1、- 1 -1.1.2 余弦定理1. ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 b2=ac,且 c=2a,则 cos B 等于( )A. B. C. D.解析:因为 b2=ac,且 c=2a,由余弦定理得 cos B= .答案:B2.在 ABC 中,若 a=7,b=8,cos C= ,则最大角的余弦值是( )A.- B.- C.- D.-解析:因为 c2=a2+b2-2abcos C=9,所以 c=3.根据三边的长度知角 B 为最大角,故 cos B= =- .所以 cos B=- .答案:C3.在 ABC 中,已知 sin A=2cos Bsin C,则 ABC 是( )A.直
2、角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.不确定解析:(方法一)由正弦定理可得 a=2ccos B.由余弦定理得 a=2c ,化简得 b=c. ABC 是等腰三角形 .(方法二)sin A=2cos Bsin Csin(B+C)=2cos Bsin Csin Bcos C+cos Bsin C=2cos Bsin Csin Bcos C-cos Bsin C=0sin(B-C)=0.可知 - B-C, B-C=0. B=C.故 ABC 为等腰三角形 .答案:B4.在 ABC 中,已知 A=30,且 3a= b=12,则 c 的值为( )- 2 -A.4 B.8 C.4 或 8 D.无解解
3、析:由 3a= b=12,得 a=4,b=4 ,利用余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccos A,即16=48+c2-12c,解得 c=4 或 c=8.答案:C5.在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若( a2+c2-b2)tan B= ac,则角 B 为( )A. B. C. D.解析:( a2+c2-b2)tan B= ac, tan B= ,即 cos Btan B= ,sin B= ,B= .答案:D6. ABC 的三内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p q,则 C 的大小为 . 解 析: p
4、=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p q,( a+c)(c-a)-b(b-a)=0,即 a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得 cos C= ,0 C, C= .答案:7.在 ABC 中, A=120,AB=5,BC=7,则 = . 解析:由余弦定理,得 a2=b2+c2-2bccos A,即 49=b2+25+5b,解得 b=3 或 b=-8(舍去),所以 .答案:8.在 ABC 中,若 B=60,2b=a+c,则 ABC 的形状是 . - 3 -解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B.因为 B=60,2b=a+c,所以 =a2+c2-2accos 60.整理上式可得
5、( a-c)2=0,所以 a=c.又 2b=a+c,所以 b=a=c.因此, ABC 为正三角形 .答案:正三角形9.在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsin A= acos B.(1)求角 B 的大小;(2)若 b=3,sin C=2sin A,求 a,c 的值 .解:(1)由 bsin A= acos B 及正弦定理 ,得 sin B= cos B,所以 tan B= ,所以 B= .(2)由 sin C=2sin A 及 ,得 c=2a.由 b=3 及余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 9=a2+c2-ac.所以由得, a= ,c=2 .10.在 ABC 中, C=2A,a+c=10,cos A= ,求 b.解:由正弦定理得 =2cos A, .又 a+c=10, a=4,c=6.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,得 , b=4 或 b=5.当 b=4 时, a=4, A=B.- 4 -又 C=2A,且 A+B+C=, A= ,与已知 cos A= 矛盾,不合题意,舍去 .当 b=5时,满足题意, b=5.
