1、 导学案：函数、导数及其应用 - 1 -第一节 函数及其表示1函数概念题型一：函数的概念映射的基本条件：1. 可以多个 x 对应一个 y，但不可一个 x 对应多个 y（n 对 1）2. 每个 x 必定有 y 与之对应，但反过来，有的 y 没有 x 与之对应。 （A 中不能剩，B 中可以剩）3. A 为函数定义域，值域只是 B 的一个子集。函数是一种特殊的映射，必须是数集和数集之间的对应。例 1：已知集合 P= ，Q= ，下列不表示从 P 到 Q 的映射是（ ）40x20A. fxy= x B. fxy= C. fxy= D. fxy=2x31x32x例 2：下列各组函数中，函数 与 表示同一函
2、数的是 )(fg（1） ， ； （2） 3 1， 3 1；)(f)(gx)(f)(tg（3） ， 1； （4） ， ；x0 x2x2题型二：函数的表示法1. 解析式法例 3：已知函数 .32,04tan,2xf f则练习：已知函数 ，且 ，则 （ ）12,()log()1xf()3fa(6)fa（A） （B） （C） （D）745434142. 图象法例 4：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s看作时间t的函数，其图像可能是_练习：向高为 H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 24 所示，那么水瓶的形状是（
3、 ）3.表格法stOAstOstOstOB C D导学案：函数、导数及其应用 - 2 -例 5：已知函数 ()fx， g分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则 g的值为 ；满足 ff的 的值是 二函数的三要素题型一：求函数定义域问题1.求有函数解析式的定义域问题1）偶次根式内部大于或等于零2）分母不为零3）对数函数真数大于零4）零次方根底数不为零5）正切函数 ,2kZ例 6：求函数 的定义域.yx2log32016)(练习：函数 的定义域为（ ）5()4|l3xf A B C D2,3(,4(2,3),4(1,3)(,62.求抽象函数的定义域问
4、题例 7：（1）若函数 的定义域是1，4，则 的定义域是 y)xf y)1xf（2）若函数 的定义域是1，4，则 的定义域是_.12(练习：若函数 的定义域是1，2，则 的定义域是 323.已知函数定义域的求解问题例 8：如果函数 的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是 .34)(2kxxf变式：已知函数 1m的值域是 0,)，则实数 m的取值范围是_注：遇到实际问题考虑实际情况。题型二：求函数的解析式.1、待定系数法例 1：已知 是二次函数，若 且 试求 的表达式。()fx(0),f(1)(1fxfx()fx导学案：函数、导数及其应用 - 3 -小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可
5、设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。类似的已知 f(x)为一次函数时，可设 f(x)=ax+b(a0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)= (k0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设一般式顶点式双根式kx练习：1、已知(x)是一次函数,且满足 3(x+1)-2(x-1)=2x+17,求(x).2、 已知函数 是一次函数，且fx43,().fxfx求2、换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。例 2
6、：已知 求 的解析式。 (1)21,fxx()f练习题：1、若 则 ；2(1),fxx(1)f2、已知 ，求 f(x)；2f导学案：函数、导数及其应用 - 4 -3、已知 ，求 ；2(1)34fx()fx3、配凑法已知复合函数 的表达式，要求 的解析式时，若 表达式右边易配成 的运()fgx()fx()fgx()gx算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。例 3：已知 求 的解析式。(1)2,f()f总结：求函数解析式时，可以用配凑法来解决的，有些也可直接用换元法来求解。练习题：1、已知函数 ，则 ；21)(xf )(xf2、已知 求 .21,x4、消元法，此方法的实质是解函数
7、方程组。例 4：设 满足 求 的解析式。()fx1()2,ffx()f导学案：函数、导数及其应用 - 5 -小结：消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数，如 f(x)、 ；互为相反数，如 f(x)、1()fxf(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得 f(x)的解析式。练习题：1、已知 满足 ，求 ()fx12()3fx()f2、 满足： ，求()fx()2)32ffx()fx3、 1()()(),(),.fxgxfxgfxg设 为 偶 函 数 ， 为 奇 函 数 ， 又 求5、赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。其方法：将适当变量取特殊值，使问题
8、具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。例 5： 设函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(xy)f(x)f (y)(1)求 f(0)与 f(1)的值；(2)求证： f( ) f(x)；1x(3)若 f(2) p， f(3) q(p， q 都是常数)，求 f(36)的值导学案：函数、导数及其应用 - 6 -题型三：函数值域的求法大全1、求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f(x) (xR，且 x1) ，g(x)x 22(xR).11 x(1)求 f(2)，g(2) 的值；(2) 求 fg(3)的值.练习：1.已知函数 f(x) . (1)求 f(2)；(2)求 ff
9、(1).x 1x 22.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x1) f (x)1，f (0)1，则 f(5)_.2、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法（5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法 （11）平方法等等1)利用常见函数的值域来求（直接法）例 1 求下列函数的值域 y=3x+2(-1 x 1) （记住图像） ）（ 3x12)(xf xy1例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ； ； ；14xy
10、4,312xy 1,042xy ；5,0142xy2) 单调性法例 3 求函数 y=4x 的值域。x31练习：求函数 y=3+ 的值域。(答案：y|y3)x4导学案：函数、导数及其应用 - 7 -2)换元法例 4 求函数 的值域 xy12练习：1.求函数 y= 的值域。 （答案：y|y3/4x12.求函数 的值域),0(239xyx例 5 （三角换元法）求函数 的值域21xy4)平方法例 6 （选）求函数 的值域xxy535)分离常数法 例 7 求函数 的值域21xy练习1）求函数 的值域； 2）求函数 的值域；3）求函数 y= 的值域；6412xy 1xy 12x6)图像法 例 7 求 的值域13xy导学案：函数、导数及其应用 - 8 -练习： 的值域 1yx,17）复合函数法（换元） 例 8 求函数 的值域xy2318）反解法 例 9 函数 的值域12xy练习：求函数 y= 的值域12x9）不等式法 例 10(选) 求函数 的值域)1(22xxy变式：求函数 的值域)2(12xxy10）判别式法 例 11 求函数 的值域12xy练习：求函数 的值域321xy
