1、第 1 页 共 15 页 1数列求和的基本方法和技巧关键词：数列求和 通项分式法 错位相减法 反序相加法 分组法 分组法 合并法数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnanS2)1(2)(112、 等比数列求和公式： )()(11 qqnnn自然数方幂和公式：3、 4、)1
2、(21nkSn )12(612nkSn5、 213)(nk例 求和 1x 2x 4x 6x 2n+4(x0)解： x0该数列是首项为 1，公比为 x2的等比数列而且有 n+3 项当 x21 即 x1 时 和为 n+3评注：(1)利用等比数列求和公式当公比是用字母表示时，应对其是否为 1 进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对 x 是否为 0 进行讨论(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第 n 项 对应高考考题：设数列 1， （1+2） ， （1+2+ ） ，的前顶和为 ，则 的值。12ns二、错位相减法求和错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题
3、其中的数列方面都出了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种第 2 页 共 15 页 2方法主要用于求数列a n b n的前 n 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比 ；然后再将得到的新和式和原q和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。例 求和： （ ）132)2(7531nn xxS 解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的通项之积1)(n 1nx设 . （设制错位）nn xxxx )1(432得 （错位相
4、减 ）nnn xS )12(21)( 1432再利用等比数列的求和公式得： nnxSx1)( 2)()(2Snn 注意、1 要考虑 当公比 x 为值 1 时为特殊情况2 错位相减时要注意末项此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。对应高考考题：设正项等比数列 的首项 ，前 n 项和为 ，且na21nS。 （）求 的通项； （）求 的前 n 项和 。0)12(120301 SSn nT三、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 .)(1a例 求证： nnn CC2)1(253
5、210 证明： 设 nnnS10把式右边倒转过来得（反序）0113)2()( nnnn 又由 可得mnC nnn CS110)()1(+得 （反序相加）nn2)1()20 第 3 页 共 15 页 3 nnS2)1(四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.若数列 的通项公式为 ，其中 中一个是等差数列，另一个是等nannbacnba,比数列，求和时一般用分组结合法。例 ：求数列 的前 n 项和；164,832,1分析：数列的通项公式为 ，而数列 分别是等差数列、等比数列，nna2n21,求和
6、时一般用分组结合法；解 ：因为 ，所以nna21)21()83()4()1( nns （分组）1232nn前一个括号内是一个等比数列的和，后一个括号内是一个等差数列的和，因此。1221)()( nnn五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解 （裂项） 如：（1） （2）)(1(nffan nnta)1ta()cos(1i （3） （4）)(n )12()2(an（5） )(1)(21)( an例 求数列 的前 n 项和.,3,1n第 4 页 共 15 页 4解：设 （裂项）
7、nnan 11则 （裂项求和）1321Sn )()()( n n小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。注意： 余下的项具有如下的特点1 余下的项前后的位置前后是对称的。2 余下的项前后的正负性是相反的。练习 在数列a n中， ，又 ，求数列b n的前 n 项的121nan 12nnab和。六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 在各项均为正数的等比数列中，若 的值.103231365 loglogl,9aaa求解：设 1032313
8、logloglaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmqpn和对数的运算性质 得NMaaalll（合并求和）)log(l)og()og(l 6353932310313 aSn (l)l 659 l9l 33310数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。第 5 页 共 15 页 5数列通项公式的十种求法一、公式法例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na123nna12na解： 两边除以 ，得 ，则 ，故数列 是以123n13na132n2na为首项，以 为公差的等差数列，由等差
9、数列的通项公式，得 ，所以数列a 3(1)n的通项公式为 。n 1()2nna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差132nna132na2na数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式。()n二、累加法例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112na， na解：由 得 则12n1n23212()()()()211()()aaaannn 所以数列 的通项公式为 。a2na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出12na12na，即得数列 的通项公式。12321()()()()nnaa 例 3 已知数列 满足 ，求数列 的
10、通项公式。n113nna， na解：由 123na第 6 页 共 15 页 6可得： ，则1231nna12321211()()()()333()(33nnnnnaaaa 所以 31.na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1231nna1231nna，即得数列 的通项公式。123()()()()nnnaa 例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n113nnaa， na解： 两边除以 ，得 ，132na13n112nn则 ，故11nn2232111221()()()()3332() 1)333nnnnnnaaaa因此 ，()2()2nn na则 13.nnn评注：本题
11、解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1321nna11233nna，即得数列 的通项公式，最后再求1122321()()()()33nnnaa n数列 的通项公式。n第 7 页 共 15 页 7三、累乘法例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112()53nna， na解：因为 ，所以 ，则 ，故112()53nn， 0n12()5n132122211(1)1(1)2(55()5()333!nnnnnaa 所以数列 的通项公式为na(1)235!.nna评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出1()nna 12()5nn，即得数列 的通项公式。13212naa
12、na例 6 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 满足na，求 的通项公式。11231()(2)n naaa，解：因为 1231n n所以 1231()n naaa 用式式得 1.nn则 1()2)nna故 1()n所以 13222 !(1)43.naanna 由 ， ，则 ，又知 ，则1231()()n n 212a取 得 11a第 8 页 共 15 页 8，代入得 。21a!13452nna所以， 的通项公式为n!.n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1()2)nna1(2)na，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式。1322naa
13、2n时 ， n四、待定系数法例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na112356nna， na解：设 115()nnxx将 代入式，得 ，等式两边消去 ，得123nna 123525n nnaxax2na，两边除以 ，得 代入式得355xn,则 1(5)n由 及式得 ，则 ，则数列 是以 为首160a50na152na5na1项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故 。12n1n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列135nna152()nnaa是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。5nan例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n
14、a113524nnaa， na解：设 112()nnnxyxy将 代入式，得1354nna123(2)nnn nxyaxy整理得 。(5)4n第 9 页 共 15 页 9令 ，则 ，代入式得5234xy52xy11()nnnaa由 及式，15230得 ，则 ，na11523nna故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此52n1，则 。13na352nnna评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为14nna，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列11523(52)nnnaa52n的通项公式，最后再求数列 的通项公式。n例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na21 1345
15、naa， na解：设 2 21()()()n nxyzxyz将 代入式，得21345nan，则22 2(1)()()n nxyzaxyz2 2(3)45n nanx等式两边消去 ，得 ，n2 2(3)(4)(5)yxyzxnyz解方程组 ，则 ，代入式，得2452xyz3108xz2 213()0(1)(3)n nana 由 及式，得218023108na第 10 页 共 15 页 10则 ，故数列 为以213()0(1)82nan23108na为首项，以 2 为公比的等比数列，因此21 3，则 。13082nna43108na评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为2145nn，从而可知数
16、列 是等比数2 213()0(1)8(308)nana 23108na列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。23a 五、对数变换法例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。na5123nna17na解：因为 ，所以 。在 式两边取常用对数得511237nn， 10nn， 5123nnalg5llga设 1l()5(l)n nxyaxy11将式代入 式，得 ，两边消去 并整理，得11 lgl3g2()5(lg)n nnyaxy5lgna，则(lg3)25xnyxy，故l5g2xylg34216y代入 式，得 11 1lg3lglg3lg2l()5()444164n
17、naa 12由 及 式，1g3l2ll2l 71046612得 ，lgl 04na第 11 页 共 15 页 11则 ，1lg3lg2l()41645na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列，则lg3lg24164nalg3l27416，因此l lg()5nn 1111 16 6444411 661444455lg3l2lg3lg2l(7)5llllg(32)lg(32)l7(nnnn nna1641)lg32nnn则 。11545647nna评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列1lg3lg2lg3lgl()5()4164464n n
18、a是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再llg2164n求出数列 的通项公式。n六、迭代法例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na3(1)25nna， na解：因为 ，所以3(1)2nn121323(1)3nn第 12 页 共 15 页 122(2)13(2)13()()112(3)2(1)()12(1(2)3()!nnnn nnnnaa 又 ，所以数列 的通项公式为 。15ana(1)23!5nna评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 两边取常用3(1)2nna对数得 ，即 ，再由累乘法可推知1lg3()2lgnnaa1l3()2nn，从而
19、。(1)23!13212lll lg5nnn 1()3!25na七、数学归纳法例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1228()8139nnaa， na解：由 及 ，得1228()3n1921223422(1)824583()(3)9148018aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2()1n（1）当 时， ，所以等式成立。21()89a第 13 页 共 15 页 13（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3kak222222222()()138()1()(1)()3()1()kkkkkk由此可知，当 时等式也成立。1nk根据
20、（1） ， （2）可知，等式对任何 都成立。*nN评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1 1(42)6nnnaa， na解：令 ，则124nnb2)nb故 ，代入 得11()nna1(412)6nnnaa2214()46nnnbb即 221(3)n因为 ，故40nnba11240nnba第 14 页 共 15 页 14则 ，即 ，123nb132nnb可化为 ，1()nn所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列，因此3nb112432413a21，则
21、，即 ，得2()n()nb()3na。343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，124nanb132nnb从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。nb3a九、不动点法例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na1124nna， na解：令 ，得 ，则 是函数 的两个不动点。214x20x123x， 214()xf因为。所以数列 是以1224142(1)3261339733nn nnnnnaaa23na为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则 。14a9 1()9nna12()9nn评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的两个根214()xf4x，进而可推出 ，从而可知数列 为等比数列，再求出数列123x， 139nnaa 23na的通项公式，最后求出数列 的通项公式。nan第 15 页 共 15 页 15例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。na11723na， na解：令 ，得 ，则 是函数 的不动点。723x240xx31()47xf因为 ，所以1513nnna。2()343nna评注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化 形式，124nanb132nnb从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。nb3a
