1、1第 17讲 坐标系与参数方程1.已知直线 l的参数方程为 (t为参数).在以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的x=1+12t,y= 3+ 3t极坐标系中,曲线 C的方程为 sin - cos 2=0.3(1)求曲线 C的直角坐标方程;(2)写出直线 l与曲线 C交点的一个极坐标.2.(2018安徽联考)在平面直角坐标系 xOy中,以原点 O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C1的极坐标方程为 2-2 sin -2=0,曲线 C2的极坐标方程为 = ,C1与 C2相交于 A,B2 ( -4) 4两点.(1)把 C1和 C2的极坐标方程化为直角坐标方程,并求点 A,B的直角
2、坐标;(2)若 P为 C1上的动点,求|PA| 2+|PB|2的取值范围.23.(2018沈阳质量检测(一)设过平面直角坐标系的原点 O的直线与圆(x-4) 2+y2=16的一个交点为 P,M为线段 OP的中点,以原点 O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点 M的轨迹 C的极坐标方程;(2)设点 A的极坐标为 ,点 B在曲线 C上,求OAB 面积的最大值.(3,3)4.(2018福州质量检测)在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1的极坐标方程为 cos =2.已知点 Q为曲线 C1上的动点,点 P在线段 OQ上,且满足( -6)
3、|OQ|OP|=4,动点 P的轨迹为 C2.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)设点 A的极坐标为 ,点 B在曲线 C2上,求AOB 面积的最大值.(2,3)35.(2018郑州第二次质量预测)在平面直角坐标系 xOy中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点 A的极坐标为 ,直线 l的极坐标方程为 cos =a,且 l过点 A,曲线 C1的参数( 2,4) ( -4)方程为 ( 为参数).x=2cos ,y= 3sin (1)求曲线 C1上的点到直线 l的距离的最大值;(2)过点 B(-1,1)且与直线 l平行的直线 l1与曲线 C1交于 M,N两点,求|BM|BN|的值.46
4、.(2018课标全国,22,10 分)在直角坐标系 xOy中,曲线 C1的方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 2+2cos -3=0.(1)求 C2的直角坐标方程;(2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程.7.(2018武汉调研测试)在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 ( 为参数),直线 l的x=4cos ,y=2sin 参数方程为 (t为参数),直线 l与曲线 C交于 A,B两点.x=t+ 3,y=2t-2 3(1)求|AB|;(2)若 F为曲线 C的左焦点,求 的值.FAFB58.(2018潍坊统一考
5、试)在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C1的参数方程为 ( 为参数),x=2cos ,y=2+2sin 以原点 O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos 2=sin (0,00),Q 的极坐标为( 1,)( 10),由题设,知|OP|=,|OQ|= 1= ,2cos( -6)由|OQ|OP|=4,得 C2的极坐标方程为 =2cos (0),( -6)因此 C2的直角坐标方程为 + =1,但不包括点(0,0).(x-32)2(y-12)2(2)设点 B的极坐标为( B,)( B0),由题设知|OA|=2, B=2cos ,( -6)于是AOB 的面积 S= |
6、OA| BsinAOB12=2cos ( -6) |sin( -3)|=2 ,|sin2 -34| 32当 =0 时,S 可取得最大值 ,32所以AOB 面积的最大值为 .325. 解析 (1)由直线 l过点 A可得 cos =a,故 a= ,2 (4-4) 2则易得直线 l的直角坐标方程为 x+y-2=0.根据点到直线的距离公式可得曲线 C1上的点到直线 l的距离 d= = ,其|2cos + 3sin -2|2 |7(sin + )-2|2中 sin = ,cos = ,d max= = .277 217 7+22 14+222即曲线 C1上的点到直线 l的距离的最大值为 .14+222(
7、2)由(1)知直线 l的倾斜角为 ,34则直线 l1的参数方程为 (t为参数).x= -1+tcos34,y=1+tsin34 易知曲线 C1的普通方程为 + =1.x24y23把直线 l1的参数方程代入曲线 C1的普通方程可得 t2+7 t-5=0,72 2设 M,N对应的参数分别为 t1,t2,t 1t2=- ,根据参数 t的几何意义可知|BM|BN|=|t 1t2|= .107 10786. 解析 (1)由 x=cos ,y=sin 得 C2的直角坐标方程为(x+1) 2+y2=4.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(-1,0),半径为 2的圆.由题设知,C 1是过点 B(0,2)且关于
8、 y轴对称的两条射线.记 y轴右边的射线为 l1,y轴左边的射线为 l2.由于点 B在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点.当 l1与 C2只有一个公共点时,点 A到 l1所在直线的距离为 2,所以 =2,故 k=- 或 k=0.|-k+2|k2+1 43经检验,当 k=0时,l 1与 C2没有公共点;当 k=- 时,l 1与 C2只有一个公共点,l 2与 C2有两个公共点.43当 l2与 C2只有一个公共点时,点 A到 l2所在直线的距离为 2,所以 =2,
9、故 k=0或 k= .|k+2|k2+1 43经检验,当 k=0时,l 1与 C2没有公共点;当 k= 时,l 2与 C2没有公共点.43综上,所求 C1的方程为 y=- |x|+2.437. 解析 (1)由 ( 为参数),消去参数 得 + =1.x=4cos ,y=2sin x216y24由 消去参数 t得 y=2x-4 .x=t+ 3,y=2t-2 3 3将 y=2x-4 代入 x2+4y2=16中,得 17x2-64 x+176=0.3 3设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=64317,x1x2=17617. 所以|AB|= |x1-x2|= = .1+221+417
10、 (643)2-4171764017(2)由(1)易知 F(-2 ,0). =(x1+2 ,y1)(x2+2 ,y2)3 FAFB 3 3=(x1+2 )(x2+2 )+(2x1-4 )(2x2-4 )3 3 3 3=x1x2+2 (x1+x2)+12+4x1x2-2 (x1+x2)+123 3=5x1x2-6 (x1+x2)+603=5 -6 +6017617 3 64317=44.所以 的值为 44.FAFB8. 解析 (1)由题意可得曲线 C1的普通方程为 x2+(y-2)2=4,9把 x=cos ,y=sin 代入,得曲线 C1的极坐标方程为 =4sin ,由 得 4sin cos 2
11、=sin ,因为 0, =4sin , cos2 =sin ,所以当 sin =0 时,=0,=0,得交点的极坐标为(0,0);当 sin 0 时,cos 2= ,当 cos = 时,= ,=2 ,得交点的极坐标为 ,14 12 3 3 (2 3,3)当 cos =- 时,= ,=2 ,得交点的极坐标为 ,12 23 3 (2 3,23)C 1与 C2交点的极坐标为(0,0), , .(2 3,3)(2 3,23)(2)将 = 代入 C1的极坐标方程中,得 1=4sin ,代入 C2的极坐标方程中,得 2= ,sincos2 = =4cos2 ,|OA|OB|4sinsincos2 ,6 314cos 2 3, 的取值范围为1,3.|OA|OB|
