1、1中考数学复习专题几何论证题中辅助线的添加方法例 1：如图：等腰梯形 ADBC 中 ABCD ，底角ABC=45 0对角线 AC、BD 交于点 O，且BOC=120 0求： 的值BCAD分析：在已知条件中，底角ABC=45 0，有的同学想到延长两腰，出现一个等腰直角三角形。而在本题中这样添辅助线，反而增加解题困难，因为 BOC=120 0 的条件不能很好的运用。故本题添辅助线时，应考虑过上底顶点D（或 A）作对角线的平行线，把梯形问题转化为平行四边形及顶角为 1200 的等腰三角形问题，而解等腰三角形时，常添的辅助线是作底上的高，这样不难求 的比值。BC证明：过 D 点作 DFAC 交 BC
2、的延长线于 F，作 DEBC 于 EADBC AD=CFACDF AC=DFACF平 行 四 边 形等腰梯形 ABCD DB=AC BD=DFACDF BDF=BOC=120 0 DEBFBDE=60 0 BE=EF BE=EF=a3BED=90 0 设 aDEDEBC aCEaADCF)13(BCD=45 0 EF= 3EB)(2.32)13(aBCAD例 2： 如图：已知直线 PQ 是线段 AB 的中垂线，C 是 OQ 上的任意一点，若 ODBC是 于 D，M 是 OD 的中点求证：CMAD分析：在已知条件中，PQ 是线段 AB 的中垂线，同学们肯定想到连结 AC运用线段中垂线性质，但证明
3、此题这样的添线与其它已知条件的应用没有多大关系，这种添线不能解答本题，而图中出现“母子三角形” ，使我们想到能否运用三角形相似及线段成比例来解本题。而要证 CMAD，从图中观察到如能证得1= A ，那么 CMAD 即可成立；而A 除了在 RtAON 中，它还在AOD 中，若把1 也放到与AOD 相似的三角形中，结论就可成立。因此构筑一个与AOD 相似的三角形是本题解答的关键。而已知条件 M 是 OD 的中点，想到增添中点（或添平行线）的方法，故取 OC 的中点为 G，想法证明AOD CGM。通过基本图形分析， 发现2= 3，故AOD=CGM 。因此证： 是本题又一关键。GMCODA证明：取 O
4、C 的中点为 G，连 GM,PQ 是 AB 的中垂线 ,BOC=90 0 设 OA=OB=a，OD=b .ODBC,CDO= ODB=90 04+3=90 0， 3+B=90 0 .4=B ，CODOBD . ，G、M 为 OC、OD 的中点.baODC3OC=2CG ，CD=2GM ，AODCGM .ODAbaBGMC21=A.A+ANO=90 01+CNH=90 0即NHC=90 0，CMAD.例 3：如图：正方形 ABCD 中，E、F 分别 AB、BC 的中点，AF 和 DE 交于点 P求证：CP=CD图（1） 图（2）分析：要证明 CP=CD，因为 CP、CD 在同一三角形中，一般三种
5、思路可证：思路（1）：只要证对角相等，即证1=2。如图（1）分别寻找1、2 的等量，ABCD 是正方形，ABCD，2=AEP，1= ？，延长 CP 交 AB于 G，1=EPG。要证1、2 只要证AEP=EPG，由已知可知，E、F为 AB、BC 的中点可证： AEDBFA ，可得 AFDE，P 为垂足。假设AEP=EPG，G 可能为 AE 的中点，因此证 PG 为 AE 的中线是本思路证题的关键。本题出现“母子”三角形基本图形故不难，推得 ，设 PEAED21为 a，PA 为 2a，PD 为 4a，因为 AECD，可推得 PE:PD=EG:CD=1:4。由此可证得 G 为 AE 的中点，PG 是
6、 AE 的中线，AEP=EPG 成立。从分析的过程中得到思路（2） ， CPBAEPGCDEP,421,4思路（3）：要证 CP=CD，只要证：C 在线段 PD 的中垂线上，取 AD 的中点，4连 CH、PH，证：四边形 AFCH 为平行四边形，由思路（ 1）可知，AFDE，故 CHDE，再证：CH 平分 PD，通过 RtAPO 易证 CH 平分 PD。证明方法（1）：E、F 为 AB、BC 的中点，ABCD 是正方形，AB=AD， B=DAE，BF=AEADE BAF ，ADE=EAPEAP+DAP=90 0，ADE+ DAP=90 0，APD=APE=90 0，ADE=EAP，APEDPA
7、， aPEADE为设,21 ，ABCDaDaP4, 1:2，BCG,41G 为 AE 的中点，PG=EGGEP=GPE，GPE=1，GEP= 21= 2， CP=CD证明方法（2） （如图 2）：取 AD 的中点为 H，连 CH、PHABCD 是正方形，BC AD ，BC=AD ，F、H 为 BC 、AD 的中点，CF AH ， CF=AH，AFCH 为平行四边形 .CHAF，由证明方法（1）可知 APDE ，故 CHP.在 Rt APO 中，PH 为斜边中线， ，CH 垂直平分 PD，CP=CD.DHAP2例 4：O 1 与O 2 相交于点 A，P 是 O1O2 的中点5（1）如图（1）如果
8、 AC 切O 2 于点 A，交O 1 于点 C，D 是 AC 的中点求证：PA=PD（2）如图（2）如果过点 A 作两圆的一条割线交 O1 于点 C，交O 2 于点 B，点 D 是 BC 的中点，那么 PA 与 PD 是否相等？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。图（1） 图（2）分析（1）：由已知可知，P 为 O1O2 的中点，D 为 AC 的中点，AC 切于O 2 于点 A。想到常用辅助线，连 O1D、O 2A，由 O1DAC，O 2AAC，得O1DO 2A ，作 PGO 2A 可证得 G 为 AD 中点，PG 垂直平分 AD，可证得PA=PD分析（2）：通过观察发现 PA=PD
9、，理由是什么？由已知条件，分别作O1EAC，PHBC ，O 2FAB，P 为 O1O2 的中点，所以 H 为 EF 中点，要证：PD=PA，只要证：DH=AH，现在只要证 DE=AF，因为 DE=CDCE，AF=EFAE，因为 CE=AE，所以证 CD=EF 是本题的关键，而 ，BCD21所以只要证 即可。BC21证明（1）：在图（1）中连 O1D、O 2A，作 PGO 2AD 为 AC 中点， O 1DAC.AC 切于O 2 于点 A，O 2AAC.6O 2AO 1DPGP 为 O1O2 的中点,G 为 AD 的中点，且 PGAD.PA=PD.证明（2）：作 O1EBC 于 E，PHBC 于
10、 H，O 2FBC 于 F,O 1EPHO 2.P 为 O1O2 的中点,H 为 EF 的中点，E 为 AC 的中点， F 为 AB 的中点.,BCABACF21)(212 ,BCD1CD=EF，AF=EFAE，DE=CDCE.AF=DE.EH=PH,DH=AH，PHAD.PA=PD.从以上四例中，你是否有所收益，拿到几何题以后，应认真分析已知条件找出证题中有用的隐含条件，当直接用已知条件论证发生困难时，想到各题中隐含的常用辅助线，化繁就简，化难为易，在添辅助线时，切记要随题意，要充分运用每个已知条件。有的在关键点上添辅助平行线，有的需增添线段中点，有的需倍长中线，有的只要延长某条线段等等，不要硬性添作，把简单的问题复杂化，反而误导论证思路。希望我的分析给同学带来启发。
