1、1章末检测试卷(三)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1下列导数运算正确的是( )A. 1 B(2 x) x2x1(x1x) 1x2C(cos x)sin x D( xlnx)ln x1答案 D解析 根据导数的运算公式可得 1 ，故 A 错误；(2 x)2 xln2，故 B 错误；(x1x) 1x2(cosx)sin x，故 C 错误；( xlnx)ln x1，故 D 正确2 f(x) ax33 x22，若 f(1)4，则 a 的值为( )A. B. C. D.193 163 133 103答案 D解析 f( x)3 ax2
2、6 x， f(1)3 a64， a .1033已知函数 f(x) x2 f(2)(ln x x)，则 f(1)等于( )A1B2C3D4答案 B解析 f( x)2 x f(2) ， f(2) ，(1x 1) 83 f( x)2 x ， f(1)2.83(1x 1)4若函数 y a(x3 x)的单调递增区间是 ， ，则 a 的取值范围是( )( ， 33)(33， )A a0 B11 D00 的解集为 ， ， a0.( ， 33)(33， )5如图所示， y f(x)是可导函数，直线 l： y kx3 是曲线 y f(x)在 x1 处的切线，令 h(x) xf(x)， h( x)是 h(x)的导
3、函数，则 h(1)的值是( )2A2B1C1D.12答案 B解析 由题图可知曲线的切线经过点(1,2)，则 k32，得 k1，即 f(1)1，且 f(1)2. h(x) xf(x)， h( x) f(x) xf( x)，则 h(1) f(1) f(1)211，故选 B.6对于实数集 R 上的可导函数 f(x)，若满足( x23 x2) f( x)2，则方程 x3 ax210 在(0,2)上根的个数为( )13A0B1C2D3答案 B解析 设 f(x) x3 ax21，13则 f( x) x22 ax x(x2 a)，因为 a2，所以 2a4，所以当 x(0,2)时， f( x)0 的解集是 x
4、|002x x2002 2 2 20， f(x)单调递增， f( )是极小值， f( )是极大值，故正确2 2由题意知， f( )为最大值，且无最小值，故错误，正确2三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)设 a1，函数 f(x) x3 ax2 b(1 x1)的最大值为 1，最小值为23 32 ，求常数 a， b.62解 令 f( x)3 x23 ax0，1 x1，得 x10， x2 a.f(0) b， f(a) b， f(1)1 a b，a32 32f(1)1 a b.32因为 a1，所以 1 a0， 1 a，23 32 a32 32故最大值为 f(0) b1，所以 f
5、(x)的最小值为 f(1)1 a b a，32 32所以 a ，所以 a .32 62 636故 a ， b1.6318(12 分)设函数 f(x)6 x33( a2) x22 ax.(1)若 f(x)的两个极值点为 x1， x2，且 x1x21，求实数 a 的值；(2)是否存在实数 a，使得 f(x)是(，)上的单调函数？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由解 (1)因为 f( x)18 x26( a2) x2 a.由已知有 f( x1) f( x2)0，从而 x1x2 1，2a18所以 a9.(2)由于 36( a2) 24182 a36( a24)0，所以不存在实数 a，使得 f(
6、x)是(，)上的单调函数19(12 分)已知函数 f(x) x3 x16.(1)求曲线 y f(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)如果曲线 y f(x)的某一切线与直线 y x3 垂直，求切点坐标与切线的方程14解 (1)因为 f( x)( x3 x16)3 x21，所以 f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为k f(2)13.所以切线的方程为 y13( x2)6，即 13x y320.(2)因为切线与直线 y 3 垂直，所以切线的斜率为 k4.x4设切点的坐标为( x0， y0)，则 f( x0)3 x 14，所以 x01，20所以Error! 或Error!即切点坐标为(1，14)或
7、(1，18)，所以切线方程为 y4( x1)14 或 y4( x1)18，即 4x y180 或 4x y140.20(12 分)已知命题 p： f(x) x 在区间1，)上是增函数；命题 q： f(x)ax x3 ax23 x1 在 R 上有极值若命题“ p q”为真命题，求实数 a 的取值范围解 对于命题 p， f( x)1 .ax2 f(x) x 在区间1，)上是增函数，ax7则 f( x)1 0 在1，)上恒成立，ax2即 a x2在1，)上恒成立， a( x2)min， a1.命题 p： A a|a1对于命题 q， f( x)3 x22 ax3.要使得 f(x) x3 ax23 x1
8、 在 R 上有极值，则 f( x)3 x22 ax30 有两个不相等的实数解， 4 a24330，解得 a3.命题 q： B a|a3命题“ p q”为真命题， A B a|a1，或 a3所求实数 a 的取值范围为(，1(3，)21(12 分)已知函数 f(x) ax22 xln x.12(1)当 a0 时，求 f(x)的极值；(2)若 f(x)在区间 上是增函数，求实数 a 的取值范围13， 2解 (1)函数的定义域为(0，)因为 f(x) ax22 xln x，12当 a0 时， f(x)2 xln x，则 f( x)2 ，令 f( x)0，得 x ，1x 12当 x 变化时， f( x)
9、， f(x)的变化情况如下表：x (0， 12) 12 (12， )f( x) 0 f(x) 极小值 所以当 x 时， f(x)的极小值为 1ln2，无极大值12(2)由已知，得 f(x) ax22 xln x，且 x0，12则 f( x) ax2 .1x ax2 2x 1x8若 a0，由(1)中 f( x)0，得 x ，显然不符合题意；12若 a0，因为函数 f(x)在区间 上是增函数，13， 2所以 f( x)0 对 x 恒成立，13， 2即不等式 ax22 x10 对 x 恒成立，13， 2即 a 21 对 x 恒成立，故 a max.1 2xx2 1x2 2x (1x 1) 13， 2
10、 (1x 1)2 1而当 x 时，函数 21 的最大值为 3，13 (1x 1)所以实数 a 的取值范围为3，)22(12 分)已知函数 f(x) x33 ax29 a2x a3.(1)设 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若 a ，且当 x1,4 a时， f(x) a312 a 恒成立，试确定 a 的取值范围13解 (1)当 a1 时， f(x) x33 x29 x1，则 f( x)3 x26 x9，由 f( x)0，得 x1 或 x3.当 x0；当13 时， f( x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(，1)，(3，)，单调递减区间为(1,3)(2)因为 f( x)3 x26 ax9 a23( x a)(x3 a)， a ，13所以当 1 x0.所以当 x1,4 a时， f(x)的最小值为 f(3a)26 a3.由 f(x) a312 a 在1,4 a上恒成立，得26 a3 a312 a，解得 a .23 23又 a ，所以 a .即 a 的取值范围为 .13 13 23 (13， 239
