1、 教育科学与管理学院 教育研究方法课程 期末研究报告 学 期： 2016-2017 学年第 一 学期 学 号 ： 1443201000046 姓 名 ： 李秋霖 高中数学必修四教材分析 以三角函数为主 摘要： 三角函数在高中是很重要的一块内容，此教材分析 主要针对 必修四的三角函数和三角恒等变换。从任意三角形推广到周期函数，特殊化到锐角三角形，然后又联系到解三角形，类比了指数函数对数函数，幂函数，联系了物理生物，自然界中的周期现象。第三章从差角余弦公式到和角公式再到倍角公式，最后掌握简单三角恒等变换。 关键词： 正弦函数；余弦函数； 正弦余弦正切公式 一：内容简括 （一） 三角函数 1：任意角
2、，弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。 2： 三角函数 （ 1） 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义。 （ 2） 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx的图像，了解三角函数的周期性。 （ 3） 借助图像理解正弦函数，余弦函数，正切函数的性质（如单调性，最大和最小值，图像与 x 轴交点等）。 （ 4） 理解同角三角函数的基本关系式。 eg： sin2() cos2() 1 1 tan2() sec2() 1 cot2() csc2() （ 5） 结合实例，了解 y=Asin( x+ )的实际意义，能借助计算
3、器或计算机画出 y=Asin( x+ )的图像，观察参数 A，对函数图像变化的影响。 （ 6） 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数的描述周期变化现象的重要函数模型。 3：三角恒等变换 （ 1） 经历用向量的数量积推导出两角差的 余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。 （ 2） 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系。 （ 3） 能运用公式进行简单的恒等变换（包括 引导导出积化和差，和差化积，半角公式）。 二：三角函数分析 （一） 任意角和弧度制 课本从体操转体以及齿轮转动引出正角和负角的概念，加上零角就构成了
4、任意角。因为同一个角度位置可以用不同角的大小来表示，所以就给出了下列几何定义： 一般的，我们有： 所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S= | = +K 360,K Z,即任一与角终边相同的角，都可以表示成为角与整数个周期的和。 因为角可以用单位进行度量， 1 度 =周角的 1/360，这叫角度制 ，为了方便，数学上还引用了弧度制。把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用 rad 表示。一般，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度制是一个负数，零角的弧度数为 0，如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l，那么，角的弧度数的绝对值是 | |=l/r 分析：通过了解任
5、意角和弧度制来引出三角函数概念，这是最基本的内容。接下来 就进入更深一步的学习。 （二）任意角的三角函数以及其诱导公式 引进弧度制时我们看到，在半径长为单位长的圆中，角的弧度制的绝对值等于圆心角所对的弧长，在直角坐标系中，我们称以原点为 圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆，这样我们锐角三角形可以用单位圆定义任意角的三角函数。 如图是对于单位圆的认识 sin y cos x tan xy 分析：通过单位圆可以将很抽象的角度转换到直角坐标系中，用坐标来表示。 而三角函数的正负取决于坐标正负。 图一 这里给一个例题：选择 sin 0, sin 0, cos 0, tan 0 中适应的关系式的序号填空
6、： （ 1） 当角为第一象限角时，是对的 （ 2） 当角为第二象限角时，是对的 （ 3） 当角为第三象限角时，是对的 （ 4） 当角为第四象限角时，是对的 通过对单位圆的认识，课本又引入了三角函数的诱导公式： 分析：三角函数的诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行： 上述步骤体现了由未知转化为已知的化归思想。这也是接下来要掌握的内容的基础。 接下来给出一个关于诱导公式的例题： 已知 sin( 3 ) 2cos( 4 )， 求 52322si n c o ssi n si n （ ） （ ） （ ）的值 【解析】 sin( 3 ) 2cos( 4 )， sin(3 )
7、 2cos(4 ) ， sin 2cos， 且 cos 0. 原式 5 2 5 3 32 2 2 4 4s in c o s c o s c o s c o sc o s s in c o s c o s c o s sin(-) = -sin cos(-) = cos tan (-)=-tan sin(/2-) = cos cos(/2-) = sin sin(/2+) = cos sin(-) = sin cos(-) = -cos sin(+) = -sin cos(+) = -cos tanA= sinA/cosA tan（ /2 ） cot tan（ /2 ） cot tan（ ）
8、tan tan（ ） tan 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 02 的角的三角函数 锐角三角函数 分析：诱导公式的运用很灵活，学生需要多做题，练题，举一反三 （三）三角函数的图像与性质 以及 y=Asin( x+ )的 图象 课本通过抽象的了解三角函数的诱导公式等，再给出正弦函数，余弦函数的图象，使学生更形象的了解三角函数。 下面是函数的图象： 图二 要求： 1、能正确画出 sinyx ， cosyx ， tanyx 的图象 2、给定条件，能够求 sinyx ， cosyx ， tanyx 的定义域、值域、单调区间； 3、给定条件，能够求 sin( )y A x中的 ,A 。 4、掌握
9、正弦余弦函数图象平移法则，区分先平移后伸缩与先伸缩后平移之间的差别。 5、结合图象，会求诸如 13sin22x 的取值范围。 6、会作出含有绝对值的正弦、余弦、正切函数图象。如 sinyx ， sinyx 分析：此两章节 详细的叙述出三角函数的具体性质，这是高中学习的重点，也是高考的重点。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。 三 ：三角恒等变换 两角和与差的正弦，余弦和正切公式 从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦，余弦，正切公式，二倍角的正弦余弦，正切公式，了解它们的内在联系。数学课程标准上说明
10、要求学生能运用上述公式进行简单的恒等变换。 下面是三角函数的推导公式 分析：推导公式的运用是学生学习的难点，这需要学生灵活运用，且 要能自己推导，这一章不仅给出二倍角公式，半角公式，还有一个很重要的考点就是辅助角公式的运用。掌握推导公式和辅助角公式，对于高考题型也就掌握了大部分了。 下面是辅助角公式的具体内容： asin+bcos= sin(a+)，其中 tan=b/a，其终边过点（ a, b） asin+bcos= cos(a-)，其中 tan=a/b，其终边过点（ b,a） 这个公式通常用于特殊角，下列是一些具体事例，让我们从中体会辅助角公式。 化简 （ 1） 13cos sin22xx
11、（ 2） 3sin cosxx =sin（ /6-x） =cos( /3+x) =2sin(x+ /3)=2cos( /6-x) sin(+)=sincos+cossin cos(+)=coscos-sinsin tan(+)=(tan+tan)/(1-tantan) sin2=2sincos cos2=(cos)2-(sina)2=2(cos)2-1=1-(sin)2 tan2=(2tan)/(1-(tan)2) 分析：这两个题都是利用特殊角的正弦余弦值以及推导公式化简的，很灵活，而且都可以化为两种形式。 四：平面向量 平面向量中包含其线性运算河基本定理及坐标表示，还有数量积，因以三角函数为
12、主，这里就不详细叙述。 五：总结 高中必修四 的内容里主要就是叙述了三角函数以及平面向量的知识，我以三角函数为主展开分析它其中的深意以及内容要求。 课本主要先说明各种新有名词，比如任意角弧度制，单位圆等这些都不难，学生也能接受，然后先进入诱导公式的学习，先在代数上使学生熟知如何将任意角转换为锐角三角形：；再来就进入图像的学习，使学生更形象的了解三角函数；后面进入三角恒等变换，要求学生更灵活掌握其运用。但是总体来说，必修四的三角函数内容虽是高考的必考点，但只要熟练掌握它的公式运用，和每一种常考方法，多加练习，对于学生来说，高三后期不作为一个难点。 参考文献 1章建越 .数学必修 4（普通高中课程
13、标准实验教科书） M.北京： 人民教育 出版社 ， 2011 2中华人民共和国教育部 .数学课程标准 M.北京：人民教育出版社， 2012 附录： 三角函数高考真题 一 .选择题 1、（ 2009）函数 22 cos 14yx 是 A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 2 的偶函数 2、（ 2008）已知函数 2( ) (1 c o s 2 ) s in ,f x x x x R ，则 ()fx是（ ） A、最小正周期为 的奇函数 B、最小正周期为 2 的奇函数 C、 最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 2 的偶函数 3.（ 2
14、009浙江文） 已知 是实数，则函数 的图象 不可能 是（ ） 4.(2009山东卷文 )将函数 的图象向左平移 个单位 , 再向上平移 1个单位 ,所得图象的函数解析式是 ( ). A. B. C. D. 5.（ 2009江西卷文） 函数 的最小正周期为 a ( ) 1 sinf x a axsin2yx 422cosyx 22sinyx )42sin(1 xy cos2yx( ) (1 3 tan ) co sf x x xA B C D 6.（ 2009全国卷文）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么的最小值为 A. B. C. D. 7.（ 2008海南、宁夏文科卷） 函数 的最小值和
15、最大值分别为（ ） A. 3， 1 B. 2， 2 C. 3， D. 2， 8.（ 2007海南、宁夏）函数 在区间 的简图是（ ） 二 .填空题 1.（ 2009宁夏海南卷文）已知函数 的图像如图所示，则。 2 32 23cos(2 )yx 4( ,0)3 6 4 3 2( ) cos 2 2 sinf x x x32 32sin 2 3yx 2，( ) 2 sin( )f x x712f 2.（ 2009年 上海卷） 函数 的最小值是 _ . 3.（ 2009辽宁卷文）已知函数 的图象如图所示 ,则 三 .解答题 1、（ 2008）已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 )
16、,f x A x a x R 的最大值是 1，其图像经过点 1( , )32M 。 （ 1）求 ()fx的解析式； （ 2）已知 , (0, )2 ，且 3 12( ) , ( ) ,5 13ff求 ()f 的值。 12、已知函数 ( ) s in s in ( ),2f x x x x R . (I)求 ()fx的最小正周期； (II)求 ()fx的的最大值和最小值； (III)若 3()4f ，求 sin2 的值 . 30.（ 2009北京文）（本小题共 12 分）已知函数 . （）求 的最小正周期； （）求 在区间 上的最大值和最小值 . 22 cos sin 2y x x( ) sin
17、 ( )( 0 )f x x ( ) 2 sin( ) cosf x x x()fx()fx ,6240 （ 2013年高考北京卷（文） 已知函数 . (I)求 的最小正周期及最大值 ; (II)若 ,且 ,求 的值 . 41 已知函数 ,其中常数 . (1)令 ,判断函数 的奇偶性并说明理由 ; (2)令 ,将函数 的图像向左平移 个单位 ,再往上平移 个单位 ,得到函数 的图像 .对任意的 ,求 在区间 上零点个数的所有可能值 . 2 1( 2 c o s 1 ) s in 2 c o s 42f x x x x （ ）fx（ ）( , )2 22f （ ） ( ) 2sin( )f x x 01 ( ) ( ) ( )2F x f x f x 2 ()y f x 6 1()y gx aR ()y gx , 10 aa
