1、1第 20 讲 数学文化与核心素养1.我国古代数学著作九章算术有如下问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣( )A.104 人 B.108 人C.112 人 D.120 人2.齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,田忌获胜的概率是( )A. B.13 14C. D.15 163.九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰,在研究比率方面的应用十分丰富,其中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农
2、送来 1 534 石,验其米内夹谷,随机取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约( )A.134 石 B.169 石C.268 石 D.338 石4.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=( )A.7 B.12C.17 D.3425.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化,相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆 O 被函数 y=3sin x 的图象分割为两个对称的鱼形
3、图案(如图),其中小圆的半径均为 1,现从大圆内随机取一点, 6则此点取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.136118112196.大衍数列来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.其前 10 项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列的第 20 项为( )A.180 B.200 C.128 D.1627.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形的面积的“三斜求积”公式:设ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则AB
4、C 的面积 S= .若 a2sin C=4sin 14c2a2-(c2+a2-b22 )2A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为( )A. B.2 C.3 D.3 68.九章算术是我国古代数学成就的杰出代表,它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中方田章有弧田面积计算问题,术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意如下,弧田面积计算公式为:弧田面积= (弦矢+矢矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围12成的平面图形,公式中的“弦”指的是弧田弦的长,“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田,其弧田弦
5、 AB 等于 6 米,其弧田弧所在圆为圆 O,若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 平方米,则 cosAOB=( )72A. B. C. D.12532515 7259.我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的方法,其前两步:第一步,构造数列 1, , , , ;121314 1n第二步,将数的各项乘 n,得数列(记为)a 1,a2,a3,an.3则 a1a2+a2a3+an-1an等于( )A.n2B.(n-1)2C.n(n-1) D.n(n+1)10.九章算术是我国古代著名数学经典,其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小;以锯锯
6、之,深一寸,锯道长一尺.问径几何?”其大意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1 寸,锯道长 1 尺.问这块圆柱形木料的直径是多少?长为 1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦 AB=1 尺,弓形高 CD=1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注: 1丈 =10尺 =100寸, 3.14,sin22.5 513)A.600 立方寸 B.610 立方寸C.620 立方寸 D.633 立方寸11.(2018 重庆质量调研(一)我国古代数学著作九章算术中有如下问题:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税
7、一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何?”其意思为:今有人持金出五关,第 1 关收税金为持金的 ,第 2 关收税金为剩余金的 ,第 3 关收税12 13金为剩余金的 ,第 4 关收税金为剩余金的 ,第 5 关收税金为剩余金的 ,5 关所收税金之和,恰好重 1 斤.14 15 16问此人总共持金多少?在此问题中,第 5 关收税金( )A. 斤 B. 斤120 125C. 斤 D. 斤130 13612.下图是某老师讲解欧阳修卖油翁的课件用图,若铜钱的直径为 3 cm,中间有边长为 0.25 cm 的正方形孔,则随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计),
8、则油滴正好落入孔中的概率是 . 413.中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸)若 取 3,其体积为 12.6 立方寸,则图中的 x 的值为 . 14.公元前 6 世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法,发现了黄金分割,其比值约为 0.618,这一数值也可以表示为 m=2sin 18,若 m2+n=4,则 = . mn2cos227-115.我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第 1 天长高 3 尺,
9、莞草第 1 天长高 1 尺,以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的 2 倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第 天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 30.477 1,lg 20.301 0). 5答案全解全析1.B 由题设可知这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300 =300 =108.故选 B.81008100+7488+6912 8100225002.A 从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛,对阵情况如下表:齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下田忌的马 上 中 下 上 中 下 上 中
10、下双方马的对阵中,有 3 种对阵情况田忌能赢,所以田忌获胜的概率 P= = .故选 A.39133.B 设这批米内夹谷约为 x 石,则由题意得 = ,解得 x169.x1534282544.C 由题意,x=2,n=2,k=0,s=0,输入的 a=2,则 s=02+2=2,k=1;输入的 a=2,则 s=22+2=6,k=2;输入的 a=5,s=62+5=17,k=32,结束循环.输出的 s=17,故选 C.5.B 函数 y=3sin x 的图象与 x 轴相交于点(6,0)和点(-6,0),则大圆的半径为 6,面积为 36,而小圆 6的半径为 1,两个小圆的面积和为 2,所以所求的概率是 = ,
11、故选 B.2361186.B 由 2-0=2,8-4=4,18-12=6,32-24=8,50-40=10,可得从第 11 项到 20 项依次为60,72,84,98,112,128,144,162,180,200,所以此数列的第 20 项为 200.7.A 由 a2sin C=4sin A 及正弦定理得 ac=4,再结合(a+c) 2=12+b2,得 a2+c2-b2=4,则 S= = ,故选 A.14c2a2-(c2+a2-b22 )2 16-44 38.D 如图,依题意 AB=6 米,设 CD=x 米(x0),则 (6x+x2)= ,解得 x=1.设 OA=y 米,则(y-1) 2+9=
12、y2,解得12 72y=5.由余弦定理得 cosAOB= = ,故选 D.25+25-36255 72569.C 由题意知 ak= (k=1,2,3,n),则 a1a2+a2a3+an-nk1an= + + =n2 +n2 +n2 - =n2 1- + - + - =n2n212 n223 n2(n-1)n (1-12) (12-13) 1n-11n 12 1213 1n-1 1n=n(n-1).(1-1n)故选 C.10.D 连接 OA,OB,OD,设O 的半径为 R 寸,则(R-1) 2+52=R2,所以 R=13.sinAOD= = .ADAO513所以AOD22.5,即AOB=45.故
13、AOB= . 4所以 S 弓形 ACB=S 扇形 OACB-SOAB= 132- 10126.33(平方寸).12 4 12所以该木材镶嵌在墙中的体积约为 S 弓形 ACB100=633 立方寸.11.B 假设原来持金为 x 斤,则第 1 关收税金 x;第 2 关收税金 x= x;第 3 关收税金12 13(1-12) 123x= x;第 4 关收税金 x= x;第 5 关收税金 x=14(1-12-16) 134 15(1-12-16-112) 145 16(1-12-16-112-120)x.依题意,得 x+ x+ x+ x+ x=1,即 x=1, x=1,解得 x= ,所以 x= = .
14、故156 12 123 134 145 15+6 (1-16) 56 65 156 156 65125选 B.12. 答案 136解析 铜钱的面积 S1= = (cm2),中间正方形孔的面积 S2= = (cm2),故所求概率 P= = .(32)294 (14)2116 S2S1 13613. 答案 1.6解析 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成,由题意得,(5.4-x)31+ x=12.6.(12)27解得 x=1.6.14. 答案 2解析 由题设知 n=4-m2=4-4sin218=4(1-sin218)=4cos218,则 =mn2cos227-12sin184cos2182cos227-1= = =2.2(2sin18cos18)cos54 2sin36sin3615. 答案 3解析 由题意得,蒲草的长度组成首项为 a1=3,公比为 的等比数列a n,设其前 n 项和为 An;莞草的长12度组成首项为 b1=1,公比为 2 的等比数列b n,设其前 n 项和为 Bn.An= ,Bn= ,令 = ,化3(1-12n)1-12 2n-12-13(1-12n)1-12 2n-12-1简得 2n+ =7(nN *),解得 2n=6,所以 n= =1+ 3,即第 3 天时蒲草和莞草长度相等.62n lg6lg2lg3lg2
