1、 1 / 30初中因式分解的常用方法特色专题详解一、提公因式法.如多项式 ),(cbamcba其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用)(,2223baba写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： bnma例 2、分解因式： bxyax51022 / 30对应练习：分解因式 1、 2、bca2 1yx（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2例 4、分解因式： 22cba3 / 30对应练习：分解因式 3、 4、yx3922yzx22综合练习：（1） （2 ）323yx baxba
2、x2（3 ） （4）186922 ayx aba491262（5 ） （6 ）9234a ybxyax2244 / 30（7 ） （8）22yzxy 122aba（9 ） （10）)1()2(my )2()(abca（11） （12 ）abccabca2)()()(222 abc33四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3 ）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： 652x5 / 30例 6、分解因式： 672x对应练习 5、分解因式 (1) (2) (3)2
3、412x36152a542x对应练习 6、分解因式 (1) (2) (3)2x152y24102x（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a1（2 ） 1c2c（3 ） 12b121ab分解结果： =cxa2 )(21cxa例 7、分解因式： 06 / 30对应练习 7、分解因式：（1 ） （2）6752x2732x（3） （4）31702x1062y（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 228ba对应练习 8、分解因式 (1) (2) (3)223yx286nm26ba（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、2267yx 232x
4、y7 / 30对应练习 9、分解因式：（1 ） （ 2）224715yx862ax综合练习 10、（ 1） （2）17836x 22151yx（3 ） （4 ）10)(3)(2yx 34)(2ba（5 ） （6 ）2265xyx 263422 nmnm（7 ） （8）34242 yxxy 222 )(10)(3)(5baab8 / 30（9 ） （10）1036422yxyx 222 )()(1)( yxxyx思考：分解因式： abcxabcx)(22五、主元法.例 11、分解因式： 2910322yxxy对应练习 11、分解因式 (1) (2)5642yx 6722yxyx9 / 30(3)
5、 (4)613622yxyx 365622 baba六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对 型多项式的分解因式。FEyDxCyBxA22条件：（1） ， ，21a1c1fF（2 ） ， ，cf2fa121即： 1112a2c2f， ，B11 E11 Dfa121则 FyDxCyxA22 )( 2fcxycxa例 12、分解因式（1） 90322（2） 616yxyx10 / 30对应练习 12、分解因式（ 1） （2）6722yxyx227376zzyx七、换元法。例 13、分解因式（1） 205)1205(xx（2） 63)(1对应练习 13、分解因式（ 1） )(4)( 222 yxy
6、x11 / 30（2 ） （3 ）90)384)(23(2 xx 222)3(4)5()1( aa例 14、分解因式（1） 26234xx观察：此多项式的特点是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。对应练习 14、（ 1） （2）6737624xx )(2134xx12 / 30八、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） 432x对应练习 15、分解因式（ 1） （2 ）893x 424)1()()1(xx（3 ） （4 ）1724x 221axx13 / 30（5 ） （6 ）44)(yx 44222 cbacab九、待定系数
7、法。例 16、分解因式 613622yxyx例 17、（ 1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多m652ymx项式。（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值。823bxa1ba14 / 30对应练习 17、（ 1）分解因式 2910322yxxy（2 ）分解因式 675232 yxxy（3 ）已知： 能分解成两个一次因式之积，求常数 并且分pyxyx146322 p解因式。（4 ） 为何值时， 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此k 25322yxkxy多项式。15 / 30初中阶段因式分解的常用方法（例题再详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
8、因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式 ),(cbamcba其中 m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式二、运用公式法.运用公式法，即用)(,2223baba写出结果三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： bnma分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= )()(bnma= 每组之间还有公因式！ n= )
9、(思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。例 2、分解因式： bxyax5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。16 / 30解：原式= 原式=)5()102(bxyax )510()2(byabxa= =y5y= =)(5)(练习：分解因式 1、 2、bca2 1x（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： ayx2分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式= )()(2ayxyx=
10、= )(例 4、分解因式： 22cba解：原式= )(= 2)cba= )(注意这两个例题的区别！练习：分解因式 3、 4、yx3922yzx22综合练习：（1） （2 ）323yx baxbax217 / 30（3 ） （4）186922 ayx aba491262（5 ） （6 ）9234a ybxyax224（7 ） （8）22yzxy 122aba（9 ） （10）)1()2(my )2()(abca（11） （12 ）abccabca2)()()(222 abc33四、十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx特点：（1）二次项
11、系数是 1；（2）常数项是两个数的乘积；（3 ）一次项系数是常数项的两因数的和。例 5、分解因式： 652x分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有 23 的分解适合，即 2+3=5。 1 2解： = 1 3 652x)3(2x18 / 30= 12+13=5)3(2x用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： 672x解：原式= 1 -1 )()(1x= 1 -6 )(（-1）+ （-6） = -7练习 5、分解因式(1) (2) (3
12、)2412x3652a542x练习 6、分解因式(1) (2) (3)212y02（二）二次项系数不为 1 的二次三项式 cbxa2条件：（1） 2a1（2 ） 1c2c（3 ） 12b121ab分解结果： =cxa2 )(21cxa例 7、分解因式： 032分析： 1 -23 -5 （-6）+（-5）= -11解： =102x)53(2x练习 7、分解因式：（1 ） （2）6752732x（3） （4 ）2x10y19 / 30（三）二次项系数为 1 的齐次多项式例 8、分解因式： 2218ba分析：将 看成常数，把原多项式看成关于 的二次三项式，利用十字相乘法进行分b解。1 8b1 -16
13、b 8b+(-16b)= -8b解： =228ba)16(8)16(bab= )(练习 8、分解因式(1) (2) (3)223yx2nm2a（四）二次项系数不为 1 的齐次多项式例 9、 例 10、2267yx 232xy1 -2y 把 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=)3)(yx)2(1xy练习 9、分解因式：（1 ） （2 ）24715yx86a综合练习 10、（ 1） （2）17836x 22151yx（3 ） （4 ）0)()(2yx 34)(ba（5 ） （6）225xyx 26342
14、2 nmnm20 / 30（7 ） （8 ）34242 yxxy 222 )(10)(3)(5baab（9 ） （10）1036422yxyx 222 )()(1)( yxxyx思考：分解因式： abcxabcx)(22五、主元法.例 11、分解因式： 5 -2910322yxxy解法一：以 为主元 2 -1 x解：原式= (-5)+(-4)= -9)()(2 yy= 1 -(5y-2)513x= 1 (2y-1) )2()(= -(5y-2)+(2y-1)= -(3y-1)y解法二：以 为主元 1 -1y解：原式= 1 2 )2()93(102xx= -1+2=1yy= 2 (x-1)()(
15、2xx= 5 -(x+2) 251= 5(x-1)-2(x+2)=(3x-9)(y练习 11、分解因式 (1) (2)642x 6722yy21 / 30(3) (4)613622yxyx 365622 baba六、双十字相乘法。定义：双十字相乘法用于对 型多项式的分解因式。FEyDxCyBxA22条件：（1） ， ，21a1c1fF（2 ） ， ，cf2fa121即： 1112a2c2f， ，B11 Ec11 Dfa121则 FyDxCyxA22 )( 2fcxyxa例 12、分解因式（1） 90322（2） 616yxyx解：（1） 12应用双十字相乘法： xy5221， ，xyxy35y
16、945x2原式 = )(（2 ） 6162yxyx应用双十字相乘法： 3xy32， ，2y1394x22 / 30原式 = )23)(2(yx练习 12、分解因式（ 1） 67yx（2） 22276zzyx七、换元法。例 13、分解因式（1） 205)1205(xx（2） 63)(1解：（1）设 2005= ，则原式 =aaxx)(2= )(x= 051205（2 ）型如 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。eabcd原式= 222)6)(7( xxx设 ，则A65A7原式 = =2)(x2x= =2)6练习 13、分解因式（ 1） )(4( 22yxyx（2 ） （3）90)84
17、)3(22 x 22)3(45(1aa例 14、分解因式（1） 26234xx观察：此多项式的特点是关于 的降幂排列，每一项的次数依次少 1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。23 / 30方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。解：原式= =)162(2xx6)1()(2x设 ，则t12t原式 = =6)2x（ 10x= =5t 252x= =12xx122x= )()1(2（2） 14234解：原式= =21xx 142xx设 ，则y2y原式= =342x31x= =)(1( 122x练习 14、（1） （2）673764xx )(234x八、添项、拆
18、项、配方法。例 15、分解因式（ 1） 423x解法 1拆项。 解法 2添项。原式= 原式=23x 43xx= =)1(3)1)(x )()(2= =2x 1)xx= =)4)(4(2= =21 )124 / 30（2 ） 369x解：原式= )1()()1(9x= )1()(33363 xx= )(3x= )2)(162练习 15、分解因式（ 1） （2 ）893 424)1()(1(xx（3 ） （4 ）1724x 221axx（5 ） （6 ）44)(yx 44222 cbacab九、待定系数法。例 16、分解因式 613622yxyx分析：原式的前 3 项 可以分为 ，则原多项式必定可
19、分为)2(yx)(nmyx解：设 =613622yx )(nm =)(3(yx myx2322 =22yxyx)()(对比左右两边相同项的系数可得 ，解得6132mn32n25 / 30原式 = )32)(3(yx例 17、（ 1）当 为何值时，多项式 能分解因式，并分解此多m652ymx项式。（2）如果 有两个因式为 和 ，求 的值。823bxa1ba（1 ）分析：前两项可以分解为 ，故此多项式分解的形式必为)(yx)(yxa解：设 =652ym)(ba则 =xy ayxx2比较对应的系数可得： ，解得： 或65ab132mb当 时，原多项式可以分解；1m当 时，原式= ；)3)(2(yx当
20、 时，原式=（2 ）分析： 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此823bxa第三个因式必为形如 的一次二项式。c解：设 =23x )(2)1(cx则 =8bax233 ，解得 ，82c417cba =21ba练习 17、（1）分解因式 2910322yxxy（2 ）分解因式 675232 yxxy26 / 30（3 ）已知： 能分解成两个一次因式之积，求常数 并且分pyxyx146322 p解因式。（4 ） 为何值时， 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此k 25322yxkxy多项式。27 / 30补充：一定要记住的公式大全：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平
21、方公式：a22abb2(ab）2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的 2 倍。 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a33a2b3ab2b3=(ab)3 公式：a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)*十字相乘法初步公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) *（可不记）十字相乘法通用公式：如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么kx2+mx+n=(
22、ax+b)(cx+d)因式分解方法（重要：因式分解法的结果一定是多个因式相乘）：方法一：分组分解法步骤类型一 分组后能直接提取公因式1.分组后能直接提取公因式 2.提完公因式之后，每组之间应该还可以提公因式（此时，应注意观察）。类型二 分组后能直接运用上面的公式方法二： （当用方法一不行时，这时可考虑用十字相乘法） 十字相乘法.（一）二次项系数为 1 的二次三项式类型一 直接利用公式 进行分解。)()(2 qxpqxpx类型二 *十字相乘法通用公式：如果有 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d) 总结：不管用什么方法，最后的结果都是由多个因
23、式相乘了，因此，当自己解完题后不是因式相乘了，那么应该反回去再检察题目，看看能不能用其他的方法来解决该题目。28 / 30因式分解巩固练习（精选）练习一 分组分解法类型一（用两种方法来解）1. 2.bnmabxyax51023. 4.ayx2 1yx练习二 分组分解法类型二5. 6.ayx2 22cba7. 8. yx3922 yzx2229 / 30练习三 十字相乘法9. 10.652x 672x11. 12.1032x 2267yx综合练习1. 3232015yxyx 2. 2322913yxzyx3.3432xy4.2236)(1)(zyxyx5.a2-b2-2b-1 6.(a-b)2-1-2c(a-b)+c27.a6-10a3+16 8. 223yxyx30 / 30答案：1. 2. 或 3.)(banm)2(5bayx)5(yx)(bac4. 5 6. 7.1yx）（ )(x)(c13)(yx8.(x+y+z)(x-y-z) 9. 10. 11.3x61x52综合练习答案1. )431(522yxy2. )42(2y3. )14)(23yy4.(x+y-6z)2 5.(a-b-1)(a+b+1) 6.a-b-c+1)(a-b-c-1) 7.( a3-2)(a-2)(a2+2a+4)8. )1)(
