1、1高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间： 第一部分、基础知识梳理（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹。21,F|21F其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意： 与 （ ）表示双曲线的一支。aPF2|1aP|12|21F表示两条射线； 没有轨迹；|22a|F（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在 轴上x中心在原点，焦点在 轴上y标准方程 )0,(12bayx )0,(12baxy图 形顶 点 )0,(,21aA ),0(,21aB对称轴 轴， 轴；虚轴为 ，实轴为xyb2焦
2、点 ),(,21cF),(,21cF焦 距 )0|12ac离心率 （离心率越大，开口越大）(ea渐近线 xbyxby通 径2ba（3）双曲线的渐近线：专 题 双曲线及其标准方程目 标 掌握双曲线的定义、焦点、离心率；渐进线等概念重 难 点 双曲线的定义和标准方程常 考 点 求双曲线的标准方程；求弦中点的轨迹方程xOF1PB2B1F2xOF1 F2P yA2A12求双曲线 的渐近线，可令其右边的 1 为 0，即得 ，因式分解得到 。12byax 02byax0xyab与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 ；2 2（4）等轴双曲线为 ，其离心率为2tyx（5）常用结论：双曲线 的两个焦点为 ，过 的
3、直线交双曲线的同一支于 两点，)0,(12ba21,F1 BA,线段 AB 的长度为 ,则 的周长= AB2F设双曲线 左、右两个焦点为 ，过 且垂直于对称轴的直线交双曲线于)0,(12bayx 21,1两点，则 的坐标分别是 QP, |PQ第二部分 例题解析考点一：求双曲线的标准方程例 1：讨论 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。19252kyx例 2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。（1）过点 ， 且焦点在坐标轴上。4153，P536，Q（2） ，经过点（ 5，2） ，且焦点在 轴上。6c x（3）与双曲线 有相同焦点，且经过点12yx23，3考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程例 3：
4、已知两点 、 ，求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹。051，F2，例 4：在 中， ，且 ，求点 的轨迹。ABC2ABCsin21isn例 5：求下列动圆圆心 的轨迹方程：M（1）与 内切，且过点 。22yxC： 02，A（2）与 和 都外切。11： 412yxC：（3）与 外切，且与 内切。932： 322：考点三、双曲线定义的运用4例 6、已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线的右支上，且1692yx1F2P，求 的大小。321PF2PF例 7、已知 、 是双曲线 的两个焦点，点 在双曲线上，且满足 ，求1F2142yxP9021PF的面积。21P考点四、中点弦问题具有
5、斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 ， ，代入方(,)xy1(,)2程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例题 8 已知双曲线 ，过 A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及 ，求线段 的xy2P12P12中点 P 的轨迹方程。第三部分 巩固练习5一、选择题：1、设 F、 2分别为双曲线21(0,)xyab 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P，满足21P，且 到直线 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. 340xy B. 35xy C. 43xy D. 540xy2、设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 B，如果
6、直线 F与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）A. B. 3 C. 312 D. 5123、设 O 为坐标原点， 1F， 2是双曲线 xyab（a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足 1FP 260，OP 7，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. x y 0 B. 3xy0C. x 0 D. 2xy04、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线5、已知双曲线21(0,)xyab的一条渐近线方程是 y 3x，它的一个焦点在抛物线24y的准线上，则双曲线的方程为（ ）A
7、. 236108xyB. 2197xC. 2D. 2y6、已知 1F、 2为双曲线 C： 21xy的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1F2 ，则60（ ）PA. 2 B. 4 C. 6 D. 8二、填空题：7、点 0()Axy， 在双曲线2143xy的右支上，若点 A 到右焦点的距离等于 02x，则 _ 8、已知双曲线2ab的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标19y2x6为 ；渐近线方程为 。9、已知双曲线21(0,)xyab的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点与抛物线216y的焦点相同。则双曲线的方程为 。10、若双曲线24 b1（b0）的渐近线方程为 y 12
8、，则等于 。巩固练习 参考答案：1、C 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，进而得出 a 与 b 之间的等量关系，由此可知答案选 C。本题主要考查三角形与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力7的考查，属于中档题。2、D 解析：不妨设双曲线的焦点在 x 轴上，设其方程为： ，)0b,a(1yax2则一个焦点为 ，B（0，b） 。),c(F一条渐近线的斜率为： ，直线 FB 的斜率为：a， ， ，解得 。1)cb(a,c20ac2215ace3、D 解析：本题将解析几何与三角知识相结合，主要考查了双曲线的定义、标准方程、几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角
9、形的解法，属中档题。4、D 解析：本题使用了排除法。轨迹是轴对称图形，因此排除 A、C，轨迹与已知直线不能有交点，故排除 D。5、B 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程，属于容易题。依题意知 ，所以双曲线的方程为27b,9abc63a22 127y9x6、B 本小题主要考查双曲线的定义、几何性质、余弦定理，以及转化的数学思想，通过本题还可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】由余弦定理得cos |PF|2|PF211121| |F|60cos 21211 |PF|2|121 4|P|【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 23|PF|2160sin|F|1360cottbS 222PF1 4|7、2 解析：考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，得到 a2，c6， ，d3redr82x)ca(3x20208、 ,4y9、 12解析：本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。由渐近线方程可知 3ab因为抛物线的焦点为（4，0） ，所以 c4 又 22c联立，解得 ，所以双曲线的方程为12b,a 12y4x10、1解析：由题意知 ，解得 b1。2全 品中考网
