1、1必修 5 2.3 等差数列的前 n 项和（学案）（第 1 课时）【知识要点】1等差数列的前 项和公式； 2数列求和的倒序相加法；n3等差数列的前 项和公式应用【学习要求】探索并掌握等差数列的前 项和公式，了解倒序相加法；能运用等差数列的前 项和公式解决简单问题【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 42 页第 44 页）高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律？我们这里用什么方法去求一般数列的前 项和呢？n设等差数列 的公差为 ，则nad,)1(.)2()(11 dnadSn 又 .（上式倒序相加的和）由+，得 nS1111nnnnaaa个（ ） +（ ） （ ） +（ ）= 由此得到等差
2、数列 的前 n 项和的公式 （）nS这种数列求和的方法称为 .又等差数列的通项公式为 = ，将其代人公式（）得到等差数列 的na na前 n 项和的另一个公式 （）S等差数列的前 项和公式（） 、 （）各有什么特点？今后运用时如何恰当的选择？【基础练习】1在等差数列 中，已知 ，其前 项和 na81481na， nS.在等差数列 中，已知 ，其前 项和 n 327051nd， n求集合 的元素个数，并求这些元素的62| mnm， 且，2和.【典型例题】例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001
3、 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校校通” 工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？例 2 已知一个等差数列 前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能na确定这个等差数列的前 项和的公式吗？1在等差数列 中， （ ）na nSan， 则， 104153（）9 （B）10 （C ）11 （）12已知等差数列 满足 ( )n 105342 ， 则，（）138 （）135 （）95
4、 （）23.正整数列前 个偶数的和为 ；正整数列前 个奇数的和为 n.在三位正整数的集合中有 180 个数是的倍数，它们的和是 .已知等差数列 中， ， ，求公差na512,1na02nSd6.已知一个 项的等差数列的前四项和为 21，末四项的和为 67，前 项的和为 286，求项数 n（2009 宁夏海南卷文）等差数列 na的前 项和为 nS，已知 210mma，32138mS，则 （ ） 必修 5 2.3 等差数列的前 n 项和（教案）（第一课时）【教学目标】1通过实例，探索等差数列的前 项和公式，了解倒序相加法；n2掌握等差数列的前 项和公式，并能用其解决一些简单问题；3培养学生利用学过
5、的知识解决与现实有关的问题的能力【重点】探索并掌握等差数列的前 n 项和公式；学会用公式解决一些实际问题【难点】等差数列前 n 项和公式推导思路的获得【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 42 页第 44 页）高斯算法是运用了等差数列的一个什么性质规律？（等差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项与末项的和）我们这里用什么方法去求一般数列的前 项和呢？n（倒序相加法）设等差数列 的公差为 ，则nad,)1(.)2()(11 dnadSn 又 （式倒序相加的和）nn由+，得 S1111nnnaaa个（ ） +（ ） （ ） +（ ）= )(1n由此得到等差数列 的前 n 项和的公式
6、（）anS2)(1na这种数列求和的方法称为“倒序相加法”.又等差数列的通项公式为 = ，将其代人公式（）得到等差数列nd)1(的前 n 项和的另一个公式 （）aSa2等差数列的前 项和公式（） 、 （）各有什么特点？今后运用时如何恰当的选择？（两个公式都需要知道 ，而公式（）还需已知 ，而公式（）还需已知 ，n和1 nad4运用时要根据已知条件选择用哪个公式 ）【基础练习】1在等差数列 中，已知 ，其前 项和 -88 na81481na， nS.在等差数列 中，已知 ，其前 项和n 327051nd，604.5nS求集合 的元素个数，并求这些元素的62| mnm， 且，和.(答案:元素个数是
7、 30，元素和为 900.【典型例题】例 1 2000 年 11 月 14 日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的统治.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从 2001 年起用 10 年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 年起的未来 10 年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？【审题要津】让学生读题、审题并找出有用的信息，构造等差数列模型：根据题意，从 年，该市每年投入的经费都比上一年增加 50 万元.所以，构成了一个
8、等差201数列 ，写出首项和公差，用等差数列的前 项和公式求解nan解：根据题意，从 年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年201增加 50 万元.所以，可以建立一个等差数列 ，表示从 2001 年起各年投入的资金，其na中， =50.150ad那么，到 2010 年（ =10） ，投入的资金总额为n（万元）1057202S（ ）答：从 年，该市在“校校通”工程中的总投入是 7250 万元.201【方法总结】本题是应用题，解决的关键是建立数学模型，根据题意：从年，每年投入的经费都比上一年增加 50 万元 .所以，可以构造一个等差数20列，利用等差数列的知识解决例 2 已知一个等差数列
9、前 10 项的和是 310，前 20 项的和是 1220.由这些条件能na确定这个等差数列的前 项和的公式吗？【审题要津】等差数列前 项和公式就是一个关于 的方程若dna，或， 11要确定其前 项求和公式，则要确定 的关系式，从而求得将已知条件代入等差数nda和1列前 n 项和的公式后，可得到两个关于 与 的二元一次方程，由此可以求得 与 ，从15而得到所求前 项和的公式.n解：由题意知 ，103S， 201S将它们代入公式 nad（ ） ，得到 ，120920451da解这个关于 与 的方程组，得到 =4， ，1a6d所以 .2463nSn（ ）另解： 1002na得 10； 221S所以
10、10a；-，得 ，6d所以 ,代入得： ,14所以有 .23nSadn（ ）【方法总结】此例题目的是建立等差数列前 项和与方程之间的联系,关键是根据已知条件恰当的选择公式.由已知的几个量，通过解方程组，得出其余的未知量 . 在等差数列前项和的两个公式以及通项公式中涉及了五个量,分别是 ，任知其三个n nSad，1可以求另外两个1在等差数列 中， （ ）na nSan， 则， 104153（）9 （B）10 （C ）11 （）12已知等差数列 满足 ( C )n 105342 ， 则，（）138 （）135 （）95 （）23.正整数列前 个偶数的和为 ；正整数列前 个奇数的和为 )1(n2n.
11、在三位正整数的集合中有 180 个数是的倍数，它们的和是 98550.已知等差数列 中， ， ，求公差na2,1na10nSd6解：由等差数列 的前 项和公式得na，102)5(2)(1Sn解得 ， 即 44a又 ，da)1(52所以 d76.已知一个 项的等差数列的前四项和为 21，末四项的和为 67，前 项的和为 286，n n求项数 解：由题设 得 ，67213142nnaa两式相加得 .834221n又 ，34321 nnnna所以 ， 即 8)(41a，26121nSn所以 6（2009 宁夏海南卷文）等差数列 na的前 n 项和为 nS，已知 210mma，2138mS,则 （ ） （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：因为 na是等差数列，所以， 12mmaa，由 210ma，得：2ma 20，所以， m2，又 2138S，即 )(238，又 ，a12所以（2m1）238，解得 m10，故选 C
