1、1第 2 课时 等差数列前 n 项和的性质学习目标 1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前 n 项和的函数特征求最值知识点一 等差数列 an的前 n 项和 Sn的性质性质 1等差数列中依次 k 项之和 Sk， S2k Sk， S3k S2k，组成公差为 k2d 的等差数列性质 2若等差数列的项数为 2n(nN )，则 S2n n(an an1 )，S 偶 S 奇 nd， (S 奇 0)；S偶S奇 an 1an若等差数列的项数为 2n1( nN )，则 S2n1 (2 n1)an(an是数列的中间项)， S 奇 S 偶 an， (S 奇S偶S奇 n 1n0)性质 3 an为等差
2、数列 为等差数列Snn思考 若 an是公差为 d 的等差数列，那么 a1 a2 a3， a4 a5 a6， a7 a8 a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？答案 ( a4 a5 a6)( a1 a2 a3)( a4 a1)( a5 a2)( a6 a3)3 d3 d3 d9 d，(a7 a8 a9)( a4 a5 a6)( a7 a4)( a8 a5)( a9 a6)3 d3 d3 d9 d. a1 a2 a3， a4 a5 a6， a7 a8 a9是公差为 9d 的等差数列知识点二 等差数列 an的前 n 项和公式的函数特征1公式 Sn na1 可化成关于 n 的表达式： Sn n2
3、n.当 d0 时， Sn关n n 1 d2 d2 (a1 d2)于 n 的表达式是一个常数项为零的二次式，即点( n， Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，它的图象是抛物线 y x2 xd2 (a1 d2)上横坐标为正整数的一系列孤立的点2等差数列前 n 项和的最值(1)在等差数列 an中，当 a10， d0 时， Sn有最小值，使 Sn取到最值的 n 可由不等式组Error!确定(2)Sn n2 n，若 d0，则从二次函数的角度看：当 d0 时， Sn有最小值；当 d0，由Error! 得Error!又 nN ，当 n13 时， Sn有
4、最大值 169.方法三 同方法一，求出公差 d2. S9 S17， a10 a11 a170.由等差数列的性质得 a13 a140. a130， a140， d0，则 Sn存在最小值，即所有非正项之和(2)求等差数列前 n 项和 Sn最值的方法寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用Error!或Error!来寻找运用二次函数求最值跟踪训练 2 已知等差数列 an中， a19， a4 a70.(1)求数列 an的通项公式；4(2)当 n 为何值时，数列 an的前 n 项和取得最大值？解 (1)由 a19， a4 a70，得 a13 d a16 d0，解得 d2， an a1( n1) d
5、112 n(nN )(2)方法一 由(1)知， a19， d2，Sn9 n (2) n210 n( n5) 225，n n 12当 n5 时， Sn取得最大值方法二 由(1)知， a19， d20， n6 时， an0， d0)中， an dn( a1 d)，其图象为 y dx( a1 d)上的一系列点，要求 Sn的最大(小)值，只需找出距 x 轴最近的两个点； Sn n2 n，其图象为d2 (a1 d2)y x2 x 上的一系列点要求 Sn的最大(小)值，只需找出距对称轴最近的点.d2 (a1 d2)1设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，已知 a23， a611，则 S7等于( )A13
6、B35C49D636答案 C解析 S7 7 7 49.7 a1 a72 a2 a62 3 1122若等差数列 an的前 5 项和 S525，且 a23，则 a7等于( )A12B13C14D15答案 B解析 S55 a325， a35， d a3 a2532， a7 a25 d31013.故选 B.3设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S39， S636，则 a7 a8 a9等于( )A63B45C36D27答案 B解析 a7 a8 a9 S9 S6，而由等差数列的性质可知， S3， S6 S3， S9 S6构成等差数列，所以 S3( S9 S6)2( S6 S3)，即 a7 a8 a
7、9 S9 S62 S63 S32363945.4 已 知 等 差 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 7a5 5a9 0， 且 a9a5， 则 Sn取 得 最 小 值 时 n 的值 为 ( )A5B6C7D8答案 B解析 由 7a55 a90，即 7a128 d5 a140 d0，得 .a1d 173又 a9a5，所以 d0， a10， d0，Error!时， Sn取得最小值3求等差数列 an前 n 项的绝对值之和，关键是找到数列 an的正负项的分界点.一、选择题1已知数列 an满足 an262 n，则使其前 n 项和 Sn取最大值的 n 的值为( )A11 或 12 B12C13 D
8、12 或 13答案 D解析 an262 n， an an1 2，数列 an为等差数列又 a124， d2， Sn24 n (2) n225 nn n 12 2 .(n252) 6254 nN ，当 n12 或 13 时， Sn最大，故选 D.2等差数列 an中， a1 a2 a324， a18 a19 a2078，那么此数列前 20 项的和为( )A160B180C200D220答案 B解析 由 a1 a2 a33 a224，得 a28，由 a18 a19 a203 a1978，得 a1926，于是 S2010( a1 a20)10( a2 a19)10(826)180.3数列 an为等差数列
9、，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn( n1) 2 ，则 的值是( )A2B1C0D1答案 B解析 等差数列前 n 项和 Sn的形式为 Sn An2 Bn， 1.4在等差数列 an中， Sn是其前 n 项和，且 S2011 S2016， Sk S2008，则正整数 k 为( )8A2017 B2018C2019 D2020答案 C解析 因为等差数列的前 n 项和 Sn是关于 n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及 S2 011 S2 016， Sk S2 008，可得 ，解得 k2 019.故选 C.2 011 2 0162 2 008 k25若数列 an满足： a119， an1 an3(
10、 nN )，则数列 an的前 n 项和数值最大时， n的值为( )A6B7C8D9答案 B解析 因为 an1 an3，所以数列 an是以 19 为首项，3 为公差的等差数列，所以an19( n1)(3)223 n.设前 k 项和最大，则有Error!所以Error! 即 k .193 223因为 kN ，所以 k7.故满足条件的 n 的值为 7.6已知 an为项数为 2n1 的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为( )A. B. C. D.2n 1n n 1n n 1n n 12n答案 B解析 S 奇 ， S 偶 ， n 1 a1 a2n 12 n a2 a2n2 a1 a2n1 a2 a
11、2n， .S奇S偶 n 1n7已知等差数列 an中， a10094， S20182018，则 S2019等于( )A2019 B2019C4038 D4038答案 C解析 因 为 an是 等 差 数 列 ， 所 以 S2 018 1 009(a1 a2 018) 1 009(a1 009 a1 010) 2 018， 则 a1 009 a1 010 2.又 a1 009 4， 所 以 a1 010 2， 则 S2 019 2 019a1 010 4 038.2 019 a1 a2 01928设数列 an为等差数列，其前 n 项和为 Sn，已知 a1 a4 a799， a2 a5 a893，若对
12、任意 nN ，都有 Sn Sk成立，则 k 的值为( )A22B21C20D19答案 C解析 对 任 意 n N ， 都 有 Sn Sk成 立 ， 即 Sk为 Sn的 最 大 值 9因 为 a1 a4 a7 99， a2 a5 a8 93， 所 以 a4 33， a5 31， 故 公 差 d 2， an a4 (n 4)d 41 2n，当 Sn取 得 最 大 值 时 ， 满 足 Error!解 得 19 n 20 .12 12即 满 足 对 任 意 n N ， 都 有 Sn Sk成 立 的 k 的 值 为 20.二、填空题9数列 an的前 n 项和 Sn3 n22 n1( nN )，则它的通项
13、公式是_答案 anError!解析 当 n2 时， an Sn Sn1 3 n22 n13( n1) 22( n1)16 n5，当 n1 时， a1 S131 22112，不符合上式， anError!10设 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 a41， S510，则当 Sn取得最大值时， n 的值为_答案 4 或 5解析 由Error!解得Error! a5 a14 d0， S4 S5且同时最大 n4 或 5.11已知两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 (nN )，则AnBn 7n 45n 3 _.a7b7 a9b11答案 463解析 设 An kn(7n4
14、5)， Bn kn(n3)，则 n2， nN 时， an An An1 k(14n38)，bn k(2n2)，则 ， ，所以a7b7 k 147 38k 27 2 172 a9b11 k 149 38k 211 2 416 .a7b7 a9b11 172 416 463三、解答题12设等差数列 an满足 a35， a109.(1)求 an的通项公式；(2)求 an的前 n 项和 Sn及使得 Sn最大的自然数 n 的值解 (1)由 an a1( n1) d 及 a35， a109，得Error! 解得Error!所以数列 an的通项公式为 an112 n， nN .10(2)由(1)知， Sn
15、na1 d10 n n2.n n 12因为 Sn( n5) 225，所以当 n5 时， Sn取得最大值13数列 an中， a18， a42，且满足 an2 2 an1 an0 ( nN )(1)求数列 an的通项公式；(2)设 Tn| a1| a2| an|，求 Tn.解 (1) an2 2 an1 an0， an2 an1 an1 an， an是等差数列，又 a18， a42， d2， an a1( n1) d102 n， nN .(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn，则 Sn8 n (2)9 n n2.n n 12 an102 n，令 an0，得 n5.当 n5 时， an0.当 n5
16、 时， Tn| a1| a2| an| a1 a2 a5( a6 a7 an) S5( Sn S5)2 S5 Sn2(9525)9 n n2 n29 n40，当 n5 时， Tn| a1| a2| an| a1 a2 an9 n n2. TnError!14已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S440， Sn210， Sn4 130，则 n 等于( )A12B14C16D18答案 B解析 因为 Sn Sn4 an an1 an2 an3 80， S4 a1 a2 a3 a440，所以 4(a1 an)120， a1 an30，由 Sn 210，得 n14.n a1 an215已知 Sn， Tn分别是等差数列 an， bn的前 n 项和，且 (nN )，则SnTn 2n 14n 211 _.a10b3 b18 a11b6 b15答案 4178解析 因为 b3 b18 b6 b15 b10 b11，所以 a10b3 b18 a11b6 b15 a10 a11b10 b11 .10 a10 a1110 b10 b11 S20T20 220 1420 2 4178
