1、江西省上犹中学11动点轨迹问题专题讲解一专题内容：求动点 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标 之间的关系式，首先要分析(, )Pxy , xy形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉（2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点 是随另一个在已知曲线 ：(, )PxyC上的动点 的变化
2、而变化，且 能用 表示，即(,)0Fxy0(, )Mxy0, , xy， ，则将 代入已知曲线 ，化简后即为所求的0 fg0, ()0F轨迹方程（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率 等） ，分别求出动点坐标 与参数的关k, xy系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可（5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系） 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二相关试题训练（一）选择、填空题1 （ ）已知 、 是定点， ，动点 满足 ，则动点1F212|8FM12|8F的轨迹是 （A）椭圆 （B
3、）直线 （C）圆 （D）线段M2 （ ）设 ， ， 的周长为 36，则 的顶点 的轨迹方程是(0,5)(,)NPNP（A） （ ） （B） （ ）2169xyx21469xy0x（C） （ ） （D） （ ）25023与圆 外切，又与 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；24xyy4P 在以 、 为焦点的双曲线 上运动，则 的重心 G 的轨迹方程1F2269x12FP是 ；江西省上犹中学225已知圆 C： 内一点 ，圆 C 上一动点 Q， AQ 的垂直平2(3)16xy(3, 0)A分线交 CQ 于 P 点，则 P 点的轨迹方程为 214xy6ABC 的顶点为 、 ， ABC 的内切圆圆心在直线 上
4、，则顶(5, 0)A(, )B3点 C 的轨迹方程是 ； （ ）2196xyx变式：若点 为双曲线 的右支上一点， 、 分别是左、右焦点，则P2196xy1F2的内切圆圆心的轨迹方程是 ；12F推广：若点 为椭圆 上任一点， 、 分别是左、右焦点，圆 与线段2159xy12 M的延长线、线段 及 轴分别相切，则圆心 的轨迹是 ；1P2PFM7已知动点 到定点 的距离比到直线 的距离少 1，则点 的轨迹方程M(3,0)A40x是( )21y8抛物线 的一组斜率为 的平行弦的中点的轨迹方程是 2yxk( （ ）)4kx89过抛物线 的焦点 作直线与抛物线交于 P、Q 两点，当此直线绕焦点 旋转2y
5、xF F时，弦 中点的轨迹方程为 PQ解法分析：解法 1 当直线 的斜率存在时，PQ设 PQ 所在直线方程为 与抛物线方程联立，(1)ykx消去 得 2(),4ykx22240xk设 ， ， 中点为 ，则有1(,)P2(,)QyP(,)My江西省上犹中学33消 得 21,().xkyk2(1)yx当直线 的斜率不存在时，易得弦 的中点为 ，也满足所求方程PQPQ(,0)F故所求轨迹方程为 2(1)yx解法 2 设 ， ，1(,)2,由 得 ，设 中点为 ，124.yx121212()4()yyxPQ(,)Mxy当 时，有 ，又 ，1212xPQMFyk所以， ，即 y2()y当 时，易得弦 的
6、中点为 ，也满足所求方程12xP1,0故所求轨迹方程为 2()yx10过定点 作直线交抛物线 于 A、B 两点, 过 A、B 分别作抛物线 C 的(, 4):C2yx切线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为_ 4（二）解答题1一动圆过点 ，且与圆 相内切，求该动圆圆心 的轨迹方(0, 3)P22(3)10xy程（定义法）2过椭圆 的左顶点 作任意弦 并延长到 ，使 ，21369xy1A1EF1|EA为椭圆另一顶点，连结 交 于点 ，AOF2P求动点 的轨迹方程P（直接法、定义法；突出转化思想）3已知 、 是椭圆 的长轴端点， 、 是椭圆上关于长轴 对称的两1A221xyabPQ12A F 1A
7、 2A xy PEO江西省上犹中学44点，求直线 和 的交点 的轨迹 （交轨法）1PA2QM4已知点 G 是ABC 的重心， ，在 轴上有一点 M，满足(0,1) (,ABx， |MC R（1）求点 C 的轨迹方程；（ 2）若斜率为 的直线 与点 C 的轨迹交于不同两点 P、Q，且kl满足 ，试求 的取值范围|APQk解：（1）设 ，则由重心坐标公式可得 (,)xy(,)3xyG ，点 在 轴上， GMB 0M ， ， ，即 |AC(0,1)22()1()33xxy213xy故点 的轨迹方程为 （ ） （直接法）2xy（2）设直线 的方程为 （ ） ， 、 ， 的中点为 lkb11(,)Pxy
8、2(,)QPN由 消 ，得 2,3.ykxby22(13)630xkb ，即 260kb21又 ， ，1223x1212226()313kbyxk 22(,)kbN ， ， ，即 ，|APQNP1ANk213bk ，又由式可得 ， 且 213kb20bb 且 ，解得 且 204213k1k3故 的取值范围是 且 k3江西省上犹中学555已知平面上两定点 、 ， 为一动点，满足 (0,2)M(,)NPMPN（）求动点 的轨迹 的方程；（直接法）PC（）若 A、B 是轨迹 上的两动点，且 过 A、B 两点分别作轨迹 的切线， C设其交点为 ，证明 为定值Q解：() 设 由已知 ， ， ,(,)Px
9、y(,2)MPxy(0,4)N(,2)Pxy48MN，3 分22()xy ，P 48y22()xy整理，得 即动点 的轨迹 为抛物线，其方程为 PC28xy6已知 O 为坐标原点，点 、 ，动点 、 、 满足 （(1,0)E(,)FAMN|AEmF） ， ， ， 求点 M 的轨迹 W 的方程1mMNAF2OA/E解： ， ，0() MN 垂直平分 AF又 ， 点 M 在 AE 上，/AE ， ，|2mEF|AMF ，|2| 点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 ，半焦距 ，am1c 221bac 点 M 的轨迹 W 的方程为 （ ） 21xym7设 ， 为直角坐标系内 轴正
10、方向上的单位向量，若向量,xyR,ij,， ， 且 (2)ai(2)bxiyj|8ab江西省上犹中学66（1）求点 的轨迹 的方程；（定义法）(,)MxyC（2）过点 作直线 与曲线 交于 、 两点，设 ，是否存在这样的0,3lABOPAB直线 ，使得四边形 是矩形？若存在，求出直线 的方程，若不存在，试说明理lOAPBl由解：（1） ；216xy（2）因为 过 轴上的点 若直线 是 轴，则 两点是椭圆的顶点l(0,3)ly,AB，所以 与 重合，与四边形 是矩形矛盾OPABPOP故直线 的斜率存在，设 方程为 ， ll3ykx12(,)(,)yx由 消 得 此时23,16ykxy2(4)80
11、, 恒成立，且 ，22(8)()kk0122843kx，12243x，所以四边形 是平行四边形OPABOAPB若存在直线 ，使得四边形 是矩形，则 ，即 l 0OAB，12(,)(,)xyxy 210AB即 12()3()9kxx ，得 2228)443k02516k54k故存在直线 ： ，使得四边形 是矩形l5yxOAPB8如图，平面内的定点 F 到定直线 l 的距离为 2，定点 E 满足： =2，且 于|FElG，点 Q 是直线 上一动点，点 M 满足： ，点 P 满足： ，l Q/江西省上犹中学770PMFQ（I）建立适当的直角坐标系，求动点 P 的轨迹方程；（II）若经过点 E 的直线
12、 与点 P 的轨迹交于相异两点 A、B，令 ，当1l F时，求直线 的斜率 的取值范围34k解：（1）以 的中点 为原点，以 所在直线为 轴，建立FGOEFy平面直角坐标系 ，设点 ，xoy(,)Pxy则 ， ， (0, )(, 3)E:1l ， ， ， FMQ/F(,)x(, 0)2xM ， ，P()2y即所求点 的轨迹方程为 4x（2）设点 )(,),(2121yBA设 AF 的斜率为 ，BF 的斜率为 ，直线 的方程为kk1l3kxy由 6 分 y42 01242kx得7 分 121xkx 9)4(21212xy8 分64)(12 )(),(, 2122 xFBAyFByA841921k
13、x)(|1y又 16491)( 22212 kky10 分464|cos 22kFBA由于 11 分43 21cos12即江西省上犹中学88解得 13 分224kk 448k或直线 斜率 k 的取值范围是1l ,8|4或9如图所示，已知定点 ，动点 在 轴上运动，过点 作 交 轴于点 ，(1, 0)FPyPMx并延长 到点 ，且 ， MPN|MN（1）求动点 的轨迹方程；（2）直线 与动点 的轨迹交于 、 两点，若 ，且 ，lAB4OAB6|430AB求直线 的斜率 的取值范围k解：（1）设 ，由 得 ，(,)Nxy|PN(,0)x， ， ，(0, )2P2M1,2yF又 ， ，即动点 的轨迹
14、方程为F04yx24yx（2）10已知点 ，点 在 轴上，点 在 轴上， 为动点，满足 ，(0, 1)FMxNyP0MNFMNP（1）求 点轨迹 的方程；E（2）将（1）中轨迹 按向量 平移后得曲线 ，设 是 上任一点，过 作(0, 1)aEQQ圆 的两条切线，分别交 轴与 、 两点，求 的取值范围2()1xyxAB|A解：（1）设 、 、 ，则 、 、, 0M(, )Nb(,)Py(,)MNab(, 1)Fa()Pxay由题意得 ，, (, 1)0,().bxay20, xaby214x故动点 的轨迹方程为 P24（2）11如图 和 两点分别在射线 、 上移动，且 ，(,3)Am(,3)Bn
15、OST12OABxyoMNPF江西省上犹中学99为坐标原点，动点 满足 OPOAB（1）求 的值； （2）求 点的轨迹 的方程，并说明它表示怎样的曲线？mn C（3）若直线 l 过点 交（ 2）中曲线 于 、 两点，且 ，求 的方(, 0)EMN3ENl程解：（1）由已知得 ，1(,3)(,)2ABmnmn 14mn（2）设 P 点坐标为 （ ） ，由 得(,)xy0OPAB，(,),3)(,)xyn(,3()mn 消去 ， 可得 ，()m24yx又因 ， P 点的轨迹方程为 14n21(0)3x它表示以坐标原点为中心，焦点在 轴上，且实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线x的右支23yx（3）设
16、直线 l 的方程为 ，将其代入 C 的方程得2ty即 ，2()3ty2(31)90tyt易知 （否则，直线 l 的斜率为 ，它与渐近线平行，不符合题意）210又 ，2246()()0ttt设 ，则12(,),MxyN12129,33tyyt l 与 C 的两个交点 在 轴的右侧,21212112()()4xtyttyty，93403ttt ，即 ，又由 同理可得 ，20t212x213t由 得 ， MEN12(,)3(,)yy12()xyO A P B x y 江西省上犹中学1010由 得 ，1222133tyy2631ty由 得 ，9()tt消去 得 考虑几何求法！2y2236(1)tt解之
17、得： ，满足 5t 103故所求直线 l 存在，其方程为： 或 520xy1520xy12设 A，B 分别是直线 和 上的两个动点，并且 ，动y|2AB点 P 满足 记动点 P 的轨迹为 CO（I） 求轨迹 C 的方程；（II）若点 D 的坐标为（ 0， 16） ，M、N 是曲线 C 上的两个动点，且 ，求实DMN数 的取值范围解：（I）设 ，因为 A、B 分别为直线 和 上的点，故可设(,)Pxy25yx25yx， 1125(,)A225(,)x ， OPB12,()5yx 12,5xy又 ， 20A2114()0x 即曲线 C 的方程为 54yx56y（II） 设 N（ s，t） ，M（x
18、， y） ，则由 ，可得（x，y-16）= (s，t-16)DN故 ， x16()t M、N 在曲线 C 上， 1.6)1t(25s,22江西省上犹中学1111消去 s 得 16)1t(16)t(22由题意知 ，且 ，解得 075t又 ， 解得 （ ） 4t425731故实数 的取值范围是 （ ） 3113设双曲线 的两个焦点分别为 、 ，离心率为 2213yxa1F2（1）求此双曲线的渐近线 、 的方程；（ ）1l23yx（2）若 A、B 分别为 、 上的动点，且 ，求线段 AB 的中点 M 的轨迹1l2 12|5|ABF方程，并说明是什么曲线 （ ）23175xy提示： ，又 ， ，221
19、1|0()0AB113yx22yx则 ， 12213()yx21123()yx又 ， 代入距离公式即可1212（3）过点 是否存在直线 ，使 与双曲线交于 、 两点，且 ，若(, 0)NlPQ0OP存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由 （不存在）l14已知点 ，直线 ，设动点 P 到直线 的距离为 ，已知 ，(1, )F:2lxld2|Fd且 （1）求动点 P 的轨迹方程；23d（2）若 ，求向量 与 的夹角；POOF（3）如图所示，若点 G 满足 ，点 M 满2C足 ，且线段 MG 的垂直平分线经过点MFP，求PGF 的面积lxy CG FOPM江西省上犹中学121215如图，直线 与
20、椭圆 （ ）交于 A、B 两点，以:1lykx2:Caxy1aOA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB（O 为坐标原点） （1）若 ，且四边形 OAPB 为矩形，求 的值；（ ）k 3（2）若 ，当 变化时（ ） ，求点 P 的轨迹方程 （aR（ ） ）20xyy16双曲线 C： （ ， ）的离心率为 2，其中 ，21xab0ab(0,)Ab，且 （1）求双曲线 C 的方程；(, 0)B2224|3OABAOB（2）若双曲线 C 上存在关于直线 ： 对称的点，求实数 的取值范围l4ykxk解：（I）依题意有：解得： 22c,a4b,3c. .2,3,1cba所求双曲线的方程为 6 分.132y
21、x（）当 k=0 时，显然不存在7 分当 k0 时，设双曲线上两点 M、N 关于直线 l 对称由 lMN，直线 MN 的方程为则 M、N 两点的坐标满足方程组1yxbk由 消去 y 得2,3.9 分2(k1)xb(3)k0显然 ，20 22()4(1)()即 2kb3江西省上犹中学1313设线段 MN 中点 D（ ）则0x,y02kb,31.D（ ）在直线 l 上，0x,y 即 223kb412kb=31把带入 中得 ，2+0解得 或 b0 或 23k123k1-即 或 ，且 k032k 的取值范围是 14 分313(,)(,0)(,)217已知向量 =(2，0) ， = =(0，1)，动点
22、M 到定直线 y =1 的距离等于 d，OACAB并且满足 =K( -d2)，其中 O 为坐标原点，K 为参数.M（）求动点 M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（）如果动点 M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率 e 满足 e ，求实数 K 的32取值范围.18过抛物线 的焦点作两条弦 、 ，若 ，24yxABCD0， 1()OAB1()2ON（1）求证：直线 过定点；（2）记（1）中的定点为 ，求证 为钝角；MQAB（3）分别以 、 为直径作圆，两圆公共弦的中点为 ，求 的轨迹方程，并指出CDH轨迹是什么曲线19 （05 年江西）如图， 是抛物线上 上的一点，动弦 、 分别交 轴于2yxMEFx、
23、 两点，且 （1）若 为定点，证明：直线 的斜率为定值；ABAB（2）若 为动点，且 ，求 的重心 的轨迹M90EFEFG江西省上犹中学1414思路分析：（1）由直线 （或 ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点 F 和点MFE的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用 点的坐标将 、 点的坐标表示出来，进而E E表示出 点坐标，消去 即得到 的轨迹方程（参数法）.G0yG解：（1）法一：设 ，直线 的斜率为 （ ） ，2(,)k0则直线 的斜率为 ，方程为 MFk200()yxy由 ，消 得 ，2002()yxyx201k解得 ， ，01Fky20(1)Fky (定值)00220014(1)()2E
24、FF kk ykyx所以直线 的斜率为定值法二：设定点 ， 、 ，0(,)M1(,)x2(,)F由 得 ，即 ；同理 201,yx010101yy01MEky021MFky ， ，即 ， ABMEFk01022所以， （定值） 1212120EFyyxy第一问的变式：过点 作倾斜角互补的直线 ME、MF，则直线 EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦（2） 直线 ME 的方程为90,45,MABk当 时 所 以 200()ykxy由 得202yxy200(1),Ey同理可得 200(),.F设重心 G（x, y） ，则有22220000(1)()333MEFyyxy x y O A B E F M 江西省上犹中学1515消去参数 得 0y212()973x20如图， 是边长为 2 的正方形纸片，沿某动直线 为折痕将正方形在其下方的部ABCDl分向上翻折，使得每次翻折后点 都落在边 上，记为 ，折痕 与 交于点 ，点BADBlAE满足关系式 ME（1）建立适当的直角坐标系，求点 的轨迹方程；M（2）若曲线 是由点 的轨迹及其关于边 对称的曲线组成的， 是 边上的一点，FB，过点 的直线交曲线 于 、 两点，且 ，求实数 的取值范4BAFCPQQ围
