1、课前练习,一、全微分,二、全微分在近似计算中的应用,第三节 全微分及其应用,一、全微分（perfect differential),在一元函数里, 有微分公式:设y=f(x),则dy= f(x)dx,对多元函数z=f (x,y).如何去求微分dz？是否也有类似的公式？,二元函数对x和对y的偏增量,二元函数对x和对y的偏微分,若边长分别改变x、y,则面积的全改变量为:,如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，自变量x、y 在点(x0 , y0)处同时取得改变量x、y, 则函数相应的改变量 z= f(x0+x, y0+y)- f(x0, y0) 称为z=f(x,y)在点(x0 ,
2、y0)处的全改变量(或全增量).,2.2、全增量的概念,例:边长为x、y的薄金属片,加热后,面积改变多少?,解：,原金属片的面积为: S=xy,S= (x +x)(y+y)-xy,= yx+ xy+xy,x,y,y,x,x y,yx,第二部分是 的高阶无穷小量.,即,也即, xy=o() (0),S= yx+ xy+xy,= yx+ xy +o(),二元函数在点(x,y)处的全微分,记为：Ax+ By (A、B与x、 y无关),2.3、全微分的定义,注: 函数若在某区域D内每一点都可微, 则称此函数在D内是可微的.,问题: 函数满足什么条件才一定可微? 可微时A、B的具体形式是什么?下面定理给
3、出明确答复.,定理 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则 （1）f(x,y)在点(x,y)处连续； （2） f(x,y)在点(x,y)处可偏导，并有偏导数fx(x,y)、 fy(x,y),则函数且dz= fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.,可微的必要条件,可微的充分条件,证明参加书本,定理 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有连续的偏导数fx(x,y)、 fy(x,y),则函数f(x,y)在点(x,y)处可微,且dz= fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.,证,（依偏导数的连续性）,同理,可微一定偏导数存在, 但偏导数存在却未必可微.,可导与可微的关系,一元
4、函数里, 函数可导与可微是等价关系. 但在二元函数里, 可导与可微的区别很大,主要表现在以下:,由定理知, 可微一定偏导数存在. 对偏导数存在却未必可微,可由下面例子说明.,例如，,则,当 时，,偏导数存在函数不一定连续, 但可微函数必连续.,函数的偏导数虽然存在, 但是函数并不连续. 下面证明可微函数必连续.,事实上,函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微, 则有,多元函数可微、偏导数存在与连续的关系.,偏导数连续,函数可微,偏导数存在,连续,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠
5、加原理也适用于二元以上函数的情况,叠加原理,解,所求全微分,全微分的求法,解,所求全微分,解,故,例4 设函数,求该函数在点(1,1,1)处全微分的值df(x,y,z)|(1,1,1),解：,df(x,y,z)|(1,1,1),= dx- dy,解：由题意,或：,增量公式,函数值公式,解,二、全微分在近似计算中的应用,在 可微,由公式,（2.用公式，并具体化）,（3.赋值并计算）,补例1：已知某产品的产量Q为企业投入资K金和劳动L的函数,即Q=Q(K,L),且当投入资金为20、投入劳动为64时有： Q(20,64)=2500 （产量）QK(20,64)=350 (资金的边际产出率）QL(20,
6、64)=270 (劳动的边际产出率） 现在企业准备扩大投入，使K=24、L=69，试计算扩大投入后产品增量与产量的近似值。,解：,由近似公式QdQ=QK(K,L)K+ QL(K,L)L,将K=20、L=64、K=4、L=5代入,得：,Q QK(20,64)4+ QL(20,64)5,=350 4+270 5 = 2750,Q(24,69)Q(20,64)+Q,=2500+2750=5250,即扩大投入后约增产2750单位,总产量可达约5250单位.,解,设黄铜的密度为8.9,圆柱体的体积为,从而所需准备的黄铜为,多元函数全微分的概念；,多元函数全微分的求法；,多元函数连续、可导、可微的关系,（注意：与一元函数的区别）,三、小结,思考题,
