1、 1第2章 级行列式的计算方法n2.1 定义法 对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。由定义可知， 级行列式共有 项，每一项的一般形式为n!n若每一项 个元素的乘积中有零因子，则该1212(),nnrjjjja 项的值为零。若零元素较多，则值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。例1 计算 级行列式n0012010Dn2.2 利用行列式的性质 例2 计算 级行列式n.11212 212nnnnxyxyyDxxy解 当 时， ；1y当 时， ；2n122()()Dx2当 时，把第一行的 倍分别加到第 行，3n1i行列式的值不变，得2,i 11212 21110nnn
2、nxyxyxyDxxx 综上可得 1212()()0(3)xynDyn2.3 三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质，采用“化零”的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质，化为三角形行列式。例4 计算 级行列式nnxbbDxbbx解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把3第2，3， ， 列加到第1列上，行列式不变，得 n(1)()(1)xnbbbxDxnbbx(1)xxnbbx1000()00bbxxn xb1(1)()nxnbx例5 计算 级行列式412112 1123nn nxaaDxaax 解 将其他各列全部加
3、到第一列，可得1121121121123ni nini nini niniixaaxxaaxax 12112123()1nni ni axaxaax 5121121221321000()0nnii naaxxxaaxa 111()()nni iixx2.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法（也称加边法），加上适当的行列后可以简化问题。 例6 计算 级行列式n.12131naaaDaaaaaan 解 利用加边法.61101210naaDaan 10012110an 将 的第二列乘1，第三列乘2，第 列乘 并都加到第一nD列
4、，可得=100210nknaaDn (1)2!nan2.5 降级法 按行（列）展开将高级行列式化为低级行列式来计算。此方7法适用于某一行（列）含有较多零元素的行列式，应用行列式的展开定理按此行（列）展开。例7 计算 级行列式n.12345162432131n nDn 解 观察行列式的每行之和为定值（1+2+ ），因此将各列加到第一列后，则 12345162()132321n nDn 81234011()2011nnn 由于相邻两行元素比较接近，逐行相减。即第二行减第一行，第 行减第 行得n1n11()21nnn(1)2 11()2 1nnn n (1)(2) 2(1) ()2n nn (1)1
5、2nn2.6 归纳法 9通过计算一些初始行列式 等，找出结果与级数之间123,D的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。例8 计算 级行列式n.cos10.020cos.0.2cos1nD证明 由于 1 22cos;1cos1cos2.2csD3cos10 02scos12cos12cos0D2cos(41)cs3所以当 时，结论成立。 猜想：,3n cos.nD以下用数学归纳法证明当 时已成立。1,23n假设 时的行列式猜想成立，即,knk10。1cos(1),cosk kDkD下证明 时行列式结论也成立。现将按最后一行展开，得n1 12csk kk由归
6、纳假设，12coscos()kDkkinsicssinio(1)kk所以对一切自然数 结论成立。综上所述 cos.nD2.7 递推法 利用行列式的性质，按行（列）展开行列式，使行列式降级，比较原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值 。例9 计算 级行列式n11.1231.n nnayyxDxxayx 解 由行列式性质，按最后一列展开得1231. 0 0n nnayyxDxxayx 1231.nayyxxxayx 1231.00nnyyxaxaxy 123 11.00. ()00.0nnnaxyyxxaayDaxxxy 1211()()nnniiayDay行列式转置
7、同理有 n11()()nnniixDay若 ，解得：xy122()()nni jii jiay若 ，解得：11()()nnni ii iDxaxy2.8 拆分法把行列式的某一行（列）的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。 例10 计算 级行列式n.nxaabDxbx解 将 第一行元素拆为n13.nxaabDxbbxaaxbx0.0xabx（1） 1()()nnaxbaD再将 第一列元素拆为nD().00.nxbaaxbbx.00.xbaaxbx aabxbx14（2）.11()()nnxbDxa联立上述（1），（2）两递推公式 .111
8、()()nn nnaxbxaDD当 时ab()()nnnbxaxb当 时ab.1(1)()nnDxnax15第3章 几类特殊行列式的计算方法3.1 一类常见特殊行列式的值1.奇级数反对称行列式的值为零，即（ 为奇数）1211221200nnnaaa n2.上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即 112120nnaaa 1221200nnaa 12000naa 12na3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即16.11,122,1 00nnnaaa 12,21,10nnnnnaaa 1(1)2, 22,110nnn nnn aa 4.分块三角行列式可化为低级行
9、列式的乘积，即111111*0mmnnnab 1111110*mmnnnab 11111mnmnnaab 1111*0mmnnnab 1111110*mmnnnab 1711111()mnmnnnab 3.2 箭形行列式对于形如 的所谓箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。例11 计算 级行列式n11201010nDn 解 将第 列的 （ ）倍加到第一列得i1i2innD1112020100nn 1()!2n1821()!ni3.3 二条线型行列式对于形如 . ， 的所谓二条线型行列式，首先展开降级，再利用三角或次三角行列式计算。例12 计算
10、级行列式n12110000n nnnxyDxyy 解 将 按第一列展开得n231 100n nxyDyx 12100()0nnyxy 112 2()nn nxy 3.4 三对角行列式对于形如 的所谓三对角行列式，首先按行或列展开后得递推公式，利用变形递推技巧求解。例13 计算 级行列式n.192100021nD 解 将 按第一行展开得n121 00122()012nnD 122nn变形为 1122321nnnnnDDD而 = =1212因此 121()nnDDDn()3.5 范德蒙德（Vandermonde）行列式 20行列式122 211121nnnnaaDaa称为 级的范德蒙德（Vande
11、rmonde）行列式，对任意的n， 级的范德蒙德行列式等于 这 个数所有(2) 12,na可能的差 的乘积。(1)ijain即 1()ijjinDa例14 计算 级行列式n.122 2222121nnnnnnxxDxx 解 注意到 与范德蒙行列式十分接近，构造 级范德蒙行nD1列式211222222221111121() nnnnnnnnnxxfxx .1()()()nijjinxxxx将 按第 列展开得 ()f1n=fx 11,2,1, 1,nnnn nAxAxAx其中 的系数为 1n.(1),1(nn nnD根据范德蒙德行列式的结果求得 的系数为1x,1121()()n nijjinAx
12、x 故有 121()()n nijjinDxxx223.6 行（列）和相等的行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各列（或行）加到第一列（或行）或第 列（或行），然后再化简。例如：上述n例 1，例 4，例 7例15 计算 级行列式110101nD解 的每行元素之和均为 ，将各列之和加到第 列得nDnn110110n nn1101010()12()nn23(2)(1)n3.7 相邻行（列）元素差 1 的行列式计算以数字 为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1,2,n1 的级行列式可以如下计算：自第 1 行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或自第 行（列）开始，后行（列）减去前行n（列），即可出现大量元素为 1 或-1 的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。对于相邻两行（列）元素相差倍数 的行列式，采用前行k（列）减去后行（列）的 倍，或后行（列）减去前行（列）得k倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。k例 16 计算元素满足 的 级行列式 。ijajnnD解 根据题意写出 级行列式n012213204340112n nDn 这是相邻两行（列）元素差 1 的行列式，用前一行减去后一行的方法，得24111111230nDn 再把第一列加到其它各列得 10201220341nnn 12()(1)n
