1、 20102725984 王涛 不定方程 论不定方程王涛 20102725984摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 正文：初等数论 是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论。）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。初等数论已经有 2000 年的历史，
2、公元前 300 年，欧 几 里 得 发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。公元前 250 年古希腊数学家埃 拉 托塞 尼 发明了一种筛法。2000 年来，数论学的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素 数 普 遍 公 式 ，为此，人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转古 希 腊 数 学 家 丢 番 图 于 三 世 纪 初 就 研 究 过 若 干这 类 方 程 ， 所 以 不 定 方 程 又 称 丢 番 图 方 程 ， 是 数 论的 重 要 分 支 学 科 ， 也 是 历 史 上 最 活 跃 的 数 学 领 域 之一 。 不 定 方 程 的
3、 内 容 十 分 丰 富 ， 与 代 数 数 论 、 几 何数 论 、 集 合 数 论 等 等 都 有 较 为 密 切 的 联 系 。 1969年 ， 莫 德 尔 较 系 统 地 总 结 了 这 方 面 的 研 究 成 果 。 了指 标 和 估 计 问 题 表 示 论 的 雏 形 。不 定 方 程 是 数 论 中 最 古 老 的 分 支 之 一 。 古 希 腊 的 丢 番 图 早 在 公 元 3 世 纪 就 开 始 研 究 不定 方 程 ， 因 此 常 称 不 定 方 程 为 丢 番 图 方 程 。 Diophantus， 古 代 希 腊 人 ， 被 誉 为 代 数 学 的 鼻 祖 ，流 传
4、下 来 关 于 他 的 生 平 事 迹 并 不 多 。 今 天 我 们 称 整系 数 的 不 定 方 程 为 Diophantus 方 程 ， 内 容 主要 是 探 讨 其 整 数 解 或 有 理 数 解 。 他 有 三 本 著 作 ， 其中 最 有 名 的 是 算 术 ， 当 中 包 含 了 189 个 问 题 及其 答 案 ， 而 许 多 都 是 不 定 方 程 组 (变 量 的 个 数 大 于方 程 的 个 数 )或 不 定 方 程 式 (两 个 变 数 以 上 )。 丢 番图 只 考 虑 正 有 理 数 解 ， 而 不 定 方 程 通 常 有 无 穷 多 解的 。 研 究 不 定 方
5、程 要 解 决 三 个 问 题 ： 判 断 何时 有 解 。 有 解 时 决 定 解 的 个 数 。 求 出 所 有 的 解 。中 国 是 研 究 不 定 方 程 最 早 的 国 家 ， 公 元 初 的 五 家 共井 问 题 就 是 一 个 不 定 方 程 组 问 题 ， 公 元 5 世 纪 的 张 丘 建 算 经 中 的 百 鸡 问 题 标 志 中 国 对 不 定 方 程 理论 有 了 系 统 研 究 。 秦 九 韶 的 大 衍 求 一 术 将 不 定 方 程与 同 余 理 论 联 系 起 来 。 百 鸡 问 题 说 ： “鸡 翁 一 ， 直钱 五 ， 鸡 母 一 ， 直 钱 三 ， 鸡 雏
6、 三 ， 直 钱 一 。 百 钱 买百 鸡 ， 问 鸡 翁 、 母 、 雏 各 几 何 ？ ”。 设 x， y， z 分别 表 鸡 翁 、 母 、 雏 的 个 数 ， 则 此 问 题 即 为 不 定 方 程组 的 非 负 整 数 解 x， y， z， 这 是 一 个 三 元 不 定 方 程组 问 题 。基础知识1不定方程问题的常见类型：（1）求不定方程的解；（2）判定不定方程是否有解；（3）判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。2解不定方程问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（3）同余法
7、：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；（5）无穷递推法。一 次 不 定 方 程二 元 一 次 不 定 方 程 的 一 般 形 式 为 ax+by=c。 其中 a， b， c 是 整 数 ， ab 0。 此 方 程 有 整 数 解 的 充分 必 要 条 件 是 a、 b 的 最 大 公 约 数 整 除 c。 若 a、 b互 质 ， 即 它 们 的 最 大 公 约 数 为 1， (x0， y0)是 所 给方 程 的 一 个 解 ， 则 此 方 程 的 解 可 表
8、为 (x=x0-bt， y=y0+at） |t 为 任 意 整 数 。 S（ 2） 元 一 次 不 定 方 程 的 一 般 形 式 为a1x1+a2x2+asxs=n0a1， ， as， n 为 整 数 ， 且a1as0。 此 方 程 有 整 数 解 的 充 分 必 要 条 件 是a1， ， as 的 最 大 公 约 数 整 除 n。 埃 拉 托 塞 尼 筛 法 产 生 的 素 数 普 遍 公 式 是 一 次 不定 方 程 公 元 前 300 年 ， 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 就发 现 了 数 论 的 本 质 是 素 数 ， 他 自 己 证 明 了 有 无 穷 多个 素 数 ，
9、公 元 前 250 年 古 希 腊 数 学 家 埃 拉 托 塞 尼 发明 了 一 种 筛 法 ： （ 一 ） “要 得 到 不 大 于 某 个 自 然 数 N 的 所 有 素 数 ，只 要 在 2-N 中 将 不 大 于 N 的 素 数 的 倍 数 全 部 划 去即 可 ”。 后 来 人 们 （ 二 ） 将 上 面 的 内 容 等 价 转 换 ： “如 果 N 是 合数 ， 则 它 有 一 个 因 子 d 满 足 1dN”。 （ 基 础 数论 13 页 ， U 杜 德 利 著 ， 上 海 科 技 出 版 社 ） 。 . （ 三 ） 再 将 （ 二 ） 的 内 容 等 价 转 换 ： “若 自
10、然数 N 不 能 被 不 大 于 (根 号 )N 的 任 何 素 数 整 除 ， 则N 是 一 个 素 数 ”。 见 （ 代 数 学 辞 典 上 海 教 育 出 版 社 1985 年 。 屉 部 贞 世 朗 编 。 259 页 ） 。 （ 四 ） 上 面 这 句 话 的 汉 字 可 以 等 价 转 换 成 为 用英 文 字 母 表 达 的 公 式 ： N=p1m1+a1=p2m2+a2=pkmk+ak 。 (1) 其 中 p1， p2， .， pk 表 示 顺 序 素 数2， 3， 5， ,。 a0。 即 N 不 能 是2m+0， 3m+0， 5m+0， .， pkm+0 形 。 若NP（ k
11、+1） 的 平 方 注 ： 后 面 的1， 2， 3， ， k， （ k+1） 是 脚 标 ， 由 于 打 印 不 出 来 ，凡 字 母 后 面 的 数 字 或 者 i 与 k 都 是 脚 标 ， 则 N 是一 个 素 数 。 （ 五 ） 可 以 把 （ 1） 等 价 转 换 成 为 用 同 余 式 组表 示 ： Na1(modp1)， Na2(modp2)，.， Nak(modpk)。 (2) 例 如 ， 29， 29 不 能 够 被 根 号 29 以 下 的 任 何 素数 2， 3， 5 整 除 ， 29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 291(mod2)， 292(mod3)，
12、294(mod5)。 29 小 于7 的 平 方 49， 所 以 29 是 一 个 素 数 。 以 后 平 方 用 “*”表 示 ， 即 ： =m*。 由 于 （ 2） 的 模 p1， p2， ， pk 两 两 互 素 ，根 据 孙 子 定 理 (中 国 剩 余 定 理 ） 知 ， （ 2） 在p1p2.pk 范 围 内 有 唯 一 解 。 例 如 k=1 时 ， N=2m+1， 解 得 N=3， 5， 7。 求得 了 （ 3， 3*） 区 间 的 全 部 素 数 。 k=2 时 ， N=2m+1=3m+1， 解 得N=7， 13， 19； N=2m+1=3m+2， 解 得N=5， 11， 1
13、7， 23。 求 得 了 （ 5， 5*） 区 间 的 全 部素 数 。 k=3 时 , -| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.| -|-|-|-|-| n=2m+1=3m+1= |-31-|-7, 37-|-13,43|-19-| n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|-23-|-29-| - 求 得 了 （ 7， 7*） 区 间 的 全 部 素 数 。 仿 此 下 去可 以 求 得 任 意 大 的 数 以 内 的 全 部 素 数 。 二 次 不 定 方程二次不定方程二 元 二 次 不 定 方 程 本 质 上 可 以 归 结 为 求 二 次 曲线
14、（ 即 圆 锥 曲 线 ） 的 有 理 点 或 整 点 问 题 。 一 类 特 殊 的 二 次 不 定 方 程 是 x2+y2=z2， 其正 整 数 解 称 商 高 数 或 勾 股 数 或 毕 达 哥 拉 斯 数 ， 中 国 周 髀 算 经 中 有 “勾 广 三 ， 股 修 四 ， 经 隅 五 ”之 说 ，已 经 知 道 （ 3， 4， 5） 是 一 个 解 。 刘 徽 在 注 九 章算 术 中 又 给 出 了 （ 5， 12， 13） ， （ 8， 15， 17） ， （ 7， 24， 25） ， （ 20， 21， 29） 几 组 勾 股 数 。 它 的全 部 正 整 数 解 已 在 16
15、 世 纪 前 得 到 。 这 类 方 程 本 质上 就 是 求 椭 圆 上 的 有 理 点 。 另 一 类 特 殊 的 二 次 不 定 方 程 是 所 谓 佩 尔 方 程x2 Dy2=1， D 是 非 平 方 的 正 整 数 。 利 用 连 分 数 理论 知 此 方 程 永 远 有 解 。 这 类 方 程 就 是 求 双 曲 线 上 的有 理 点 。 最 后 一 类 就 是 平 方 剩 余 问 题 ， 即 求 x2-py=q的 整 数 解 ， 用 高 斯 的 同 余 理 论 来 描 述 ， 就 是 求x2q(mod p) 的 剩 余 类 解 。 高 斯 发 现 的 著 名 二 次互 反 律 给
16、 出 了 次 方 程 是 否 有 解 的 判 定 方 法 。 这 类方 程 就 相 当 于 求 抛 物 线 上 的 整 点 。 圆 锥 曲 线 对 应 的 不 定 方 程 求 解 可 以 看 做 椭圆 曲 线 算 术 性 质 的 一 种 特 例 。（二）高次不定方程（组）及其解法1因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2同余法：如果不定方程 有整数解，则对于任意 ，其整数解 满足 ，利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4无限递降法：若关于正整数
17、的命题 对某些正整数成立，设 是使 成立的最小正整数，可以推出：存在 ，使得 成立，适合证明不定方程无正整数解。方法与技巧：1因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理，分解法作为解题的一种手段，没有因定的程序可循，应具体的例子中才能有深刻地体会；2同余法主要用于证明方程无解或导出有解的必要条件，为进一步求解或求证作准备。同余的关键是选择适当的模，它需要经过多次尝试；3不等式估计法主要针对方程有整数解，则必然有实数解，当方程的实数解为一个有界集，则着眼于一个有限范围内的整数解至多有有限个，逐一检验，求出全部解；若方程的实数解是无界的，则着眼于整数，利用整数的各种性质产生
18、适用的不等式；4无限递降法论证的核心是设法构造出方程的新解，使得它比已选择的解“严格地小 ”，由此产生矛盾。（三）特殊的不定方程1利用分解法求不定方程 整数解的基本思路：将 转化为 后，若 可分解为，则解的一般形式为 ，再取舍得其整数解；2定义 2：形如 的方程叫做勾股数方程，这里 为正整数。对于方程 ，如果 ，则 ，从而只需讨论 的情形，此时易知 两两互素，这种两两互素的正整数组叫方程的本原解。定理 3.勾股数方程 满足条件 的一切解可表示为：，其中 且 为一奇一偶。推论：勾股数方程 的全部正整数解（ 的顺序不加区别）可表示为：其中 是互质的奇偶性不同的一对正整数， 是一个整数。勾股数不定方
19、程 的整数解的问题主要依据定理来解决。3定义 3.方程 且不是平方数)是的一种特殊情况，称为沛尔 (Pell)方程。这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程 的研究，其中 都是整数，且非平方数，而 。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的 可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述 pell 方程有正整数解 ，则称使 的最小的正整数解 为它的最小解。定理 4.Pell 方程 且不是平方数)必有正整数解 ，且若设它的最小解为 ，则它的全部解可以表示成：.上面的公式也可以写成以下几种形式：（1） ；（2） ；（3） .定理 5.Pell 方程 且不是平方数)要么无正整数解，要么有无
20、穷多组正整数解 ，且在后一种情况下，设它的最小解为 ，则它的全部解可以表示为定理 6. （费尔马（Fermat）大定理）方程为整数 )无正整数解。费尔马（Fermat ）大定理的证明一直以来是数学界的难题，但是在 1994 年 6 月，美国普林斯顿大学的数学教授 A.Wiles 完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。典例分析例 1求不定方程 的整数解。解：先求 的一组特解，为此对 37，107 运用辗转相除法：， ， 将上述过程回填，得：由此可知， 是方程 的一组特解，于是 ， 是方程 的一组特解，因此原方程的一 切整数解为： 。例 2求不定方程 的所有正整数解。解：用原方程中的最小系数 7 去除方程的各项，并移项得：因为 是整数，故 也一定是整数，于是有，再用 5 去除比式的两边，得 ，令 为整数，由此得 。经观察得 是最后一个方程的一组解，依次回代，可求得原方程的一组特解： ，所以原方程的一切整数解为： 。参 考 文 献 ：
