1、- 1 -第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考纲传真 1.了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定1简单的逻辑联结词(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词(2)命题 p 且 q、 p 或 q、非 p 的真假判断p q p 且 q p 或 q 非 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真2.全称量词和存在量词(1)全称量词：短语“所有的” “任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示(2)存在量词：短语“存在一个” “至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“
2、”表示3全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定全称命题对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立 x M， p(x) x0 M，綈 p(x0)特称命题存在 M 中的一个 x0，使p(x0)成立 x0 M， p(x0) x M，綈 p(x)常用结论1含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p q： p， q 中有一个为真，则 p q 为真，即有真为真(2)p q： p， q 中有一个为假，则 p q 为假，即有假即假(3)綈 p：与 p 的真假相反，即一真一假，真假相反2含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论” 3命题的否定和否命题的区别：命题
3、“若 p，则 q”的否定是“若 p，则綈 q”，否命题是“若綈 p，则綈 q”基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)命题“32”是真命题( )- 2 -(2)若命题 p q 为假命题，则命题 p， q 都是假命题( )(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等” ( )(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题( )答案 (1) (2) (3) (4)2命题“ x0R ， x x010”的否定是( )20A xR， x2 x10B xR， x2 x10C x0R ， x x01020D x0R ， x x01020A 特称命题的否定是全称命题，故选 A
4、.3下列命题中的假命题是( )A x0R ，lg x01B x0R ，sin x00C xR， x30D xR,2 x0C 当 x0 时， x30，故选项 C 错误，故选 C.4(教材改编)已知 p：2 是偶数， q：2 是质数，则命题綈 p，綈 q， p q， p q 中真命题的个数为( )A1 B2C3 D4B p 和 q 显然都是真命题，所以綈 p，綈 q 都是假命题， p q， p q 都是真命题5若命题“ xR， ax2 ax20”是真命题，则实数 a 的取值范围是_8,0 当 a0 时，不等式显然成立当 a0 时，依题意知Error!解得8 a0.综上可知8 a0.全称命题、特称命
5、题1. 命题“ xR， nN *，使得 n x2”的否定形式是( )A xR， nN *，使得 n x2B xR， nN *，使得 n x2C xR ， nN *，使得 n x2D xR ， nN *，使得 n x2D 结合全(特)称命题的否定形式可知，D 选项正确- 3 -2(2019商丘模拟)已知 f(x)sin x x，命题 p： x ， f(x)0，则( )(0， 2)A p 是假命题，綈 p： x ， f(x)0(0， 2)B p 是假命题，綈 p： x ， f(x)0(0， 2)C p 是真命题，綈 p： x ， f(x)0(0， 2)D p 是真命题，綈 p： x ， f(x)0
6、(0， 2)C 易知 f( x)cos x10 ，所以 f(x)在 上是减函数，因为 f(0)0，所以 f(x)(0， 2)0，所以命题 p： x ， f(x)0 是真命题，綈 p： x ， f(x)0，故选 C.(0， 2) (0， 2)3下列四个命题：p1： x0(0， )，x0x0；(12) (13)p2： x0(0,1) ，log x0log x0；12 13p3： x(0，)，xlog x；(12) 12p4： x ，xlog x.(0，13) (12) 13其中的真命题是( )A p1， p3 B p1， p4C p2， p3 D p2， p4D 对于 p1，当 x0(0，)时，总
7、有x0x0成立，故 p1是假命题；对于 p2，当 x0(12) (13)时，有 1log log log 成立，故 p2是真命题；对于 p3，结合指数函数 yx与12 1212 1313 1312 (12)对数函数 ylog x 在(0，)上的图象，可以判断 p3是假命题；对于 p4，结合指数函数12yx与对数函数 ylog x 在 上的图象可以判断 p4是真命题(12) 13 (0， 13)规律方法 (1)全(特)称命题的否定方法： x M， p(x) x0 M，綈 p(x0)，简记：改互 否 量词，否结论(2)判定全称命题“ x M， p(x)”是真命题，需要对集合 M 中的每一个元素 x
8、，证明 p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个 x x0，使 p(x0)成立- 4 -判断含有逻辑联结词的命题的真假【例 1】 (1)若命题“ p q”是真命题， “綈 p 为真命题” ，则( )A p 真， q 真 B p 假， q 真C p 真， q 假 D p 假， q 假(2)(2019山师大附中模拟)设命题 p：函数 f(x)2 x2 x在 R 上递增，命题 q： ABC 中，A Bsin Asin B，下列命题为真命题的是( )A p q B p(綈 q)C(綈 p) q D(綈 p)(綈 q)(1)B (2)C (1)因为綈 p 为真命题，所以 p 为
9、假命题，又因为 p q 为真命题，所以 q 为真命题(2)f(x)2 x2 x是复合函数，在 R 上不是单调函数，命题 p 是假命题，在 ABC 中，A Bsin Asin B 成立，命题 q 是真命题，所以(綈 p) q 为真，故选 C.规律方法 “ p q”“p q”“綈 p”形式命题真假的判断步骤1 确定命题的构成形式；2 判断命题 p， q 的真假；3 根据真值表确定“ p q”“p q”“綈 p”形式命题的真假已知命题 p： x0R，使 tan x0 ，命题 q： x23 x20 的解集是33x|1 x2，下列结论：命题“ p q”是真命题；命题“ p(綈 q)”是假命题；命题“(綈
10、 p) q”是真命题；命题“(綈 p)(綈 q)”是假命题其中正确的是( )A BC DD 由题意可知： p， q 均为真命题， p q 是真命题， p(綈 q)是假命题；(綈 p) q 是真命题；(綈 p)(綈 q)是假命题，故均正确由命题的真假确定参数的取值范围【例 2】 (1)已知 f(x)ln( x21)， g(x)x m，若对 x10,3， x21,2，使得(12)f(x1) g(x2)，则实数 m 的取值范围是( )A. B.14， ) 12， )C. D.( ，14 ( ， 12(2)给定命题 p：对任意实数 x 都有 ax2 ax10 成立； q：关于 x 的方程 x2 x a
11、0 有实数根如果 p q 为真命题， p q 为假命题，则实数 a 的取值范围为_- 5 -(1)A (2)(，0) (1)当 x0,3时， f(x)min f(0)0，(14， 4)当 x1,2时，g(x)min g(2) m，14由 f(x)min g(x)min，得 0 m，所以 m ，故选 A.14 14(2)当 p 为真命题时， “对任意实数 x 都有 ax2 ax10 成立” a0 或Error!所以 0 a4.当 q 为真命题时， “关于 x 的方程 x2 x a0 有实数根” 14 a0，所以 a .14因为 p q 为真命题， p q 为假命题，所以 p， q 一真一假所以若
12、 p 真 q 假，则 0 a4，且 a ，14所以 a4；若 p 假 q 真，则Error!即 a0.故实数 a 的取值范围为(，0) .14 (14， 4)母题探究 若将本例(1)中“ x21,2”改为“ x21,2” ，其他条件不变，则实数 m的取值范围是什么？解 当 x1,2时， g(x)max g(1) m，12由 f(x)min g(x)max，得 0 m，所以 m ，即 m 的取值范围为 .12 12 12， )规律方法 根据全 特 称命题的真假求参数的思路与全称命题或特称命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题，解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转
13、化，得到关于参数的方程或不等式 组 ，再通过解方程或不等式 组 求出参数的值或范围.(2019辽宁五校联考)已知命题“ xR,4 x2( a2) x 0”是假命题，则14实数 a 的取值范围为( )A(，0) B0,4C4，) D(0,4)D 因为命题“ xR,4 x2( a2) x 0”是假命题，所以其否定“ xR,4 x2( a2)14x 0”是真命题，则 ( a2) 244 a24 a0，解得 0 a4，故选 D.14 141(2015全国卷)设命题 p： nN， n22 n，则綈 p 为( )- 6 -A nN， n22 n B nN， n22 nC nN， n22 n D nN， n22 nC 因为“ x M， p(x)”的否定是“ x M，綈 p(x)”，所以命题“ nN， n22n”的否定是“ nN， n22 n”故选 C.2(2013全国卷)已知命题 p： xR,2 x3 x；命题 q： xR， x31 x2，则下列命题中为真命题的是( )A p q B綈 p qC p綈 q D綈 p綈 qB 当 x0 时，有 2x3 x，不满足 2x3 x， p： xR,2 x3 x是假命题如图，函数 y x3与 y1 x2有交点，即方程 x31 x2有解， q： xR， x31 x2是真命题 p q 为假命题，排除 A.綈 p 为真命题，綈 p q 是真命题，选 B.
