1、1 三角函数公式 及 其 记忆方法 一 、 定义 名称 锐角直角三角函数 任意角三角函数 图形 正弦 sin = = 余弦 cos = = 正切 tan 或 tg = = 余切 cot或 ctg = = 正割 sec = = 余割 csc = = 二 、 同角三角函数的基本关系式 （一） 基本关系 1、 倒数关系 1cottan 1cscsin 1seccos 2、 商的关系 tancossin tancscsec cotsincos cotseccsc 3、 平方关系 1c ossin 22 22 sectan1 22 c scc ot1 （二） 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以 “上弦
2、、中切、下割；左正、右余、中间 1“的正六边形为模型。 1、 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面 4 个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 斜边 c 对边 a 邻边 b A C B A(x,y) r 2 3、 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、 诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角 n(/2) 的三角函数转化为角 的三角函数。 （一） 常用的诱导公式 1、 公式一： 设 为任意
3、角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 ： zkk ,s in)2s in( zkk ,c os)2c os ( zkk ,t a n)2t a n( zkk ,c ot)2c ot ( zkk ,s e c)2s e c ( zkk ,c s c)2s c ( 2、 公式二： 为任意角， 与 的三角函数值之间的关系 ： s in)s in( c os)c os ( tan)tan( c ot)c ot ( s ec)s ec ( c s c)c s c ( 3、 公 式三：任意角 与 - 的三角函数值之间的关系： sin)sin( cos)cos ( tan)tan( c ot)c ot (
4、 sec)sec( c sc)c sc ( 4、 公式 四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系： sin)sin( c os)c os ( tan)tan( c ot)c ot ( s ec)s ec ( c sc)c sc ( 5、 公式五：利用公式一和公式三可以得 -2 与 的三角函数值之间的关系： s in-)2s in( c os)2c os ( tan)2tan( c ot)2c ot ( s ec)2s ec ( c s c-)2c s c ( 6、 公式六： 2 与 的三角函数值之间的关系： c os)2s in( s in)2c o s ( c o t)
5、2tan ( tan)2c o t( c s c)2(s ec s ec)2(c s c 7、 公式 七： 2 与 的三角函数值之间的关系： c os)-2sin( sin)-2c os ( 3 c ot)-2tan( tan)-2c ot( c s c)-2(sec sec)-2(c s c 8、 推算公式： 23 与 的三角函数值之间的关系： -c o s)23s in ( s in)23c o s ( -c o t)23tan ( ta n-)23c o t( c s c)23(s ec - s ec)23(c s c 9、 推算公式： -23 与 的三角函数值之间的关系： -c o s
6、)-23s in ( s in-)-23c o s ( c ot)-23tan( tan)-23c o t( -c s c)-23(s ec -s ec)-23(c s c 诱导公式记忆口诀： “ 奇变偶不变，符号看象限 ” 。 “ 奇、偶 ” 指的是2的倍数的奇偶， “ 变与不变 ” 指的是三角函数的名称的变化： “ 变 ” 是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立） “ 符号看象限 ” 的含义是：把角 看做锐角，不考虑 角所在象限，看 n(/2) 是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “ 一全正；二正弦；三两切；四余弦 ” 。 这十二字口诀的意思就是说： 第一象
7、限 内任何一个角的四种三角函数值都是 “+” ； 第二象限 内只有正弦是 “+” ，其余全部是 “ ” ； 第三象限 内只有正切和余切是 “+” ，其余全部是 “ ” ； 第四象限 内只有余弦是 “+” ，其余全部是 “ ” 。 “ASCT” 意即为 “all( 全部 )” 、 “sin” 、 “ tan” 、 “ cos” （二） 其他三角函数知识 1、 两角和差公式 s inc osc oss in)s in( s inc osc oss in)s in( s ins inc osc os)c os ( s ins inc osc os)c os ( t ant an1 t ant an)
8、t an ( 4 t ant an1 t ant an)t an ( 记忆方法： S+=SC+CS C+=CC-SS T+= TTTT1 变 号 都反转 口诀：正余同余正，余余反正正 2、 二倍角的正弦、余弦和正切公式 c o ss in22s in 2222 s i n211c os2s i nc os2c os 2tan1 tan22tan 3、 半角的正弦、余弦和正切公式 2c os12s in a2c os12c os a c o s1 c o s1s inc o s1c o s1 s in2t a n c os1 c os12tan 2 4、 万能公式 2tan12tan2s in2
9、 2tan12tan1c os22 2tan12tan2tan2 5、 三倍角的正弦、余弦和正切公式 )60(s i n)-60s i n (4 s i ns i n4s i n33s i n 3 。 )60c o s ()-60c o s (c o s4c o s3c o s43c o s 3 。 )60t an ()-60t an (t ant an31 t ant an33t an 2 3 。 5 )1s in2(s in( co s44s in 2 )co s( co s814co s 24 42 3t ant an61 t an4t an44t an s in5s in201 6 s
10、 in5s in 35 c os5c os20c os165c os 35 42 42 t an5t an101 t ant an105t an5t an sinc os ieia 5.1 方法一谐音、联想 1) 正弦 三倍角： 3 元 减 4 元 3 角（欠债了 (被减成负数 )，所以要“挣钱”(音似“ 正弦 ” )） 2) 余弦 三倍角： 4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余”） 注意： 函数名，即 正弦 的三倍 角都 用正弦表示， 余弦 的三倍 角都 用 余弦 表示。 5.2 方法二： 1) 正弦三倍角 ： 3 1 4 3 2) 余弦三倍角： 4 3 3 1 注意 : 正弦里函数
11、名都为 sin, 余弦里函数名都为 cos 中间都为减号 6、 和差化积公式 2c o s2s in2s ins in 2s in2c o s2s ins in 2c o s2c o s2c o sc o s 2s in2s in2c o sc o s co sco s )s in (t ant an s ins in )s in (co tco t 三角函数和差化积公式快速记忆口诀： 正加正，正在前。正减正，余在前。余加余，余并肩。余减余，余不见，负号很讨厌。 7、 积化和差公式 6 )s in () s in (21c o ss in )s in () s in (21s inc o s
12、)c o s () c o s (21c o sc o s )c o s () c o s (21s ins in 结合 6 来记忆 8、辅助角公式 abbaba t a n),s i n (c o ss i n 22 9、三角形定理 1.正弦定理 在任意 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边长分别为 a、 b、 c，三角形外接圆半径为 R，则有 Rcba 2Cs inBs inAs in 正弦定理变形可得： Ra b cAbcBacCabS 4s i n21s i n21s i n21 2.余弦定理 Abccba c os2222 Baccab c os2222 Cabbac c os2
13、222 三、 公式推导过程 （一） 万能公式推导 22 s inc o s c o ss in2c o ss in22s in （ 因为 1sinc os 22 ） 再把 上面的 分式上下同除 2cos ，可得2tan12tan22s in2 然后用 2 代替 即可。 同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。 （二） 三倍角公式推导 233223222222t a n31t a nt a n3c o sc o ss i n2s i nc o sc o sc o ss i ns i nc o sc o ss i n2c o ss i n2s i nc o sc o ss i
14、 ns i nc o sc o ss i n2c o s2s i ns i n2c o ss i n2c o sc o s2s i n3c o s3s i n3t a n7 33322s in4s in3s in2s ins in2s in2s in)s in21(c o ss in2s in2c o sc o s2s in)2s in (3s inc o s3c o s4)c o s2c o s2(c o sc o s2s inc o s2c o s)1c o s2(s in2s inc o s2c o s)2c o s (3c o s33322即 3s in4s in33s in c os
15、3c os43c os 3 （三） 和差化积公式推导 首先 ,我们知道 s inc osc oss in)s in( s inc osc oss in)s in( 我们把两式相加就得到 c oss in2)s in()s in( 所以 , )s in () s in (21c o ss in 同理 ,若把两式相减 ,就得到 )s in () s in (21s inc o s 同样的 ,我们还知道 s ins inc osc os)c os ( s ins inc osc os)c os ( 所以 ,把两式相加 ,我们就可以得到 c o sc o s2)c o s ()c o s ( 所以我们
16、就得到 , )c o s () c o s (21c o sc o s 同理 ,两式相减我们就得到 )c o s () c o s (21s ins in 这样 ,我们就得到了积化和差的四个公式 : )s in () s in (21c o ss in )s in () s in (21s inc o s )c o s () c o s (21c o sc o s )c o s () c o s (21s ins in 好 ,有了积化和差的四个公式以后 ,我们只需一个变形 ,就可以得到和差化积的四个公式 . 8 我们把上述四个公式中的 设为 , 设为 ,那么 2 , 2 把 , 分别用 , 表
17、示就可以得到和差化积的四个公式 : 2c o s2s in2s ins in 2s in2c o s2s ins in 2c o s2c o s2c o sc o s 2s in2s in2c o sc o s 怎样一个小时记住中学所有三角函数公式？（三角函数的记忆规律） (2011-02-10 16:57:12) 转载 标签： 杂谈 分类： 学习方法论 人脑不应该去和电脑比拼记忆力。我们记忆的目的不是为了挑战自己的记忆力，而是为了在中高考中帮助我们解题，或者用来解决别的实际问题。有意义的东西才去记，没意义的东西就不要记。不要迷信一些花里胡哨的记忆诀窍。比如，不管是用“谐音法”还是“图形法”还
18、是别的什么方法来强行记忆圆周率后的几十位数字，这些东西都是没有意义的。有这个工夫，不 如多解几道数学题，对提高数学成绩更有帮助。真正有用的知识，都是有规律、有意义的。所以，寻找知识之间的规律，根据规律来记忆是一种最重要、最高效的记忆法，是提高记忆力的第一原则！ 下面，我以三角函数为例来说明如何运用“彻底理解 + 把握规律”的方法来记忆数量巨大而且非常复杂的理科公式。 怎样一个小时记住中学所有三角函数公式？（三角函数的记忆规律） 所谓彻底理解，就是能够从最简单的概念推出最复杂的结论。所以当我们觉得某个知识很难理解的时候，首先应该想到的就是，这个知识背后那些最简单的概念我们有没有真正弄清楚。 所以
19、，我们要把三角函数彻底搞清楚，记下来并且活学活用，首先就要问：三角函数最简单的概念是什么？ 显然，就是 sin、 cos、 tg、 ctg 这四个概念。这是三角函数的基本元素。可惜有很多人学了很长时间的三角函数，这四个符号倒是认识了，却没有能够真正理解它们的内涵。所谓三角函数，简单来说，就是直角三角形的几条边的比例关系。假设有直角 ABC， C=90，对应斜边 c， A 和 B 分别对应直角边 a 和 b。 9 那么， sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a。实际上，这四个函数就是为了把直角三角形的比例线段简单化，为了避免每次都要写一大堆线段的比例式，而发明
20、出来的。 sinA 就代表 A 所对的直角边与斜边的比例， cosA 就代表 A 的邻边与斜边的比例， tgA 就代表 A 的对边与邻边的比例， ctgA 就代表 A 的邻边与对边的比例。 把这些最简单的概念弄清楚了，有很多基础的三角函数公式就不用记了。比如sin2A+cos2A=1， tgA ctgA=1， cosA tgA= sinA， sinA ctgA= cosA。因为这些全都是直接从这个基本概念推出来的，比如 cosAtgA= sinA， sinActgA= cosA 这两个公式颠来倒去的，很容易把 tgA 和 ctgA 记混淆，一不小心就会记成 sinAtgA=cosA 或 者 c
21、osActgA= sinA。但是，只要我们知道这四个基本概念，就知道永远都不会记混淆。所以说真正高效的记忆是在彻底理解的基础上记忆，彻底理解了之后，过个十年八年都忘不掉，更不可能说什么听完 课就忘、看完书就忘、过一天就忘了等等。 到了高中，三角函数最大的变化其实不是公式变得更多了，而是基础概念扩大了。也就是三角函数的取值范围从初中的 0 到 90 度，变成了任意角，也就是从负无穷到正无穷。但是 sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a 这四个基本概念还是没有变。学好高中的三角函数，最根本的还是在这四个基本概念的基础上，再认真理解“单位圆”的概念。把这个单位圆弄
22、清楚了之后，整个高中的三角函数公式就迎刃而解，不管它怎么变来变去都逃不出我们的手掌心。 “标准圆”就是在 坐标轴上以 O 点为圆心，以 1 为直径的圆。从这个圆上任意一点做一条到 X 轴的垂线，这条垂线与 X 轴还有这个点到圆心的连线，正好组成一个直角三角形。如图所示，在直角坐标系上的四个象限的单位圆上任取一点 P（ x， y），做 PMMO，则 这里的 PO=1， PM=y，所以 sinO 的值就是 PM 的长度，也就是 P 点的纵坐标值y。同理， 这里和初中惟一不同的地方是，初中学习的是 0 到 90 度，所有的值都是非负数，而这里不仅有线段的长度，还有向量值，也就是 x 和 y 可能是负
23、数。在第二象限， y 是正数，而 x 是负数，所以在 这个象限里 sinO 是正数，而 cosO 是负数；在第三10 象限， x和 y 都是负数，所以 sinO 和 cosO 都是正数；在第四象限， y 是 负数， x 是正数，所以 sinO 是负数，而 cosO 是正数。 把这个道理彻底梳理清楚之后，高中三角函数的所有角度变化公式就全部都不用记忆了。什么 sin(- )=-sin， cos(- )=cos 你就想到是角度沿着 X 轴对折过来了，从第一象限跑到第四象限了，再看第四象限对应的 y 肯定是负数，所以 sin(- )=-sin，而 x 值还是正数，所以 cos(- )=cos。有了这
24、个东西，剩下那些千变万化的什么， sin( -/2)=-sin( /2)=-cos， sin( -3 /2)=-cos ,cos( + )=-cos反正加上一个角度，就是 PO 往逆时针方向转，减去一个角度，就是 PO 往顺时针方向转，转到哪个象限，符号是正 是负马上就知道了。这样后面三角函数的周期性也顺带着完全弄明白了。 然后就是三角函数和与差的公式，这个也是从单位圆出来的，无非就是单位圆上两个点的距离而已。这个推导课本上都有，看起来推导过程比较长，但只要自己动手在草稿纸上画一下，整个过 程就一目了然了。三角函数和与差的公式很复杂，不仅有 sin（ +） =sin cos + cos sin
25、， sin（ -） =sin cos -cos sin， cos（ +） =cos cos -sin sin， cos（ -） =cos cos +sin sin，还有 tg（ +）和 ctg（ +）的公式。这些公式颠来倒去的，死记硬背足以把人背出数学恐惧症。如果我们不用“彻底理解 + 把握规律”的方法来记忆，永远也别想学好三角函数。 11 其实，我们只需要记住 sin（ +） =sin cos + cos sin这一个公式就行了，剩下的全都可以根据我们的基本概念想出来。因为我们已经把标准圆记在脑子里面了，无论什么角度变化，只要大脑里面好像出现一个闹钟一样：加上一个角，指针就逆时针旋转；减去一
26、个角，指针就顺时针旋转。有了这个东西，怎么变都不会糊涂。 所以， sin（ -） = sin +（ -） = sin cos(- )+ cos sin(- )，这里多了个符号，是减，所以要把指针向顺时针方向转动，转到第四象限， y 是负数， x 是正数， sin 值变成负， cos 值还是正值， 所以 sin（ -） = sin +（ -） = sin cos(- )+cos sin(- )= sin cos - cossin。这就出来了，不管是符号还是 sin 和 cos 的顺序，都绝不会记错。 同理， c o s （ + ） = - s i n （ + + / 2 ） =-sin cos(
27、 +/2)- cos sin( + /2)，这里是加上 /2，指针要逆时针转动， sin 要变成 cos，根据我们的单位圆，我们又可以得出 cos（ +）的公式了。同样， cos（ -） = cos +（ -）， 我们又可以很容易地知道 cos（ -）的公式了。至于 tg（ +）， tg（ -）， ctg（ +）， ctg（ -）， 我们只要知道最基础的四个概念： sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b, ctgA=b/a，就足够了。 tg（ +） = sin（ +） / cos（ +）， tg（ -） = sin（ -） / cos（ -） 以此类推，看起来无比复杂的两角和与
28、差的公式就很清楚地排列在脑海里面，而且过很长很长的时间，也不会记错一个符号，不会记错一个顺序。这样的记忆效果，又岂是 任何一种投机取巧的方法所能够比拟的？！ 至于三角函数的二倍角公式，那就更简单了。既然已经知道 sin（ +） =sin cos + cos sin，那么 sin2 = sin（ +） =sin cos + cos sin =2 sin cos。后面的 cos2、 tg2、 ctg2 公式也就可以继续按照单位圆概念及这四个基本概念轻而易举地就想出来了，根本不需要刻意地去记忆它们。所以说来说去，整个初中高中的三角函数那么复杂，其实记住两个东西就行了：第一， sinA=a/c, cosA=b/c, tgA=a/b,ctgA=b/a；第二，单位圆的图形变化。 实际上，有谁记不住吗？任何人都记得住这两个东西，但是，为什么那么多人把初高中的三角函数学视为畏途呢？很多人就是在复杂的公式中转晕了头，而忘记了那些最基本的概念和知识之间最基本的联系。所以， 如果我们在学习一个看似很复杂的知识时觉得头痛，我们记忆一些看似很复杂的公式时觉得背完就忘，那么，请立即回到最基础的地方，去理解和寻找规律吧。这才是高效记忆的惟一法门。 “正确的学习方法，可以把普通人变成天才；错误的学习方法，可以把天才变成白痴。”记住我这句话。
