1、第7讲 牛吃草问题,牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间 均匀的变化，这样就增加了难度,解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。,草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周， 那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”),【分析与解】,27头牛吃6周相当于276=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；23头牛吃9周相当于239=207头牛吃1周时间，吃了原有的草
2、加上9周新长的草；,于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草,所以453=15头牛1周可以吃1周新长出的草即相当于给出15头牛专门吃新长出的草,于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草， 于是21-15=6头牛来吃原来的草；,所以需要1266=12(周)，于是2l头牛需吃12周,注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为 一般工程问题了,一般方法：先求出变化的草相当于多少头牛来吃： (甲牛头数时间甲-乙牛头数时间乙)(时间甲-时间乙)；再进行如下运算： (甲牛头数-变化草相当头数)时问甲(丙牛头数-变化草相当
3、头数)=时间丙或者：(甲牛头数-变化草相当头数)时间甲时间丙+变化草相当头数丙 所需的头数,有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚 而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头 牛吃12周问：第三块草地可供50头牛吃几周?,【分析与解】,我们知道246=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).,3612=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草),于是1442=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草,4324=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草,所以108-72=36头牛一周吃2公顷126=6周长的草,即366=6头牛
4、1周吃2公顷1周长的草,对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好于是4公顷， 配426=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃 6周吃完4公顷，所以1头牛吃612(42)=36周吃完2公顷,所以10公顷，需要1026=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛 来吃10公顷草，要36 (102)20=9周,于是50头牛需要9周吃10公顷的草,【分析与解】,一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；,一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的； 即3天，吃了1块+1块8天新长的.,现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完， 于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要9
5、0天吃完， 牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起 吃，需多少时间?,【分析与解】,牛、马45天吃了 原有+45天新长的草,马、羊60天吃了 原有+60天新长的草,牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草,马 90天吃了 原有+90天新长的草,牛、马90天吃了 2原有+90天新长的草,所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草； 再结合知，羊吃了90天，吃了90天新长的草， 所以，可以将羊视为专门吃新长的草,所以，知马60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草,现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草.,所以，牛、羊、马一起吃，需36天,由于天气逐渐冷起来
6、，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某 块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？,【分析与解】,设1头牛1天吃的草为1份，20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份）,说明寒冷的天气使牧场1天减少青草10份，也就是寒冷导致的每天减少的草量 相当于10头牛在吃草。,由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上寒冷导致的每天减少的草量相当 于10头牛同时在吃草，,所以原有草共有（20+10）5=150（份），,由15010=15知道，牧场原有的草可供15头牛吃10天。,由寒冷导致的原因占去10头牛吃的草，所以可供5头
7、牛吃10天。,自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每 分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了 6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级台阶？,【分析与解】,与前面的题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”， “牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。,上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度， 另一部分是自动扶梯的速度。,男孩5分钟走了205=100（级），女孩6分钟走了156=90（级）， 女孩比男孩少走了10090=10（级），,多用了65=1（分钟），说明电梯1分钟走10级。,因
8、男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。,所以，扶梯共有（20+10）5=150（级）,一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果 用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小 时舀完，需要多少人？,【分析与解】,已漏进的水，加上3小时漏进的水，每小时需要（123）人舀完， 也就是36人用1小时才能舀完。,已漏进的水，加上10小时漏进的水，每小时需要（510）人舀完， 也就是50人用1小时才能舀完。,通过比较，我们可以得出1小时内漏进的水及船中已漏进的水。,1小时漏进的水，2个人用1小时能舀完：,（51012
9、3）（103）=2,已漏进的水：（122）3=30,已漏进的水加上2小时漏进的水，需34人1小时完成： 30+22=34,用2小时来舀完这些水需要17人：342=17（人）,有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。 第一块草荐地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问第三块草 地可供19头牛吃多少天？,【分析与解】,现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 即,5，6，8=120,这样，第一块5公顷可供11头牛吃10天，1205=24，变为120公顷草地可供1124=264（头）牛吃10天,第二块6公顷可供12
10、头牛吃14天，1206=20，变为120公顷草地可供1220=240（头）牛吃14天。,1208=15。问题变成：120公顷草地可供1915=285（头）牛吃几天？,因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，原题可变为：,一块草地匀速生长，可供264头牛吃10天或供240头牛吃14天， 那么可供285头牛吃几天？ 即,每天新长出的草：（2401426410）（1410）=180（份）,草地原有草：（264180）10=840（份）,可供285头牛吃的时间：840（285180）=8（天）,作业 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供
11、16头牛吃6天。照此计算，可供11头牛吃几天,不定方程与整数分拆,求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法， 与此相关或涉及整数分拆的数论问题,对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解,在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?,【分析与解】,有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张问这些纸币的总面值 是否能够恰好是100元?,【分析与解】,设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，,列方程如下：,注意到式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解， 即这些纸币的总面值不能恰好为100元,将一根长为374厘米的合金铝
12、管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管， 加工损耗忽略不计问：剩余部分的管子最少是多少厘米?,【分析与解】,24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管， 截去的总长度必是12的倍数，,但374被12除余2，所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2厘米,另一方面，374=2712+412+2，而3612=3，2412=2,即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米,因此剩余部分的管子最少是2厘米,小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?,【分析与解】,显然，为了使3种
13、信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信， 然后是航空信，最后才是平信,但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分,此时剩下的邮费为122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可,于是，小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封,有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克， 第三堆中每个砝码重7克现在要取出最少个数的砝码，使它们的 总重量为130克那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的 砝码各有几个?,【分析与解】,为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码1307：18 4，,5种商品的价格如表81，其中的单位是元现用60元钱恰好买了10件商品， 那
14、么有多少种不同的选购方式?,【分析与解】,设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有,=60,最后可得到如下表的满足情况：,共有4种不同的选购方法,(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?,【分析与解】,(1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数 和最小为2+3+5+7+11+13+17+19+23+29，显然大于50,所以，其中一定可以有某几个质数相等,欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小
15、的质数尽可能小，最小的质数为2，且最 多可有9个2，那么最大质数不超过5029=32，而不超过32的最大质数为31,(2)最大的质数必大于5，否则10个质数的之和将不大于50,所以最大的质数最小为7，为使和为60，所以尽可能的含有多个7,607=84，,而4=2+2，,即8个7与2个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7,有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值 有多少种?,【分析与解】,注意到所有38枚硬币的总币值恰好是100分(即1元)，于是除了50分和100分外， 其他98种币值就可以两两配对了，即,(1，99)；(2，98)；(3，97)；(4，96)
16、；(49，51)；,每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，,显然50分和100分的币值是可以组成的,因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这49种情况,1分和3分的币值显然不能构成,2分，4分，6分，46分，48分等24种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成,5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在4分， 6分,8分 ，46分、48分的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，,譬如，37分币值的，由于36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍 分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分,综合以上分析，不能用30个贰分和8
17、个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值 只有四种，即1分，3分，97分，99分,小明买红、蓝两支笔，共用了17元两种笔的单价都是整数元， 并且红笔比蓝笔贵小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买 其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完那么 红笔的单价是多少元?,【分析与解】,如下表,先枚举出所有可能的单价如表1,再依次考虑：,首先，不能出现35的约数否则只买这种笔就可以刚好用完35元，,所以含有7，5，1的组合不可能,然后，也不能出现3517=18的约数否则先各买一支需17元，那么再买 这种笔就可以花去18元，一共花35元,所以含有9，6，3，2的组合也不可能,所以，只有13+4的
18、组合可能，经检验13x+4y=35这个不定方程确实无自然数解 所以红笔的单价为13元,第9讲 整数分拆,1一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候， 乘积最大也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数,2一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行 对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(nr)个P,3把自然数S (S1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中 最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大,4把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+n形式，当 和等于原数则可以，若不然
19、，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数,如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1,电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等则该电视连续 剧最多可以播出几天?,【分析与解】,由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下， 每天播出的集数应尽可能地少,选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，,现在就可以播出7天，还剩下2集，,由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的 集数相同.,于是只能选择从后加即把30表示成：,30=1+2+3+4+5+6+9或30=
20、1+2+3+4+5+7+8,即最多可以播出7天,若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从 每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去。再把盒子重 排了一下小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子问：一共有多少只盒子?,【分析与解】,设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过 小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1) 个小球,同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球,类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+
21、4)个小球等等，故原来那些盒子中装有 的小球数是一些连续整数,现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数?,因为42=67，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而 42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数；,又因为42=143，故可将42：13+14+15，一共有3个加数；,又因为42=212，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数,所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子,机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色： 凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然
22、数染成黄色 (比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和， 1染黄色)问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少?请说明理由,【分析与解】 显然1要染黄色，2=1+1也要染黄色，,3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4， 8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5， 11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6,可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色,下面统一观察其他自然数，说明
23、其他自然数均要染成红色,1)当n为大于等于10的偶数时，n=2k=4+2(k2),由于n10，所以k5，k23，2(k2)与4均为合数，且不相等于是， 大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色,2)当n为大于等于13的奇数时，n=2k+1=9+2(k4),由于n13，所以k6，k42，2(k2)4与9均是合数，且不相等也就是说， 大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色,所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色 ，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k2),所以第2000个染红色的数是2000+10=20
24、10,在整数中，有用2个以上的连续自然数的和来表达一个整数的方法例如9：9=4+5， 9=2+3+4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法.(1)请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数(2)请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数,【分析与解】 关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表达种数.,根据（1）知道，有3种表达方法，于是奇约数的个数为3+1=4， 最小的15(1、3、5、15)；,有连续的2、3、5个数相加；7+8；4+5+6；1+2+3+4+5；,据(2)知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6+1=7，最小为729 (1、3、9、2
25、7、81、243、729)，,有连续的2,3、6、9、10、27个数相加：,364+365；242+243+244；119+120+124；77+78+79+85；36+37+45； 14+15+40,把一个整数写成非零自然数的和的形式如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不 同，也只算做一种方法另外，只使用一个自然数，也算做一种方法 (1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种： 6，5+1，4+2，3+3，4+l+1，3+2+1，2+2+2 请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种?,【分析与解】,(1)我们注意到设x+y+z=50，求x、y、z有多少组可能的值
26、,并且x、y、z代表的数字 调换顺序只算一种,为了方便计算，不妨设xyz,当x=0时，y+z=50，y可以取025，z对应取值，于是有26组解；,当x=1时，y+z=49，y可以取124，z对应取值，于是有24组解；,当x=2时，y+z=48，y可以取224，z对应取值，于是有23组解；,当x=3时，y+z=47，y可以取323，z对应取值，于是有21组解；,当x=4时，y+z=46, y可以取423，z对应取值，于是有20组解；, ,当x=15时，y+z=35，y可以取1517，z对应取值，于是有3组解；,当x=16时，y+z=34，y可以取1617，z对应取值，于是有2组解,所以，共有26+24+23+21+20+3+2=234组可能的值；,
