1、13.2 古典概型学习目标 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解概率的一般加法公式及适用条件知识点一 古典概型思考 1 “在区间0,10上任取一个数，这个数恰为 5 的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？答案 不属于因为在区间0,10上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型思考 2 若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型吗？答案 不一定符合还必须满足每个基本事件出现的可能性相等才符合古典概型梳理 (1)古典概型的特征：有限性 在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，
2、即只有有限个不同的基本事件；等可能性 每个基本事件发生的可能性是均等的(2)古典概型的计算公式： P(A) .事 件 A包 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数知识点二 概率的一般加法公式(选学)1事件的交(或积)由事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D，称为事件 A 与 B 的交(或积)，记作 D A B(或D AB)2概率的一般加法公式：如果 A， B 不是互斥事件，则 P(A B) P(A) P(B) P(A B)1每一个基本事件出现的可能性相等( )2古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的( )题型一 古典概型的判断例 1 某同学随机地向一靶心进行射击，这一
3、试验的结果只有有限个：命中 10 环、命中 92环、命中 5 环和不中环你认为这是古典概型吗？为什么？解 不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有 7 个，而命中 10 环、命中 9 环、命中 5 环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件.反思与感悟 判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性跟踪训练 1 从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？解 不是，因为有无数个基本事件.题型二 古典概型的概率计算例 2 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况(1)一共有多少种不同的结果？(2)点数之和为 5 的结果有
4、多少种？(3)点数之和为 5 的概率是多少？解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有 1,2,3,4,5,6，共 6 种结果，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有 6636(种)不同的结果(2)点数之和为 5 的结果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种(3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的 36 种结果是等可能出现的，其中点数之和为 5(记为事件 A)的结果有 4 种，因此所求概率 P(A) .436 19反思与感悟 古典概型问题包含的题型较多，但都必须紧扣古典概型的定义，进而用公式进行计算列举法是求解古典概型问题的常用方法，借助于图表等有时
5、更实用更有效跟踪训练 2 在两个袋内，分别装着写有 0,1,2,3,4,5 六个数字的 6 张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于 7 的概率为_答案 19解析 试验结果如表所示：0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 62 2 3 4 5 6 73 3 4 5 6 7 84 4 5 6 7 8 95 5 6 7 8 9 10由表可知两张卡片上数字之和共有 36 种情况，其中和为 7 有 4 种情况，所求事件的概率为 .436 1931下列不是古典概型的是( )A从 6 名同学中，选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小B同时掷两颗
6、骰子，点数和为 7 的概率C近三天中有一天降雨的概率D10 个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率答案 C解析 A，B，D 为古典概型，因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而 C不满足等可能性，故不为古典概型2从长度分别为 1,2,3,4 的四条线段中，任取三条不同的线段，以取出的三条线段为边可组成三角形的概率为( )A0B. C. D.14 12 34答案 B解析 从中任取三条线段共有 4 种取法，能构成三角形的只有长度为 2,3,4 的线段，所以P ，故选 B.143 从 数 字 1,2,3,4,5 中 任 取 2 个 不 同 的 数 字 构 成 一 个 两 位 数 ， 则 这 个
7、 两 位 数 大 于 40 的 概 率 是 ( )A. B. C. D.15 25 35 45答案 B解析 从数字 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数字能构成 20 个两位数：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于 40 的数有 8个：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是 .820 254从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，分别记为 a， b，则 logab 为整数的概率为_答案 16解析 从 2,3,8,9 中任取 2 个分别记为( a， b)，则有(2,3)，(3
8、,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有 12 种情况，其中符合 logab为整数的有 log39 和 log28 两种情况， P .212 165现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答求所取的 24道题不是同一类题的概率解 将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次编号为 5,6.任取 2 道题，基本事件为1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,3，2,4，2,5，2,6，3,4，3,5，3,6，4,5，4,6，5,6，共 15 个，而且这
9、些基本事件的出现是等可能的用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本事件有1,5，1,6，2,5，2,6，3,5，3,6，4,5，4,6，共 8 个，所以 P(B) .815古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性在应用公式 P(A) 时，关键是正确理解基本事件与事件 A 的关系，从而求出 m， n.mn一、选择题1下列是古典概型的是( )A任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B求任意的一个正整数平方的个位数字是 1 的概率，将取出的正整数作为基本事件时C从甲地到乙
10、地共 n 条路线，求某人正好选中最短路线的概率D抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止答案 C解析 A 项中由于点数的和出现的可能性不相等，故 A 不是；B 项中的基本事件是无限的，故 B 不是；C 项满足古典概型的有限性和等可能性，故 C 是；D 项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故 D 不是2从甲、乙、丙、丁、戊五个人中选取三人参加演讲比赛，则甲、乙都入选的概率为( )A. B. C. D.25 210 310 35答案 C解析 从五个人中选取三个人有 10 种不同结果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，
11、丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入选的结果有 3 种，故所求的概率为 .3103甲、乙两人有三个不同的学习小组 A， B， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为( )5A. B. C. D.13 14 15 16答案 A解析 甲、乙两人参加学习小组，若以( A， B)表示甲参加学习小组 A，乙参加学习小组 B，则一共有：( A， A)，( A， B)，( A， C)，( B， A)，( B， B)，( B， C)，( C， A)，( C， B)，( C， C)，共 9 种情形，其中两人参加同一个
12、学习小组共有 3 种情形，根据古典概型概率公式，得P .134先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为 7 的概率为( )A. B. C. D.13 112 16 536答案 C解析 抛掷两颗骰子，一共有 36 种结果，其中点数之和为 7 的共有 6 种结果，根据古典概型的概率公式，得 P .165盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字 1,2,3,4 的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为 5”的概率是( )A. B. C. D.13 14 12 16答案 A解析 从装有四个小球的盒子里随机摸出两个小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4
13、)，(3,4)，共有 6 种取法，其中小球上标有的数字之和为 5 的取法共有 2 种，分别为(1,4)，(2,3)，根据古典概型的概率公式，得其概率为 ，故选 A.136袋中有 6 个除了颜色外完全相同的球，其中有 1 个红球，2 个白球和 3 个黑球从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率为( )A. B. C. D.45 35 25 15答案 C解析 袋中红球用 a 表示，2 个白球分别用 b1， b2表示，3 个黑球分别用 c1， c2， c3表示，则从袋中任取两球所含基本事件为( a， b1)，( a， b2)，( a， c1)，( a， c2)，( a， c3)，(b1， b2)，(
14、 b1， c1)，( b1， c2)，( b1， c3)，( b2， c1)，( b2， c2)，( b2， c3)，( c1， c2)，(c1， c3)，( c2， c3)，共 15 个两球颜色为一白一黑的基本事件有( b1， c1)，( b1， c2)，( b1， c3)，( b2， c1)，( b2， c2)，(b2， c3)，共 6 个其概率为 .615 2567假如小明同学的 QQ 密码是由 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这 10 个数字中的 6 个数字组成的六位数，由于长时间未登录 QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录 QQ 时密码的最后一个数字随意选取，则恰
15、好能登录的概率是( )A. B. C. D.1105 1104 1102 110答案 D解析 只考虑最后一位数字即可，从 0 至 9 这 10 个数字中随机选择一个作为密码的最后一位数字有 10 种可能，选对只有一种可能，所以选对的概率是 .1108甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b，其中 a， b1,2,3,4,5,6，若| a b|1，就称甲、乙“心有灵犀” 现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A. B. C. D.19 29 718 49答案 D解析 首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是| a b|1，由
16、于 a， b1,2,3,4,5,6，则满足要求的事件可能的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共 16 种，而依题意得，基本事件的总数有 36 种因此他们“心有灵犀”的概率为 P .1636 49二、填空题9若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m， n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在圆 x2 y216内的概率是_答案 29解析 基本事件的总数为 6636，记事件 A点 P(m， n)落在圆 x2 y216 内，则 A所包含的基本事件
17、有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共 8个 P(A) .836 2910从含有 3 件正品和 1 件次品的 4 件产品中不放回地任取 2 件，则取出的 2 件中恰有 1件是次品的概率是_答案 12解析 设 3 件正品为 A， B， C,1 件次品为 D，从中不放回地任取 2 件，有以下基本事件：AB， AC， AD， BC， BD， CD，共 6 个其中恰有 1 件是次品的基本事件有： AD， BD， CD，共73 个，故 P .36 1211从三男三女共 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的概率均相等)，则 2 名都是女同
18、学的概率等于_答案 15解析 用 A， B， C 表示三名男同学，用 a， b， c 表示三名女同学，则从 6 名同学中选出 2人的所有选法为 AB， AC， Aa， Ab， Ac， BC， Ba， Bb， Bc， Ca， Cb， Cc， ab， ac， bc 共 15种，其中 2 名都是女同学的有 ab， ac， bc 共 3 种，故所求的概率为 .315 15三、解答题12某学校有初级教师 21 人，中级教师 14 人，高级教师 7 人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取 6 人对绩效工资情况进行调查(1)求应从初级教师、中级教师、高级老师中分别抽取的人数；(2)若从分层抽样抽取的 6
19、名教师中随机抽取 2 名教师做进一步数据分析，求抽取的 2 名教师均为初级教师的概率解 (1)由分层抽样知识得应从初级教师、中级教师、高级教师中抽取的人数分别为 3,2,1.(2)在分层抽样抽取的 6 名教师中，3 名初级教师分别记为 A1， A2， A3,2 名中级教师分别记为 A4， A5，高级教师记为 A6，则从中抽取 2 名教师的所有可能结果为( A1， A2)，( A1， A3)，(A1， A4)，( A1， A5)，( A1， A6)，( A2， A3)，( A2， A4)，( A2， A5)，( A2， A6)，( A3， A4)，(A3， A5)，( A3， A6)，( A4，
20、 A5)，( A4， A6)，( A5， A6)，共 15 种抽取的 2 名教师均为初级教师(记为事件 B)的所有可能结果为( A1， A2)，( A1， A3)，( A2， A3)，共 3 种所以 P(B) .315 1513海关对同时从 A， B， C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取 6 件样品进行检测.地区 A B C数量 50 150 100(1)求这 6 件样品中来自 A， B， C 各地区商品的数量；(2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测，求这 2 件商品来
21、自相同地区的概率解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ，650 150 100 1508所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50 1,150 3,100 2，150 150 150所以 A， B， C 三个地区的商品被抽取的件数分别为 1,3,2.(2)设 6 件来自 A， B， C 三个地区的样品分别为 A1； B1， B2， B3； C1， C2，则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为：A1， B1， A1， B2， A1， B3， A1， C1， A1， C2，B1， B2， B1， B3， B1， C1， B1， C2， B2， B3，B2， C1， B2， C2， B
22、3， C1， B3， C2， C1， C2，共 15 个每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件出现的机会是等可能的记事件 D：“抽取的这 2 件商品来自相同地区” ，则事件 D 包含的基本事件有B1， B2， B1， B3， B2， B3， C1， C2，共 4 个所以 P(D) ，即这 2 件商品来自相同地区的概率为 .415 415四、探究与拓展14一次掷两枚骰子，得到的点数为 m 和 n，则关于 x 的方程 x2( m n)x40 有实数根的概率是_答案 1112解析 基本事件共有 36 个因为方程有实根，所以 ( m n)2160.所以 m n4，其对立事件是 m n4，它包含(1
23、,1)，(1,2)，(2,1)，共 3 个基本事件所以所求概率为 1 .336 111215 “抢红包”的活动给节假日增添了一份趣味，某发红包单位进行一次关于“是否参与抢红包活动”的调查活动，组织员工在几个大型小区随机抽取 50 名居民进行问卷调查，对问卷结果进行了统计，并将调查结果统计如下表：年龄(岁) 10，20) 20，30)30，40)40，50)50，60)60，70调查人数 m n 14 12 8 6参与的人数 3 4 12 6 3 2表中所调查的居民年龄在10,20)，20,30)，50,60)内的人数成等差数列(1)求表中 m， n 的值，并补全如图所示的频率分布直方图；9(2
24、)在被调查的居民中，若从年龄在10,20)，20,30)内的居民中各随机选取 1 人参加抽奖活动，求选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率解 (1)由题意得Error!解得Error!补全频率分布直方图，如图所示：(2)记年龄在10,20)内的居民为 a1， A2， A3， A4(其中居民 a1没有参与抢红包括动)，年龄在20,30)内的居民为 b1， b2， B3， B4， B5， B6(其中居民 b1， b2没有参与抢红包活动)各选取 1 人的情形有：( a1， b1)，( a1， b2)，( a1， B3)，( a1， B4)，( a1， B5)，( a1， B6)，(A2， b1
25、)，( A2， b2)，( A2， B3)，( A2， B4)，( A2， B5)，( A2， B6)，( A3， b1)，( A3， b2)，(A3， B3)，( A3， B4)，( A3， B5)，( A3， B6)，( A4， b1)，( A4， b2)，( A4， B3)，( A4， B4)，(A4， B5)，( A4， B6)，共 24 种其中仅有一人没有参与抢红包活动的情形有 10 种，分别为( a1， B3)，( a1， B4)，( a1， B5)，(a1， B6)，( A2， b1)，( A3， b1)，( A4， b1)，( A2， b2)，( A3， b2)，( A4， b2)，所以选中的两人中仅有一人没有参与抢红包活动的概率 P .1024 51210
