1、1专题 曲线运动一、运动的合成和分解【题型总结】1合力与轨迹的关系如图所示为一个做匀变速曲线运动质点的轨迹示意图，已知在 B 点的速度与加速度相互垂直，且质点的运动方向是从 A 到 E，则下列说法中正确的是( )AD 点的速率比 C 点的速率大BA 点的加速度与速度的夹角小于 90CA 点的加速度比 D 点的加速度大D从 A 到 D 加速度与速度的夹角先增大后减小2运动的合成和分解 例：一人骑自行车向东行驶，当车速为 4ms 时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到 7ms 时。他感到风从东南方向（东偏南 45）吹来，则风对地的速度大小为（ ）A. 7m/s B. 6ms C. 5ms D.
2、4 ms3绳（杆）拉物类问题例：如图所示，重物 M 沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车 m 沿斜面升高问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成 角，且重物下滑的速率为 v 时，小车的速度为多少？练习 1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物 B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为 ，则BAv,（ ）A、 B、 C、 D、重物 B 的速度逐渐增大vAvAv4渡河问题例 1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2,战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为
3、( )例 2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了 T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为 T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B) (C) (D)【巩固练习】1、 一个劈形物体 M，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个光滑小球 m，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ） Mm2A、 沿斜面向下的直线 B、竖直向下的直线 C、无规则的曲线 D、抛物线同类变式下列说法中符合实际的是：（ ）A足球沿直线从球门的右上角射入球门 B篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐C台球桌上红色球沿弧线运动 D羽毛球比赛时
4、，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。2、如图所示为一空间探测器的示意图， P1 、 P2 、 P3 、 P4是四个喷气发动机， P1 、 P2的连线与空间一固定坐标系的 x 轴平行， P3 、 P4的连线与 y 轴平行每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动开始时，探测器以恒定的速率 vo向正 x 方向平动要使探测器改为向正 x 偏负 y 60 的方向以原来的速率 vo平动，则可( )A先开动 P1 适当时间，再开动 P4 适当时间B. 先开动 P3 适当时间，再开动 P2 适当时间C. 开动 P4 适当时间D. 先开动 P3 适当时间，再开动 P4 适当时间解析:火箭、喷气飞
5、机等是由燃料的反作用力提供动力，所以 P1 、P2 、P3 、P4 分别受到向左、上、右、下的作用力。使探测器改为向正 x 偏负 y 60 的方向以原来的速率 vo 平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。答案： A3、如图所示，A、B 为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A 在较下游的位置，且 A 的游泳成绩比 B 好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）A. A、B 均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用B. B 沿虚线向 A 游且 A 沿虚线偏向上游方向游C. A 沿虚线向 B 游且 B 沿虚线偏向上游方向游 D. 都应沿
6、虚线偏向下游方向，且 B 比 A 更偏向下游解析:游泳运动员在河里游泳 时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系， A、B 两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选 A。二、平抛运动【题型总结】1斜面问题：分解速度：例：如图所示，以水平初速度 抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为 的斜面上，求物体完0v 成这段飞行的时间和位移。解： ， gtvyx0tantang22002ta)1(1gvvSxy 练习：如图所示，在倾角为 370的斜面底端的正上方 H 处，平抛一小球，该小球垂直打在斜面上的一点，求小球抛出时
7、的初速度。解：小球水平位移为 ，竖直位移为 ,由图可知，0xvt2yt，又 ，解之得： .2001tan37Hgt0tan37gt01537gv分解位移：例：如图，在倾角为 的斜面顶端 A 处以速度 水平抛出一小球，落在斜面上的某一点 B 处，设空气阻03 2力不计，求小球从 A 运动到 B 处所需的时间和位移。解：设小球从 A 处运动到 B 处所需的时间为 t ，则水平位移 ，竖直位移 。tvx021gty， tan)(210vgtgvttan20sinta2si1ingtSy练习 1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有 a、 b、 c、 d 四个点， ab=bc=cd。从 a 点正上方的
8、O 点以速度 v0水平抛出一个小球，它落在斜面上 b 点。若小球从 O 点以速度 2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的A b 与 c 之间某一点 B c 点 C c 与 d 之间某一点 D d 点解析：当水平速度变为 2v0时，如果作过 b 点的直线 be，小球将落在 c 的正下方的直线上一点，连接 O 点和 e点的曲线，和斜面相交于 bc 间的一点，故 A 对。答案：A练习 2：（证明某一夹角为定值）从倾角为 的足够长的 A 点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为 v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为 ，第二次初速度 ，球落在斜面上前一瞬间的速度
9、方向与斜面间的夹角为 ，若 ，试比较 的大小。解析： ， 所以 。即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。练习 3：（求时间或位移之比）如图所示，AB 为斜面，BC 为水平面，从 A 点以水平初速度 v 向右抛出一小球，其落点与 A 的水平距离为 s1，从 A 点以水平初速度 2v 向右抛出一小球，其落点与 A 的水平距离为s2，不计空气阻力， 可能为：A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有 ，A 是可能的。若两物体都落在斜面上，由公式 得，运动时间分别为 ， 。水平位移，C 是可能。若第一球落在斜面上，第二球落
10、在水平面上（如图所示）， 不会小于 1：4，但一定小于 1：2。故 1：3是可能的，1： 5 不可能。答案：ABC4练习 4：（斜面上的最值问题）在倾角为 的斜面上以初速度 v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远,由 ，则运动时间为 ，此时横坐标为 。又此时速度方向反向延长线交横轴于 处： 。方法二：建立如图所示坐标系, , ,把运动看成是沿 x 方向初速度为 ，加速度为 的匀加速运动和沿 y 方向的初速度为 ，加速度为 的匀减速运动的合运动。最远处 ，所以，2类平抛运动：例：如图所示，光滑斜面长为 ，宽为 ，倾角
11、为 ，一物体从斜面右ab 上方P 点水平射入，而从斜面左下方顶点 Q 离开斜面，求入射初速度。解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到 的合力大小为 F ，方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜sinmg 面方向的加速度应为 a 加 ，又由于物体的初速度与 a 加 垂直，所si 以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为 v0的匀速直线运 动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。在水平方向上有 b= v0 t，沿斜面向下的方向上有 a a 加 t2。1 。agbtv2sin0练习：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为 ，且井壁
12、光滑，有R一个小球从井口的一侧以水平速度 抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与0v井壁发生第 次碰撞处的深度。解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，当小球与井壁相碰 n 次时，小球在水平方向上通过的路程： ，所以用的时间 ，由nSx202vnRStx于小球在竖直方向上做的是自由落体运动，因此小球在竖直方向上的位移 20202)(1vgRgtSy 5即小球与井壁发生第 n 次碰撞时的深度为 20vgRn3相对运动中的平抛运动：例：正沿平直轨道以速度 v 匀速行驶的车厢内，前面高 h 的支架上放着一个小球，如图所示，若车厢突然改以加速度 a ，
13、做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子的水平距离为多少？解：方法一：小球水平运动 ，小车水平运动 ,ghS21 ghavS211gahS12方法二： ， , 0相 对va)(水 平相 对 gha2)(同类变式若人在车厢上观察小球，则小球运动轨迹为 直线 （填“直线”或“曲线” ）因为 ， ，所以运动轨迹为直线。相 对 2ga相 对练习：沿水平直路向右行驶的车内悬一小球，悬线与竖直线之间夹一大小恒定的角，如图所示，已知小球在水平底板上的投影为 O 点，小球距 O 点的距离为 h.，若烧断悬线，则小球在底板上的落点 P 应在 O 点的_侧；P 点与 O 点的距离为_。解：烧断悬线前
14、，悬线与竖直方向的夹角 ，解析小球的受力可知小球所受合力，根据牛顿第二定律知，车与球沿水平向右做匀加速运动，其加速度为 , tanmgF tangmF（题设隐含条件）,烧断悬线后，小球将做平抛运动，设运动时间为 t ，则有,对小球： ,对小车：21thghvts21 hghvavts 2tan1212 球对车的水平位移 ，负号表示落点应在 O 点的左侧，距离 OP 为 htan 。tan2【巩固练习】1、如图所示，房间里距地面 H 高的 A 点处有一盏白炽灯（可视为点光源） ，一小球以初速度 从 A 点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角 B 处，0v那么，小球抛出后，它的影点在墙上的运动情
15、况是（ ）A匀速运动 B匀加速运动 C变速运动 D无法判断解析：由相似三角形可知： ,由平抛规律可得：EP= gt2,AE=v0t,AF=v0。EFPQ1小球刚好落在墙角处，则有：s=FQ = EP=（v0 t、A)20gHtg由此可知：小球影子以速度 v= 沿墙向下做匀速运动.答案：A2gH同类变式 如图所示，从地面上方 D 点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙上的 A、B、C 三点，图中 0 点与 D 点在同一水平线上，知 O、A、B、C 四点在同一竖直线上，且 OA=AB=BC，三球的水平速度之比为 ：Av： =_。BvC解析：由 和 ,设 OA=AB=BC=h ，则 ，21gt
16、hvts 21gth， ； ； ； ,整理得 ： ： = ； ： ： =2B23CAsBvtCstAvBC2:36AtBC.答案： ； :1:63:212、把物体甲从高 H 处以速度 平抛，同时把物体乙从距物体甲水平方向距离为 s 处由地面以速度 竖直上抛，v 2v不计空气阻力，两个物体在空中某处相遇，下列叙述中正确的是（ ）A、 从抛出到相遇所用的时间是 1sO6B、 如果相遇发生在乙上升的过程中，则 gHv2C、 如果相遇发生在乙下降的过程中，则D、 若相遇点离地面的高度为 ，则2v2解析：对 A 选项： ； ,对 B、C 选项：11sttv 2221vHtgt 2,vHtgt最 高 点在
17、上升过程中相遇： ,在下降过程中相遇： ,对 DgHvg22 g2选项： .答案：ABDtHt 221同类变式 2如图所示，P、Q 两点在同一竖直平面内，且 P 点比 Q 点高，从 P、Q 两点同时相向水平抛出两个物体，不计空气阻力，则（ ）A. 一定会在空中某点相遇 B. 根本不可能在空中相遇C. 有可能在空中相遇 D. 无法确定能否在空中相遇解析：P、Q 在竖 直方向上都是做自由落体运动，在相等 时间 内通过的竖直位移相等。由于 P 点比 Q 点高，所以 P 点总在 Q 点上方。答案：B同类变式 2如图所示，质量均为 m 的 A、B 两个弹性小球，用长为 2l 的不可伸长的轻绳连接。现把
18、A、B 两球置于距地面高 H 处（ H 足够大） ，间距为 l。当 A 球自由下落的同时，B 球以速度 v0指向 A 球水平抛出。求：（1）两球从开始运动到相碰，A 球下落的高度。 （2）A、B 两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。 （3）轻绳拉直过程中，B 球受到绳子拉力的冲量大小。 解：（1）设 A 球下落的高度为 h tvl02gh（2）由水平方向动量守恒得 BxAxvmv0由机械能守恒得 )(21)(21)(21 22 ByxAyxyBy vmv式中 ， ,联立解得 ， AyvyB 0AxB（3）由水平方向动量守恒得 ， Bv0 0Ix3、如图所示，排球场总长为 18
19、m，设球网高度为 2m，运动员站在网前 3m 处正对球网跳起将球水平击出。(1)若击球高度为 2.5m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？解:(1)排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示.若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：,由此得排球越界的临界速度 .sght 2105.201 smstxv/21/21若球恰好触网，则球在网上方运动的时间: .gHht 0)5.()(20由此得排球触网的临界击球速度值 .smstsv/3/1/2 18m 3mv0h0 H 9mx1x2联立解得 20glh7使排球既不触网
20、又不越界，水平击球速度 v 的取值范围为: .smvs/21/03(2)设击球点的高度为 h，当 h 较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有:，得 .gHxh)(21 mx152)(1)(2即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网.同类变式 一位同学将一足球从楼梯顶部以 的速度踢出（忽略空气阻力） ，若所有台阶都是高 0.2m, sv0宽 0.25m，问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到哪一级台阶上？解： 方法一：设足球落在第 n 级台阶上, 325.02)1(5. ngn方法二： , 落在第三级台阶上64.0ta220gvvSx7方法三：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为 P，此过程小球的水平位移为 x，竖直位移为 y，则： ， ,由几何知识可得：t021ty2.05yx由以上各式得 ， , 2n3，小球首先撞到第三级台阶上。st32.mx64.6.5.0xnv0h Hx1x2
