 f(x2)1，得 f(1) f(x2) f(1)又 f(x)在(，)递减，1 x21，1 x3.故选 D.2(2014全国卷)设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，- 9 -则下列结论中正确的是( )
20、A f(x)g(x)是偶函数B| f(x)|g(x)是奇函数C f(x)|g(x)|是奇函数D| f(x)g(x)|是奇函数C A：令 h(x) f(x)g(x)，则 h( x) f( x)g( x) f(x)g(x) h(x)， h(x)是奇函数，A 错误B：令 h(x)| f(x)|g(x)，则 h( x)| f( x)|g( x)| f(x)|g(x)| f(x)|g(x) h(x)， h(x)是偶函数，B 错误C：令 h(x) f(x)|g(x)|，则 h( x) f( x)|g( x)| f(x)|g(x)| h(x)， h(x)是奇函数，C 正确D：令 h(x)| f(x)g(x)
21、|，则 h( x)| f( x)g( x)| f(x)g(x)| f(x)g(x)| h(x)， h(x)是偶函数，D 错误3.(2017全国卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时， f(x)2 x3 x2，则 f(2)_.12 法一：令 x0，则 x0. f( x)2 x3 x2.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( x) f(x) f(x)2 x3 x2(x0) f(2)22 32 212.法二： f(2) f(2)2(2) 3(2) 212.4(2015全国卷)若函数 f(x) xln(x )为偶函数，则 a_.a x21 f(x)为偶函数， f( x) f(x)0 恒成立， xln( x ) xln(x )0 恒成立， xln a0 恒成立，ln a0，即a x2 a x2a1.5(2014全国卷)已知偶函数 f(x)在0，)递减， f(2)0.若 f(x1)0，则 x 的取值范围是_(1,3) f(x)是偶函数，图像关于 y 轴对称又 f(2)0，且 f(x)在0，)递减，则 f(x)的大致图像如图所示，由 f(x1)0，得2 x12，- 10 -即1 x3.
