1、1第三章 导数及其应用测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.(改编题)已知函数 f(x)=ax- ,且 f(4)= ,则 a 的值等于( )x12A. B.14 52C.1 D.34解析: 由已知得 f(x)=a- ,12x因此有 f(4)=a- ,解得 a= .124=12 34答案: D2.(2016 辽宁沈阳高二检测)曲线 y= 在点(1, -1)处的切线方程为( )xx-2A.2x+y-1=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x+y-3=0解析: 由于 y= ,所以切线斜率 k= =-2,于是切线方程
2、为 y+1=-2(x-1),即 2x+y-1=0.-2(x-2)2 -2(1-2)2答案: A3.若函数 y=f(x)的图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是( )A.f(x)=x2-2xB.f(x)=x2+2xC.f(x)= x3+x213D.f(x)=x3-x2解析: 由题可知 f(x)为二次函数,故排除 A,B,且 f(x)的两根分别为 -2,0,又 f(x)= x3+x2的导数为13f(x)=x2+2x 的两根为 -2,0.答案: C4.函数 f(x)=2ln x-x- 的单调递增区间是( )3xA.(-1,3)B.(0,3)C.(3,+ )D.(3,+ )和( - ,-1)解析:
3、f(x)= -1+ ,令 f(x)0,解得 -10,g(x)=6x2-2x+1 中 =- 200 恒成立,故 f(x)0 恒成立,即 f(x)在定义域上单调递增,无极值点 .答案: A6.已知函数 y=f(x),其导函数 y=f(x)的图象如图所示,则 y=f(x)( )A.在( - ,0)上为减函数B.在 x=0 处取极小值C.在(4, + )上为减函数D.在 x=2 处取极大值解析: 在( - ,0)上, f(x)0,故 f(x)在( - ,0)上为增函数,A 错;在 x=0 处,导数由正变负, f(x)由增变减,故在 x=0 处取极大值,B 错;在(4, + )上, f(x)1 时, f
4、(x)0,故函数 f(x)在定义域(0, + )上有极小值 .答案: B11.若函数 f(x)=x3-3x-1 对于区间 -3,2上的任意 x1,x2,都有 |f(x1)-f(x2)| t,则实数 t 的最小值是 ( )A.20 B.18C.3 D.0解析: f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令 f(x)=0,得 x=1,所以 -1,1 为函数 f(x)的极值点 .又 f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间 -3,2上, f(x)max=1,f(x)min=-19.由题设,知在区间 -3,2上, f(x)max-f(x)min t,从而 t20
5、,所以 t 的最小值是 20.故选 A.答案: A12. 导学号 59254056(2016 四川成都高二检测)设函数 f(x)=aex和 g(x)=x2+c 的图象的一个公共点为 P(2,t),且在该点处有相同的切线,则方程 f(x)-g(x)=0 在下列哪个区间内一定存在负根( )A.(-1,0)B.(-2,-1)C.(-3,-2)D.(-4,-3)解析: 由函数 f(x),g(x)的图象在点 P 处有相同的切线,可得 f(2)=g(2).由 f(x)=aex,g(x)=2x,得 a= .4e2因为 P(2,t)在 f(x)的图象上,所以 t=4,则 c=0.令 h(x)=f(x)-g(x
6、),则 h(x)=4ex-2-x2,所以 h(-1)= -10,4e3 4e2因此 h(x)=0 在( -1,0)内一定存在负根,故选 A.答案: A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 . 4解析: 易知 f(x)=3x2+a=0 有两个不相等的实数根, x2=- 0,a2,1m解得 m- .12综上, m 的取值范围为 .(-12,+ )答案: (-12,+ )三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=x3-2x2+ax-1,
7、且 f(1)=1.(1)求 f(x)的解析式;(2)求曲线 f(x)在 x=-1 处的切线方程 .解: (1)因为 f(x)=x3-2x2+ax-1,所以 f(x)=3x2-4x+a.因为 f(1)=1,所以 312-41+a=1,解得 a=2.故 f(x)=x3-2x2+2x-1.(2)由(1)知 f(x)=3x2-4x+2,所以曲线 f(x)在 x=-1 处的切线斜率 k=f(-1)=9,5又 f(-1)=-6,因此切线方程为 y+6=9(x+1),即 9x-y+3=0.18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-x2-ax 的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b.(1
8、)求实数 a,b 的值;(2)若函数 g(x)= ,求 g(x)在(0, + )上的极值 .f(x)-1x解: (1)因为 f(x)=ex-2x-a,所以 f(0)=1-a.于是由题知 1-a=2,解得 a=-1.因此 f(x)=ex-x2+x,f(0)=1,于是 1=20+b,解得 b=1.(2)由(1)得 g(x)= -2,f(x)-1x =ex-2xx =exx所以 g(x)= ,令 g(x)=0 得 x=1,ex(x-1)x2当 x 变化时, g(x),g(x)的变化情况如下:x (0,1) 1 (1,+ )g(x) - 0 +g(x) 单调递减 极小值 单调递增所以 g(x)在 x=
9、1 取得极小值 g(1)=e-2,无极大值 .19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x- -aln x(aR),讨论函数 f(x)的单调性 .2x解: 函数 f(x)的定义域为(0, + ),f(x)=1+ .2x2-ax=x2-ax+2x令 g(x)=x2-ax+2,其判别式为 =a 2-8.当 0 即 -2 a2 时, f(x)0,即 f(x)在(0, + )单调递增;2 2当 ag(0)=20,所以 f(x)0,即 f(x)在(0, + )单调递增;当 a2 时,方程 g(x)=x2-ax+2=0 的两根为 x1= ,x2= ,且均为正值,列表:2a- a2-82 a+ a2-
10、82x (0,x1) x1 (x1,x2) x2 (x2,+ )f(x) + 0 - 0 +f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增故 f(x)在(0, x1)与( x2,+ )上单调递增,( x1,x2)上单调递减 .综上,当 a2 时, f(x)在(0, + )单调递增;2当 a2 时, f(x)在 上单调递增,2 (0,a- a2-82 )与 (a+ a2-82 ,+ )上单调递减 .(a- a2-82 ,a+ a2-82 )20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= +aln x(aR) .1x2(1)讨论函数 f(x)的单调性;(2)若不等式 xf(x)0 时,
11、由 f(x)= 0,解得 x ;ax2-2x3 2a由 f(x)= 0 时, f(x)在 上单调递减,在 上单调递增 .(0,2a) ( 2a,+ )(2)不等式 xf(x) .1x2lnx令 g(x)= ,1x2lnx则 g(x)=- ,2x(lnx+12)(x2lnx)2令 g(x)=0 得 x= ,1e当 00;当 x 时, g(x)0;x(50,200)时, f(x)0,f(x)单调递增 .所以 f(x)的极小值为 f(2)=- ,无极大值 .1e27(2)当 b=1 时, f(x)= .ax-a+exex根据题意,知 =0 无实根,即 ax-a+ex=0 无实根 .ax-a+exex令 h(x)=ax-a+ex,则 h(x)=a+ex.若 a0,则 h(x)0,h(x)在 R 上单调递增,存在 x0,使得 h(x0)=0,不合题意 .若 a0,得 xln(-a);令 h(x)0,即 aln(-a)-2a0,解得 0a-e2,符合题意 .综上所述,实数 a 的取值范围为( -e2,0).
