1、12.1.1 数 列学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式知识点一 数列及其有关概念1按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项)，第 2 项，第 n 项，.2.数列的一般形式可以写成 a1， a2， a3， an，简记为 an思考 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列吗？答案 不是顺序不一样知识点二 通项公式如果数列的第 n 项 an与序号 n 之间的关系可以用一个函
2、数式 an f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一知识点三 数列的分类1按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列2按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列11,1,1,1 是一个数列( )2数列 1,3,5,7，的第 10 项是 21.( )3每一个数列都有通项公式( )4如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列( )题型一 数列的分类例 1 下列数列中，既是递增数列
3、又是无穷数列的是( )A1，121314B1，2，3，4，2C1， ， ， ，12 14 18D1， ， ，2 3 n答案 C解析 A，B 都是递减数列，D 是有穷数列，只有 C 符合题意反思感悟 判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外跟踪训练 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)2010,2012,2014,2016,2018；(2)0， ，；1223 n 1n(3)1， ，；1214 12n-1(4) ， ， ， ，；112 123 134 145(5)1,0，1，sin ，；n2(6)9,9,9,
4、9,9,9.解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(4)(5)是摆动数列；(6)是常数列题型二 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例 2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1)1， ， ；1213 14(2) ，2，8；12 92(3)9,99,999,9999.解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为 an ， nN . 1 n+1n(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：， ，所以它的一个通项公式为 an ， nN .124292162
5、 n22(3)各项加 1 后，变为 10,100,1000,10000，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的一个通项公式为 an10 n1， nN .反思感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变3化的规律，继而将 an表示为 n 的函数关系跟踪训练 2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：(1) ， ， ， ；112 123 134 145(2) ， ， ， ；22 12 32 13 42 14 52 15(3)7,77,777,7777.解 (1)
6、这个数列前 4 项的分母都是序号数乘以比序号数大 1 的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为 an ， nN . 1 nn n 1(2)这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数，分子都是比序号大 1 的数的平方减 1，所以它的一个通项公式为 an ， nN . n 1 2 1n 1(3)这个数列的前 4 项可以变为 9， 99， 999， 9999，79 79 79 79即 (101)， (1001)， (10001)， (100001)，79 79 79 79即 (101)， (1021)， (1031)， (1041)，79 79 79 79所以它的一个通项公式为
7、 an (10n1)， nN .79题型三 数列通项公式的简单应用例 3 (1)已知数列 ，那么 0.94,0.96，0.98，0.99 中是该数列中某一项值的数12233445应当有( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案 C解析 数列 ，的通项公式为 an ，12233445 nn 10.94 ，0.96 ，0.98 ，0.99 ，94100 4750 96100 2425 98100 4950 99100， ， 都在数列 中，故有 3 个24254950 99100 nn 1(2)已知数列 an的通项公式为 an2 n210 n4.问当 n 为何值时， an取得最小值？并求出最小
8、值解 an2 n210 n42 2 ，(n52) 172当 n2 或 3 时， an取得最小值，其最小值为 a2 a38.4反思感悟 (1)判断某数是不是该数列的项，相当于已知 y 求 x，若求出的 x 是正整数，则y 是该数列的项，否则不是(2)利用函数的性质研究数列的单调性与最值跟踪训练 3 (1)已知数列 an的通项公式为 an (nN )，那么 是这个数列的1n n 2 1120第_项答案 10解析 ， n(n2)1012， n10.1n n 2 1120(2)已知数列 an中， an n225 n(nN )，则数列 an的最大项是第_项答案 12 或 13解析 an 2 2是关于 n
9、 的二次函数，又 nN ，(n252) (252)当 n12 或 n13 时， an最大归纳法求数列的通项公式典例 观察图中 5 个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第 n 个图中有_小圆圈答案 n2 n1解析 观察图中 5 个图形小圆圈的个数分别为 1,121,231,341,451.故第n 个图中小圆圈的个数为( n1) n1 n2 n1.素养评析 归纳是逻辑推理的一类，可以发现新命题本例完美诠释了“观察现象，归纳规律，大胆猜想，小心求证”这一认识发展规律1下列叙述正确的是( )A数列 1,3,5,7 与 7,5,3,1 是相同的数列B数列 0,1,2,3，可以表示为 nC数列 0,1
10、,0,1，是常数列D数列 是递增数列nn 15答案 D解析 由数列的通项 an 知，nn 1an1 an 0，n 1n 2 nn 1 1 n 2 n 1即数列 是递增数列，故选 D.nn 12数列 2,3,4,5，的一个通项公式为( )A an n， nN B an n1， nN C an n2， nN D an2 n， nN 答案 B解析 这个数列的前 4 项都比序号大 1，所以，它的一个通项公式为 an n1， nN .3数列 an中， an2 n23， nN ，则 125 是这个数列的第_项答案 8解析 令 2n23125，解得 n8( n8 舍去)所以 125 是该数列的第 8 项4已
11、知数列 an的通项公式 an ， nN ，则 1 n-1n2n 1a1_； an1 _.答案 1 1 n n 12n 1解析 a1 1， 1 1-1121 1an1 . 1 n+1-1 n 12 n 1 1 1 n n 12n 15写出数列：1，3,5，7,9，的一个通项公式解 该数列的通项公式为 an(1) n+1(2n1)， nN .1与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的(2)可重复性：数列中的数可以重复(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且也与这些数的排列次序有关2并非所有的数列都能写出它的通项
12、公式例如， 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列 3,3.1，3.14，3.141，它没有通项公式根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；6(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征并对此进行联想、转化、归纳3如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式一、选择题1已知数列 an的通项公式为 an ， nN ，则该数列的前 4 项依次为( )1 1 n+12A1,0,1,0 B0,1,0,1C ,0, ,0 D2,0,2,012 12答案 A解析 当 n 分别等于 1,2,3,4 时，
13、 a11， a20， a31， a40.2已知数列 an的通项公式为 an n2 n50， nN ，则8 是该数列的( )A第 5 项 B第 6 项C第 7 项 D非任何一项答案 C解析 解 n2 n508，得 n7 或 n6(舍去)3数列 1,3,6,10，的一个通项公式是( )A an n2 n1 B ann n 12C an D an n21n n 12答案 C解析 令 n1,2,3,4，代入 A，B，C，D 检验，即可排除 A，B，D，故选 C.4数列 ，的第 10 项是( )23456789A. B. C. D.1617 1819 2021 2223答案 C解析 由数列的前 4 项可
14、知，数列的一个通项公式为 an ， nN ，2n2n 1当 n10 时， a10 .210210 1 20215已知 an1 an30， nN ，则数列 an是( )7A递增数列 B递减数列C常数列 D不能确定答案 A解析 an1 an3 an， nN ，即该数列每一项均小于后一项，故数列 an是递增数列6设 an (nN )，那么 an1 an等于( )1n 1 1n 2 1n 3 12nA. B.12n 1 12n 2C. D. 12n 1 12n 2 12n 1 12n 2答案 D解析 an ，1n 1 1n 2 1n 3 12n an1 ，1n 2 1n 3 12n 12n 1 12n
15、 2 an1 an .12n 1 12n 2 1n 1 12n 1 12n 27数列 0.3,0.33,0.333,0.3333，的一个通项公式 an等于( )A. (10n1) B. (10n1)19 13C. D. (10n1)13(1 110n) 310答案 C解析 代入 n1 检验，排除 A，B，D，故选 C.8如图 1 是第七届国际数学教育大会(简称 ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图 2 的一连串直角三角形演化而成的，其中 OA1 A1A2 A2A3 A7A81，如果把图 2 中的直角三角形继续作下去，记 OA1， OA2， OAn，的长度构成数列 an，则此数列的通项
16、公式为( )A an n， nN B an ， nN n 1C an ， nN D an n2， nN n答案 C解析 OA11， OA2 ， OA3 ， OAn ，2 3 n a11， a2 ， a3 ， an ，.2 3 n8二、填空题9观察数列的特点，用一个适当的数填空：1， ， ， ，_， ，.3 5 7 11答案 3解析 由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为 3.910数列 3,5,9,17,33，的一个通项公式是_答案 an2 n1， nN 11323 是数列 n(n2)的第_项答案 17解析 由 an n22 n323，解得 n17(负值舍去)323
17、 是数列 n(n2)的第 17 项三、解答题12在数列 an中， a12， a1766，通项公式 an是 n 的一次函数(1)求 an的通项公式；(2)判断 88 是不是数列 an中的项？解 (1)设 an kn b， k0.则Error! 解得Error! an4 n2， nN .(2)令 an88，即 4n288，解得 n22.5N .88 不是数列 an中的项13在数列 an中， an n(n8)20， nN ，请回答下列问题：(1)这个数列共有几项为负？(2)这个数列从第几项开始递增？(3)这个数列中有无最小值？若有，求出最小值；若无，请说明理由解 (1)因为 an n(n8)20(
18、n2)( n10)，所以当 00 时， n ，72故数列 an从第 4 项开始递增(3)an n(n8)20( n4) 236，根据二次函数的性质知，当 n4 时， an取得最小值36，即这个数列有最小值，最小值为36.914已知数列 an的通项公式是 anError!( nN )，则 a3 _.1a4答案 1916解析 a32 -3 ， a4 ，18 11 2-4 1617 ， a3 .1a4 1716 1a4 191615已知数列 ， nN .9n2 9n 29n2 1 (1)求证：该数列是递增数列；(2)在区间 内有无数列中的项？若有，有几项；若没有，请说明理由(13， 23)(1)证明 an 1 ，9n2 9n 29n2 1 3n 1 3n 2 3n 1 3n 1 3n 23n 1 3n 1 33n 1 33n 1 an1 an 133 n 1 1 (1 33n 1) 0， nN ，3 3n 4 3n 1 3n 1 3n 4 9 3n 1 3n 4 an是递增数列(2)解 令 an ，13 3n 23n 123Error!Error! n ，76 83当且仅当 n2 时，上式成立，故区间 内有数列中的项，且只有一项为 a2 .(13， 23) 4710
