1、1第二章 圆锥曲线与方程章末复习学习目标 1.梳理本章知识，构建知识网络.2.进一步巩固和理解圆锥曲线的定义.3.掌握圆锥曲线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法1椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F1， F2的距离之和等于定长(大于| F1F2|)的点的轨迹平面内到两个定点F1， F2的距离之差的绝对值等于定值 2a(大于0且小于| F1F2|)的点的轨迹平面内到一个定点 F和一条定直线 l(Fl)的距离相等的点的轨迹标准方程 1 或x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2
2、1 或x2a2 y2b2 1( a0， b0)y2a2 x2b2y22 px或 y22 px或x22 py或x22 py(p0)关系式 a2 b2 c2 a2 b2 c2图形 封闭图形无限延展，但有渐近线y x或 y xba ab 无限延展，没有渐近线变量范围|x| a，| y| b或|y| a，| x| b|x| a或| y| ax0 或 x0 或 y0 或y0对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个离心率 e ，ca且 01cae1决定形状的因素e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小22.椭圆的焦点三角形设 P为椭圆 1( ab0)上任意一点(
3、不在 x轴上)， F1， F2为焦点且 F1PF2 ，则x2a2 y2b2PF1F2为焦点三角形(如图)(1)焦点三角形的面积 S b2tan .2(2)焦点三角形的周长 L2 a2 c.3双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方程中的 1换成0，即可得到两条渐近线的方程如双曲线 1( a0， b0)的渐近线方程为x2a2 y2b2 0( a0， b0)， 即 y x； 双 曲 线 1(a0， b0)的 渐 近 线 方 程 为x2a2 y2b2 ba y2a2 x2b2 0(a0， b0)， 即 y x.y2a2 x2b2 ab(2)如果双曲
4、线的渐近线方程为 0，它的双曲线方程可设为 ( 0)xa yb x2a2 y2b24求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2 ny21( m0， n0且 m n)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小5直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴
5、平行(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等1设 A， B为两个定点， k为非零常数，| PA| PB| k，则动点 P的轨迹为双曲线( )32若直线与曲线有一个公共点，则直线与曲线相切( )3方程 2x25 x20 的两根 x1， x2(x1n时，该方程表示焦点在 x轴上的椭圆( )5抛物线 y4 ax2(a0)的焦点坐标是 .( )(0，116a)题型一 圆锥曲线的定义及应用例 1 已知椭圆 y
6、21( m1)和双曲线 y21( n0)有相同的焦点 F1， F2， P是它们的x2m x2n一个交点，则 F1PF2的形状是( )A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D随 m， n变化而变化答案 B解析 设 P为双曲线右支上的一点对于椭圆 y21( m1)， c2 m1，x2m|PF1| PF2|2 ，m对于双曲线 y21， c2 n1，x2n|PF1| PF2|2 ，n| PF1| ，| PF2| ，m n m n|F1F2|2(2 c)22( m n)，而| PF1|2| PF2|22( m n)(2 c)2| F1F2|2， F1PF2是直角三角形，故选 B.反思感悟 涉及椭圆、双
7、曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决跟踪训练 1 抛物线 y22 px(p0)上有 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)三点， F是它的焦点，若| AF|，| BF|，| CF|成等差数列，则( )A x1， x2， x3成等差数列B y1， y2， y3成等差数列C x1， x3， x2成等差数列D y1， y3， y2成等差数列答案 A解析 如图，过 A， B， C分别作准线的垂线，垂足分别为 A， B， C，由抛物线定义可4知| AF| AA|，| BF| BB|，| CF| CC|.2| BF| AF| CF|，2| BB|
8、 AA| CC|.又| AA| x1 ，| BB| x2 ，| CC| x3 ，p2 p2 p22 x1 x3 ，得 2x2 x1 x3，(x2p2) p2 p2故选 A.题型二 圆锥曲线的方程及几何性质命题角度 1 求圆锥曲线的方程例 2 已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线与抛物线 y22 px(p0)的准线分别交x2a2 y2b2于 A， B两点， O为坐标原点若双曲线的离心率为 2， AOB的面积为 ，则 p等于( )3A1B. C2D332答案 C解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x， y22 px的准线方程为 x .x2a2 y2b2 ba p2双曲线的离心率为 2，
9、e 2，1 (ba)2即 ，渐近线方程为 y x，ba 3 3由Error! 得 y p，| AB| p，32 3S OAB p ，解得 p2.12 p2 3 3反思感悟 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置5(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2 ny21( m0， n0且 m n)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系跟踪训练 2 设抛物线 C： y22 px(p0)的焦点为 F，点 M在 C上，| MF|5，若以 M
10、F为直径的圆过点 A(0,2)，则 C的方程为( )A y24 x或 y28 x B y22 x或 y28 xC y24 x或 y216 x D y22 x或 y216 x答案 C解析 由抛物线 C的方程为 y22 px(p0)，知焦点 F .(p2， 0)设 M(x， y)，由抛物线性质| MF| x 5，p2可得 x5 .p2因为圆心是 MF的中点，所以根据中点坐标公式，可得圆心横坐标为 .5 p2 p22 52由已知，得圆半径也为 ，据此可知该圆与 y轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为 2，则 M点52纵坐标为 4，则 M ，代入抛物线方程得 p210 p160，(5p2， 4)所以
11、p2 或 p8.所以抛物线 C的方程为 y24 x或 y216 x.命题角度 2 求圆锥曲线的离心率例 3 如图， F1， F2是椭圆 C1： y21 与双曲线 C2的公共焦点， A， B分别是 C1， C2在第x24二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是_6答案 62解析 由椭圆可知| AF1| AF2|4，| F1F2|2 .3因为四边形 AF1BF2为矩形，所以| AF1|2| AF2|2| F1F2|212，所以 2|AF1|AF2|(| AF1| AF2|)2(| AF1|2| AF2|2)16124，所以(| AF2| AF1|)2| AF1|2| AF
12、2|22| AF1|AF2|1248，所以| AF2| AF1|2 ，2因此对于双曲线有 a ， c ，2 3所以 C2的离心率 e .ca 62反思感悟 求圆锥曲线离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x轴上还是在 y轴上都有关系式 a2 b2 c2(a2 b2 c2)以及 e ，已知其中的任意两个参数，可以求其他ca的参数，这是基本且常用的方法(2)方程法：建立参数 a与 c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何
13、性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观跟踪训练 3 已知抛物线 y24 x的准线与双曲线 y21 交于 A， B两点，点 F为抛物线x2a2的焦点，若 FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是_答案 6解析 抛物线 y24 x的准线方程为 x1，又 FAB为直角三角形，则只有 AFB90，如图，则 A(1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得 a2 ，157于是 c .a2 165故 e .ca 6题型三 直线与圆锥曲线的位置关系例 4 已知椭圆 1( ab0)上的点 P到左、右两焦点 F1， F2的距离之和为 2 ，离心x2a2 y2b2 2率为 .2
14、2(1)求椭圆的标准方程；(2)过右焦点 F2的直线 l交椭圆于 A， B两点，若 y轴上一点 M 满足| MA| MB|，求(0，37)直线 l的斜率 k的值解 (1)由题意知，| PF1| PF2|2 a2 ，2所以 a .2又因为 e ，ca 22所以 c 1，22 2所以 b2 a2 c2211，所以椭圆的标准方程为 y21.x22(2)已知 F2(1,0)，直线斜率显然存在，设直线的方程为 y k(x1)，A(x1， y1)， B(x2， y2)，联立直线与椭圆的方程得Error!化简得(12 k2)x24 k2x2 k220， 16 k44(12 k2)(2k22)0，所以 x1
15、x2 ，4k21 2k2y1 y2 k(x1 x2)2 k . 2k1 2k28所以 AB的中点坐标为 .(2k21 2k2， k1 2k2)当 k0 时， AB的中垂线方程为 y k1 2k2 ，1k(x 2k21 2k2)因为| MA| MB|，所以点 M在 AB的中垂线上，将点 M的坐标代入直线方程得， ，37 k1 2k2 2k1 2k2即 2 k27 k 0，3 3解得 k 或 k ；336当 k0 时， AB的中垂线方程为 x0，满足题意所以斜率 k的取值为 0， 或 .336反思感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数
16、，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围跟踪训练 4 如图，焦距为 2的椭圆 E的两个顶点分别为 A， B，且 与 n( ，1)共AB 2线(1)求椭圆 E的标准方程；(2)若直线 y kx m与椭圆 E有两个不同的交点 P和 Q，且原点 O总在以 PQ为直径的圆的内部，求实数 m的取值范围解 (1)因为 2c2，所以 c1.又 ( a， b)，且 n，AB AB 所以 b a，所以 2b2 b21，2所以 b21， a22.所以椭圆 E的标准方程为 y21.x22(2)设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，把直线方
17、程 y kx m代入椭圆方程 y21，x229消去 y，得(2 k21) x24 kmx2 m220，所以 x1 x2 ， x1x2 .4km2k2 1 2m2 22k2 1 16 k28 m280，即 m20 B00，即 3k2 m210.设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，线段 PQ的中点 N(x0， y0)，则Error!| AP| AQ|， PQ AN.设 kAN表示直线 AN的斜率，又 k0， kANk1.即 k1， 1 m1 3k23km1 3k2得 3k22 m1.3 k20， m .12将代入得 2m1 m210，即 m22 m0 恒成立设 A(x1， y1)， B(
18、x2， y2)，则有 y1 y28 m，由 8m4，得 m .12所以直线 l的方程为 2x y20.(2)假设 C， D两点存在，则可设 lCD： y x n，与抛物线 y28 x联立，12消去 y得 x2( n8) x n20，14其中 ( n8) 2 n216 n640，则 n4.(*)又 xC xD4( n8)，所以 CD的中点为(2( n8)，8)，代入直线 l的方程，得 n ，不满足(*)式192所以满足题意的 C， D两点不存在素养评析 (1)解决是否存在直线的问题时，可依据条件寻找适合条件的直线方程，联立12方程消元得出一元二次方程，利用判别式得出是否有解(2)按照逻辑推理的形
19、式与规则，探索论证结论的存在性，有助于培养学生的合乎逻辑的思想品质和理性精神1已知椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点为 F1， F2，离心率为 ，过 F2的直线 l交x2a2 y2b2 33C于 A， B两点若 AF1B的周长为 4 ，则 C的方程为( )3A. 1 B. y21x23 y22 x23C. 1 D. 1x212 y28 x212 y24考点 椭圆的标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程答案 A解析 根据题意，因为 AF1B的周长为 4 ，3所以| AF1| AB| BF1| AF1| AF2| BF1| BF2|4 a4 ，3所以 a .3又因为椭圆的离心率 e ，ca
20、 33所以 c1， b2 a2 c2312，所以椭圆 C的方程为 1.x23 y222双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )x2a2 y2b2A2 B. 3C. D.232答案 C解析 双曲线 1 的两条渐近线方程为 y x.x2a2 y2b2 ba依题意 1，故 1.ba ( ba) b2a2所以 1，即 e22，c2 a2a2所以双曲线的离心率 e .2133设椭圆 1 (m0， n0)的右焦点与抛物线 y28 x的焦点相同，离心率为 ，则此x2m2 y2n2 12椭圆的方程为( )A. 1 B. 1x212 y216 x216 y212C. 1 D. 1x248
21、y264 x264 y248答案 B解析 y28 x的焦点为(2,0)， 1 的右焦点为(2,0)， mn且 c2.x2m2 y2n2又 e ， m4.12 2m c2 m2 n24， n212.椭圆方程为 1.x216 y2124有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y22 px(p0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A2 p B4 p3 3C6 p D8 p3 3答案 B解析 设 A， B在 y22 px上，另一个顶点为 O，则 A， B关于 x轴对称，则 AOx30，则 OA方程为 y x.33由Error! 得 y2 p.3 AOB的边长为 4 p.35已知椭圆 1( ab0
22、)的一个顶点为 A(0,1)，离心率为 ，过点 B(0，2)及左焦x2a2 y2b2 22点 F1的直线交椭圆于 C， D两点，右焦点为 F2.(1)求椭圆的方程；(2)求弦长| CD|.考点 直线与椭圆的位置关系题点 弦长与三角形面积解 (1)由题意， b1， ， a2 b2 c2，ca 22联立解得 a ， c1，214可得椭圆的方程为 y21.x22(2) F1(1,0)，直线 BF1的方程为 y2 x2，由Error! 得 9x216 x60，设 C(x1， y1)， D(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，169 23| CD| |x1 x2|1 2 2 5 x1 x2 2 4x1x2 .5 ( 169)2 423 109 2在解决圆锥曲线问题时，待定系数法， “设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种思想方法，设而不求，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的解决了计算的烦琐问题15
