1、1专题突破四 数列求和学习目标 1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法知识点一 分组分解求和法思考 求和：1 2 3 .12 122 123 (n 12n)答案 1 2 3 (123 n)12 122 123 (n 12n) (12 122 123 12n) n n 1212(1 12n)1 12 1 .n n 12 12n总结 分 组 分 解 求 和 的 基 本 思 路 ： 通 过 分 解 每 一 项 重 新 组 合 ， 化 归 为 等 差 数 列 和 等 比 数 列 求和
2、知识点二 奇偶并项求和法思考 求和 122 23 24 299 2100 2.答案 1 22 23 24 299 2100 2(1 22 2)(3 24 2)(99 2100 2)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5050.总结 奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和但当求前 n 项和而 n 是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论知识点三 裂项相消求和法思考 我们知道 ，试用此公式求和： .1n n 1 1n 1n 1 112 123 1n n 1答案 由 得1n n 1 1n 1n 1 1
3、12 123 1n n 121 12 12 13 1n 1n 11 .1n 1总结 如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项裂项相消求和常用公式：(1) ( )；1n n k 1k1n 1n k(2) ( )；1n k n 1k n k n(3) ( )；1 2n 1 2n 1 12 12n 1 12n 1(4) 1n n 1 n 2 12 1n n 1 1 n 1 n 2知识点四 错位相减求和法思考 记 bn n2n，求数列 bn的前 n 项和 Sn.答案 Sn1222 232 3 n2n， 2Sn12 222 332 4( n1)2
4、n n2n+1， ，得 Sn2 12 22 32 42 n n2n+12( n1)2 n+1. Sn2( n1)2 n+1， nN .总结 错位相减法主要适用于 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 anbn的前 n 项和利用“错位相减法”时，先写出 Sn与 qSn的表达式，再将两式对齐作差，正确写出(1 q)Sn的表达式；(利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于 1)1并项求和一定是相邻两项结合( )2裂项相消一定是相邻两项裂项后产生抵消( )题型一 分组分解求和例 1 求和： Sn 2 2 2(x0) (x1x) (x2 1x2) (xn 1xn)解 当 x1 时，Sn 2 2 2(x
5、1x) (x2 1x2) (xn 1xn)3 (x2 21x2) (x4 2 1x4) (x2n 2 1x2n)( x2 x4 x2n)2 n (1x2 1x4 1x2n) 2 nx2 x2n 1x2 1 x-2 1 x-2n1 x-2 2 n； x2n 1 x2n+2 1x2n x2 1当 x1 时， Sn4 n.综上知， SnError!反思感悟 某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和跟踪训练 1 已知正项等比数列 an中， a1 a26， a3 a424.(1)求数列 an的通项公式；(2)数列 bn满
6、足 bnlog 2an，求数列 an bn的前 n 项和解 (1)设数列 an的公比为 q(q0)，则Error!解得Error! an a1qn-122 n-12 n.(2)bnlog 22n n，设 an bn的前 n 项和为 Sn，则 Sn( a1 b1)( a2 b2)( an bn)( a1 a2 an)( b1 b2 bn)(22 22 n)(12 n) 2 2n 12 1 n 1 n22 n+12 n2 n.12 12题型二 裂项相消求和例 2 求和： ， n2， nN .122 1 132 1 142 1 1n2 1解 ，1n2 1 1 n 1 n 1 12( 1n 1 1n
7、1)原式 Error!Error!1212(1 12 1n 1n 1) (n2， nN )34 2n 12n n 14引申探究求和： ， n2， nN .2222 1 3232 1 4242 1 n2n2 1解 1 ，n2n2 1 n2 1 1n2 1 1n2 1原式 (1122 1) (1 132 1) (1 142 1) (1 1n2 1)( n1) (122 1 132 1 142 1 1n2 1)以下同例 2 解法反思感悟 求和前一般先对数列的通项公式变形，如果数列的通项公式可转化为 f(n1) f(n)的形式，常采用裂项求和法跟踪训练 2 求和：1 ， nN .11 2 11 2 3
8、 11 2 3 n解 an 2 ，11 2 n 2n n 1 (1n 1n 1) Sn2 .(112 12 13 1n 1n 1) 2nn 1题型三 奇偶并项求和例 3 求和： Sn1357(1) n(2n1)解 当 n 为奇数时，Sn(13)(57)(911)(2 n5)(2 n3)(2 n1)2 (2 n1) n.n 12当 n 为偶数时，Sn(13)(57)(2 n3)(2 n1)2 n.n2 Sn(1) nn (nN )反思感悟 通项中含有(1) n的数列求前 n 项和时可以考虑使用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和跟踪训练 3 已知数列1,4，7,10，(1) n(3n2)，
9、求其前 n 项和 Sn.解 当 n 为偶数时，令 n2 k(kN )，Sn S2k14710(1) n(3n2)(14)(710)(6 k5)(6 k2)3 k n；325当 n 为奇数时，令 n2 k1( kN )， Sn S2k1 S2k a2k3 k(6 k2)23 k . 3n 12 SnError!题型四 错位相减求和例 4 (2018佛山检测)已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 an3 Sn2( nN )(1)求数列 an的通项公式；(2)求数列 nan的前 n 项和 Tn.解 (1)当 n1 时， a13 S123 a12，解得 a11.当 n2 时， an3 Sn2，
10、 an1 3 Sn1 2，两式相减得 an an1 3 an，化简得 an an1 ，12所以数列 an是首项为 1，公比为 的等比数列，12所以 an n-1， nN .(12)(2)由(1)可得 nan n n-1.(12)Tn1 02 13 2 n n-1，(12) ( 12) ( 12) ( 12) Tn1 12 2( n1) n-1 n n，12 ( 12) ( 12) ( 12) ( 12)两式相减得Tn1 1 2 n-1 n n n n n.32 ( 12) ( 12) ( 12) ( 12)1 ( 12)n1 ( 12) ( 12) 23 (n 23) ( 12)所以数列 na
11、n的前 n 项和 Tn n.49 (23n 49) ( 12)反思感悟 用错位相减要“能识别，按步走，慎化简” 跟踪训练 4 已知数列 an的通项公式为 an3 n-1，在等差数列 bn中， bn0，且b1 b2 b315，又 a1 b1， a2 b2， a3 b3成等比数列(1)求数列 anbn的通项公式；(2)求数列 anbn的前 n 项和 Tn.解 (1) an3 n1 ， a11， a23， a39.在等差数列 bn中， b1 b2 b315，3 b215，则 b25.6设等差数列 bn的公差为 d，又 a1 b1， a2 b2， a3 b3成等比数列，(15 d)(95 d)64，解
12、得 d10 或 d2. bn0， d10 应舍去， d2， b13， bn2 n1.故 anbn(2 n1)3 n-1， nN .(2)由(1)知 Tn315373 2(2 n1)3 n-2(2 n1)3 n-1， 3Tn3353 273 3(2 n1)3 n-1(2 n1)3 n， ，得2 Tn312323 223 323 n-1(2 n1)3 n32(33 23 33 n1 )(2 n1)3 n32 (2 n1)3 n3 3n1 33 n(2 n1)3 n2 n3n. Tn n3n， nN .1数列12 n-1的前 n 项和为_答案 Sn n2 n1， nN 解析 an12 n-1， Sn
13、 n n2 n1.1 2n1 22数列 的前 2018 项和为_2n n 1 答案 40362019解析 因为 2 ，2n n 1 (1n 1n 1)所以 S20182 (112 12 13 12018 12019)2 .(112019) 403620193已知数列 anError!则 S100_.答案 5000解析 由题意得 S100 a1 a2 a99 a100( a1 a3 a5 a99)( a2 a4 a100)7(02498)(246100)5000.4在数列 an中， a11， an1 2 an2 n， nN .(1)设 bn ，证明：数列 bn是等差数列；an2n 1(2)在(1
14、)的条件下求数列 an的前 n 项和 Sn.(1)证明 由已知 an1 2 an2 n，得 bn1 1 bn1.an 12n 2an 2n2n an2n 1 bn1 bn1，又 b1 a11. bn是首项为 1，公差为 1 的等差数列(2)解 由(1)知， bn n， bn n.an2n 1 an n2n-1. Sn122 132 2 n2n-1，两边同时乘以 2 得2Sn12 122 2( n1)2 n-1 n2n，两式相减得 Sn12 12 22 n-1 n2n2 n1 n2n(1 n)2n1， Sn( n1)2 n1.求数列的前 n 项和，一般有下列几种方法1错位相减适用于一个等差数列和
15、一个等比数列对应项相乘构成的数列求和2分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列3裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和4奇偶并项当数列通项中出现(1) n或(1) n+1时，常常需要对 n 取值的奇偶性进行分类讨论5倒序相加例如，等差数列前 n 项和公式的推导方法8一、选择题1数列 2 ，4 ，6 ，的前 n 项和 Sn为( )14 18 116A n21 B n2212n 1 12n 1C n(n1) D n(n1)12 12n 1 12n 1答案 C2已知数列 an的前 n 项和为 Sn，若 an ， Sn10，则 n 等于( )1n n
16、 1A90B119C120D121答案 C解析 an ， Sn( 1)( )( )1n n 1 n 1 n 2 3 2 n 1 n 110， n1121，故 n120.n 13数列 ， ， ， ，的前 n 项和为( )125 158 1811 1 3n 1 3n 2A. B.n3n 2 n6n 4C. D.3n6n 4 n 1n 2答案 B解析 由数列通项公式 ，1 3n 1 3n 2 13( 13n 1 13n 2)得前 n 项和 Sn ( )1312 15 15 18 18 111 13n 1 13n 2 .13(12 13n 2) n6n 44已知数列 an的通项 an2 n1， nN
17、，由 bn 所确定的数列 bna1 a2 a3 ann的前 n 项的和是( )A.n(n2) B. n(n4)12C. n(n5) D. n(n7)12 12答案 C解析 a1 a2 an (2n4) n22 n.n29 bn n2， bn的前 n 项和 Sn .n n 525如果一个数列 an满足 an an1 H (H 为常数， nN )，则称数列 an为等和数列， H为公和， Sn是其前 n 项的和，已知等和数列 an中， a11， H3，则 S2019等于( )A3016 B3015C3026 D3013答案 C解析 S2019 a1( a2 a3 a2019) a11009 H110
18、09(3)3026.6在数列 an中， a12， an1 anln ， nN ，则 an等于( )(11n)A2ln n B2( n1)ln nC2 nlnn D1 nln n答案 A解析 an1 anln ，(11n) an1 anln ln ln( n1)ln n.(11n) n 1n又 a12， an a1( a2 a1)( a3 a2)( a4 a3)( an an1 )2ln 2ln 1ln 3ln 2ln 4ln 3ln nln( n1)2ln nln12ln n.二、填空题7若 Sn1234(1) n1 n， nN ，则 S50_.答案 25解析 S5012344950(1)25
19、25.8在数列 an中，已知 Sn159131721(1) n1 (4n3)， nN ，则S15 S22 S31的值是_答案 76解析 S1547 a15285729，S2241144，S31415 a316012161，S15 S22 S3129446176.三、解答题9已知函数 f(x)2 x3 x1，点( n， an)在 f(x)的图象上，数列 an的前 n 项和为 Sn，求Sn.10解 由题得 an2 n3 n1，Sn a1 a2 an(22 22 n)3(123 n) n 3 n2 1 2n1 2 n n 122 n1 2.n 3n 5210已知等差数列 an满足： a37， a5
20、a726， an的前 n 项和为 Sn.(1)求 an及 Sn；(2)令 bn (nN )，求数列 bn的前 n 项和 Tn.1a2n 1解 (1)设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d.因为 a37， a5 a726，所以Error!解得Error! 所以 an32( n1)2 n1，Sn3 n 2 n22 n.n n 12所以 an2 n1， Sn n22 n.(2)由(1)知 an2 n1，所以 bn 1a2n 1 1 2n 1 2 1 14 1n n 1 ，14 (1n 1n 1)所以 Tn (1 )14 12 12 13 1n 1n 1 (1 ) ，14 1n 1 n4 n 1即
21、数列 bn的前 n 项和 Tn .n4 n 111设数列 an满足 a12， an1 an32 2n1 ， nN .(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn nan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)由已知，得当 n1 时，an1 ( an1 an)( an an1 )( a2 a1) a13(2 2n1 2 2n3 2)22 2n1 ，an2 2n1 ，而 a12，符合上式，所以数列 an的通项公式为 an2 2n1 .(2)由 bn nan n22n1 知Sn1222 332 5 n22n1 ， 11从而 22Sn12 322 532 7 n22n1 . 得(12 2)Sn2
22、2 32 52 2n1 n22n1 ，即 Sn (3n1)2 2n1 21912已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 bn是等比数列，满足a13， b11， b2 S210， a52 b2 a3.(1)求数列 an和 bn的通项公式(2)令 cnError!设数列 cn的前 n 项和为 Tn，求 T2n.解 (1)设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q，由 b2 S210， a52 b2 a3，得Error! 解得Error!所以 an32( n1)2 n1， bn2 n1 .(2)由 a13， an2 n1 得 Sn n(n2)，则 n 为奇数时， cn .2Sn 1n 1n 2n 为偶数时， cn2 n1 ，所以 T2n( c1 c3 c2n1 )( c2 c4 c2n) (22 32 2n1 )(113) (13 15) ( 12n 1 12n 1)1 (4n1)12n 1 2 1 4n1 4 2n2n 1 2312
