1、1第 1 课时 两条直线的交点坐标、两点间的距离核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材 P102P 106，回答下列问题：(1)直线上的点与其方程 Ax By C0 的解有什么样的关系？提示：直线 l 上每一个点的坐标都满足直线方程，也就是说直线上的点的坐标是其方程的解反之直线 l 的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标(2)由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？提示：若方程组无解，则 l1 l2；若方程组有且只有一个解，则 l1与 l2相交；若方程组有无数解，则 l1与 l2重合(3)已知平面上两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，如何求
2、 P1， P2的距离| P1P2|?提示：当 x1 x2， y1 y2时，| P1P2| x2 x1|；当 x1 x2， y1 y2时，| P1P2| y2 y1|；当 x1 x2， y1 y2时，| P1P2| . x2 x1 2 y2 y1 22归纳总结，核心必记(1)两条直线的交点坐标求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可应用：可以利用两条直线的交点个数判断两条直线的位置关系一般地，直线 l1： A1x B1y C10 和直线 l2： A2x B2y C20 的位置关系如表所示：方程组的解一组 无数组 无解直线 l1和 l2的公共点个数
3、一个 无数个 零个直线 l1和 l2的位置关系 相交 重合 平行(2)两点间的距离公式2两点坐标 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)距离公式 |P1P2| x2 x1 2 y2 y1 2特例 若 O(0,0)， P(x， y)，则| OP| x2 y2问题思考两点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)间的距离公式是否可以写成| P1P2|的形式？ x1 x2 2 y1 y2 2提示：可以，原因是 ，也 x2 x1 2 y2 y1 2 x1 x2 2 y1 y2 2就是说公式中 P1， P2两点的位置没有先后之分课前反思通过以上预习，必须掌握的几个知识点(1)如何求两条直线的交
4、点坐标，怎样判断两条直线的位置关系？；(2)两点间的距离公式是什么？怎样应用？.观察图形，思考下列问题：思考 1 在方程组中，每一个方程都可表示为一直线，那么方程组的解说明什么？提示：两直线的公共部分，即交点思考 2 如何求上述两直线的交点坐标？提示：将两直线方程联立，求方程组的解即可3思考 3 两条直线相交的条件是什么？名师指津：两直线相交的条件：(1)将两直线方程联立，解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交当方程组只有一解时，两直线相交(2)设 l1： A1x B1y C10， l2： A2x B2y C20，则 l1与 l2相交的条件是A1B2 A2B10 或 (A2， B20)A1A
5、2 B1B2(3)若两直线斜率都存在，设两条直线 l1： y k1x b1， l2： y k2x b2，则 l1与 l2相交 k1 k2. 讲一讲1求经过两直线 l1：3 x4 y20 和 l2：2 x y20 的交点且过坐标原点的直线l 的方程(链接教材 P103例 2)尝试解答 法一：由方程组Error!解得Error! 即 l1与 l2的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率 k 1.2 2故直线 l 的方程为 y x，即 x y0.法二： l2不过原点，可设 l 的方程为 3x4 y2 (2x y2)0( R)，即(32 )x(4 )y2 20.将原点坐标(0,0)代入上式，得 1
6、，直线 l 的方程为 5x5 y0，即 x y0.(1)两条直线相交的判定方法方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交方法二：两直线斜率都存在且斜率不等方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在(2)过两条直线交点的直线方程的求法常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程4 练一练1判断下列各对直线的位置关系若相交，求出交点坐标：(1)l1：2 x y30， l2： x2 y10；(2)l1： x y20， l2：2 x2 y30.解：(1)解方
7、程组Error!得Error!所以直线 l1与 l2相交，交点坐标为(1，1)(2)解方程组Error!2，得 10，矛盾，方程组无解所以直线 l1与 l2无公共点，即 l1 l2.2(2016潍坊高一检测)求经过直线 l1： x3 y30， l2： x y10 的交点且平行于直线 2x y30 的直线方程解：法一：由Error!得Error!直线 l1与 l2的交点坐标为(0,1)，再设平行于直线 2x y30 的直线方程为2x y c0，把(0,1)代入所求的直线方程，得 c1，故所求的直线方程为 2x y10.法二：设过直线 l1、 l2交点的直线方程为 x3 y3 (x y1)0( R
8、)，即( 1) x(3 )y 30，由题意可知， 2，解得 ， 1 3 53所以所求直线方程为 x y 0，83 43 43即 2x y10.观察下面图形：图 1图 2思考 1 如何求图 1 中 A、 B 两点间的距离？提示：| AB| xA xB|.思考 2 图 2 中能否用数轴上两点 A， B 间距离求出任意两点间距离？提示：可以，构造直角三角形利用勾股定理求解5思考 3 怎样理解两点间的距离公式？名师指津：对两点间距离公式的理解：(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成| P1P2|，利用此公式可以将几何问题代数化 x1 x2 2 y1 y2 2(2)当直线 P1P2平行于
9、坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：直线 P1P2平行于 x 轴时| P1P2| x2 x1|；直线 P1P2平行于 y 轴时| P1P2| y2 y1|. 讲一讲2已知 ABC 三顶点坐标 A(3,1)、 B(3，3)、 C(1,7)，试判断 ABC 的形状尝试解答 法一：| AB| 2 ， 3 3 2 3 1 2 13|AC| 2 ， 1 3 2 7 1 2 13又| BC| 2 ， 1 3 2 7 3 2 26| AB|2| AC|2| BC|2，且| AB| AC|， ABC 是等腰直角三角形法二： kAC ， kAB ，7 11 3 32 3 13 3 23则 kAC
10、kAB1， AC AB.又| AC| 2 ， 1 3 2 7 1 2 13|AB| 2 ， 3 3 2 3 1 2 13| AC| AB|， ABC 是等腰直角三角形1计算两点间距离的方法(1)对于任意两点 P1(x1， y1)和 P2(x2， y2)，则| P1P2| . x2 x1 2 y2 y1 2(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解2解答本题还要注意构成三角形的条件 练一练3保持讲 2 条件不变，求 BC 边上的中线 AM 的长6解：设点 M 的坐标为( x， y)，因为点 M 为 BC 的中点，所以x 2， y 2，即点 M 的坐标为(2,2)由
11、两点间的距离公式得| AM|3 12 3 72 ，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 . 3 2 2 1 2 2 26 26 讲一讲3如图，一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l：8 x6 y25 反射后通过点P(4,3)，求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所走过的路程思路点拨 先求出原点关于 l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程尝试解答 设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为( a， b)，由直线 OA 与 l 垂直和线段AO 的中点在 l 上得Error!解得 Error! A 的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过 A(4,3)，又由反射光线过
12、 P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为 y3.由方程组Error!解得Error!由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y3 .(x78)由光的性质可知，光线从 O 到 P 的路程即为 AP 的长度| AP|，由 A(4,3)， P(4,3)知，| AP|4(4)8，7光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为 8.光线的入射、反射的问题以及在某定直线取点，使它与两定点距离之和最小这类问题均属于点关于直线对称的问题(1)点 A(x0， y0)关于直线 l： Ax By C0 的对称点 M(x， y)，可由方程组Error!求得(2)常用对称的特例有： A(a，
13、b)关于 x 轴的对称点为 A( a， b)； B(a， b)关于 y 轴的对称点为 B( a， b)； C(a， b)关于直线 y x 的对称点为 C( b， a)； D(a， b)关于直线 y x 的对称点为 D( b， a)； P(a， b)关于直线 x m 的对称点为 P(2 m a， b)； Q(a， b)关于直线 y n 的对称点为 Q( a,2n b) 练一练3求点 A(2,2)关于直线 2x4 y90 的对称点坐标解：设 B(a， b)是 A(2,2)关于直线 2x4 y90 的对称点，则有 AB 与已知直线垂直，且线段 AB 的中点在已知直线上Error! 解得 a1， b4
14、.所求对称点坐标为(1,4)课堂归纳感悟提升1本节课的重点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系，会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标，掌握两点间距离公式并能灵活应用难点是了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系2本节课要重点掌握的规律方法(1)掌握两条直线相交的判定方法，掌握过两条直线交点的直线方程的求法，见讲 1.(2)计算两点间距离的方法，见讲 2.(3)点关于直线对称问题的解决方法，见讲 3.3本节课的易错点是点关于直线对称问题及求两直线交点坐标计算错误，如讲 1,3.8课下能力提升(二十)学业水平达标练题组 1 两条直线交点的坐标1下列各直线中，
15、与直线 2x y30 相交的是( )A2 ax ay60( a0) B y2 xC2 x y50 D2 x y30解析：选 D 直线 2x y30 的斜率为 2，D 选项中的直线的斜率为2，故 D 选项正确2(2016佛山高一检测)若两直线 l1： x my120 与 l2：2 x3 y m0 的交点在y 轴上，则 m 的值为( )A6 B24C6 D以上都不对解析：选 C 分别令 x0，求得两直线与 y 轴的交点分别为： 和 ，由题意得12m m3 ，解得 m6.12m m33经过直线 2x y40 与 x y50 的交点，且垂直于直线 x2 y0 的直线的方程是( )A2 x y80 B2
16、 x y80C2 x y80 D2 x y80解析：选 A 首先解得交点坐标为(1,6)，再根据垂直关系得斜率为2，可得方程y62( x1)，即 2x y80.4分别求经过两条直线 2x y30 和 x y0 的交点，且符合下列条件的直线方程(1)平行于直线 l1：4 x2 y70；(2)垂直于直线 l2：3 x2 y40.解：解方程组Error!得交点 P(1,1)(1)若直线与 l1平行， k12，斜率 k2，9所求直线方程为 y12( x1)，即： 2 x y10.(2)若直线与 l2垂直， k2 ，斜率 k ，32 1k2 23所求直线方程为 y1 (x1)，即： 2 x3 y50.2
17、3题组 2 两点间的距离公式5已知 A(1,0)， B(5,6)， C(3,4)，则 的值为( )|AC|CB|A. B.13 12C3 D2解析：选 D 由两点间的距离公式，得|AC| 4 ，| CB| 2 ，故3 1 2 4 0 2 2 3 5 2 4 6 2 2 2.|AC|CB| 42226已知 ABC 的顶点 A(2,3)， B(1,0)， C(2,0)，则 ABC 的周长是( )A2 B323 3C63 D62 10解析：选 C | AB| 3 ，| BC| 3，| AC| 2 1 2 32 2 2 1 2 03，则 ABC 的周长为 63 . 2 2 2 32 27设点 A 在
18、x 轴上，点 B 在 y 轴上， AB 的中点是 P(2，1)，则| AB|等于_解析：设 A(x,0)， B(0， y)， AB 中点 P(2，1)， 2， 1， x4， y2，即 A(4,0)， B(0，2)，x2 y2| AB| 2 .42 22 5答案：2 58求证：等腰梯形的对角线相等证明：已知：等腰梯形 ABCD.求证： AC BD.证明：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系设 A( a,0)、 D(b， c)，由等腰梯形的性质知 B(a,0)， C( b， c)则| AC| ， b a 2 c 0 2 a b 2 c210|BD| ， b
19、 a 2 c 0 2 a b 2 c2| AC| BD|.即等腰梯形的对角线相等题组 3 对称问题9与直线 3x4 y50 关于 x 轴对称的直线的方程为( )A3 x4 y50 B3 x4 y50C3 x4 y50 D3 x4 y50解析：选 B 令 x0，解得 y ；令 y0，解得 x ，故 和 是直线54 53 (0， 54) ( 53， 0)3x4 y50 上两点，点 关于 x 轴的对称点为 ，过两点 和(0，54) (0， 54) ( 53， 0)的直线即为所求，由两点式或截距式可得 3x4 y50.(0， 54)10已知直线 l： x2 y20，试求：(1)点 P(2，1)关于直线
20、 l 的对称点坐标；(2)直线 l 关于点 A(1,1)对称的直线方程解：(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P( x0， y0)，则线段 PP的中点在直线 l 上，且 PP l.所以Error!解得Error!即 p点的坐标为 .(25， 195)(2)设直线 l 关于点 A(1,1)的对称直线为 l，则直线 l 上任一点 P2(x1， y1)关于点 A的对称点 P2( x， y)一定在直线 l上，反之也成立由Error! 得Error!将( x1， y1)代入直线 l 的方程得， x2 y40，即直线 l的方程为 x2 y40.能力提升综合练1已知直线 mx4 y20 与 2x5 y
21、 n0 互相垂直，垂足为(1， p)，则 m n p 为( )A24 B20 C0 D4解析：选 B 两直线互相垂直， k1k21， 1， m10.又垂足m4 25为(1， p)，代入直线 10x4 y20 得 p2，将(1，2)代入直线 2x5 y n0 得n12， m n p20.112两直线 3ax y20 和(2 a1) x5 ay10 分别过定点 A， B，则| AB|的值为( )A. B. C. D.895 175 135 115解析：选 C 直线 3ax y20 过定点 A(0，2)，直线(2 a1) x5 ay10，过定点 B ，由两点间的距离公式，得| AB| .( 1，25
22、) 1353(2016阜阳高一检测)已知点 M(0，1)，点 N 在直线 x y10 上，若直线 MN垂直于直线 x2 y30，则 N 点的坐标是( )A(2,3) B(2，1)C(4，3) D(0,1)解析：选 A 由题意知，直线 MN 过点 M(0，1)且与直线 x2 y30 垂直，其方程为 2x y10.直线 MN 与直线 x y10 的交点为 N，联立方程组Error!解得Error!即 N点坐标为(2,3)4已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为( m1) x y20 和 4m2x( m1)y40，则 m 的值为_解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则 或m 14m2 1m 1 2
23、4(m1)4 m21( m1)0，解得 m 或1.13答案： 或1135若直线 l: y kx 与直线 2x3 y60 的交点位于第一象限，则直线 l 的倾斜3角 的取值范围是_解析：如图，直线 2x3 y60 过点 A(3,0)， B(0,2)，直线 l: y kx 必过点3(0， )当直线 l 过 A 点时，两直线的交点在 x 轴上；当直线 l 绕 C 点逆时针(由位置3AC 到位置 BC)旋转时，交点在第一象限根据 kAC ，得到直线 l 的斜率 k 3 00 3 33. 倾斜角 的范围为 30 90.33答案：30 906直线 l 过定点 P(0,1)，且与直线 l1： x3 y100
24、， l2：2 x y80 分别交于A、 B 两点若线段 AB 的中点为 P，求直线 l 的方程12解：法一：设 A(x0， y0)，由中点公式，有 B( x0,2 y0)， A 在 l1上， B 在 l2上，Error! Error! kAP ，1 20 4 14故所求直线 l 的方程为： y x1，即 x4 y40.14法二：设所求直线 l 方程为： y kx1， l 与 l1、 l2分别交于 A、 B.解方程组Error! A ，(73k 1， 10k 13k 1)解方程组Error! B .(7k 2， 8k 2k 2) A、 B 的中点为 P(0,1)，则有： 0， k .12( 73
25、k 1 7k 2) 14故所求直线 l 的方程为 x4 y40.法三：设所求直线 l 与 l1、 l2分别交于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)， P(0,1)为 AB 的中点，则有：Error!Error!代入 l2的方程，得： 2( x1)2 y180 即 2x1 y160.解方程组Error! A(4,2)由两点式：所求直线 l 的方程为 x4 y40.法四：同法一，设 A(x0， y0)，Error!两式相减得 x04 y040，(1)观察直线 x4 y40，一方面由(1)知 A(x0， y0)在该直线上；另一方面， P(0,1)也在该直线上，从而直线 x4 y40 过点 P、
26、 A.根据两点决定一条直线知，所求直线 l 的方程为： x4 y40.7求函数 y 的最小值x2 8x 20 x2 1解：原式可化为 y x 4 2 0 2 2 . x 0 2 0 1 2考虑两点间的距离公式，如图所示，令 A(4,2)， B(0,1)， P(x,0)，则上述问题可转化为：在 x 轴上求一点 P(x,0)，使得| PA| PB|最小作点 A(4,2)关于 x 轴的对称点 A(4，2)，由图可直观得出| PA| PB| PA| PB| A B|，故| PA| PB|的最小值为| A B|的长度13由两点间的距离公式可得|A B| 5， 4 0 2 2 1 2所以函数 y 的最小值为 5.x2 8x 20 x2 1
