1、第 1 页（共 20 页）八年级数学上尖子生全等三角形及轴对称提优试题及详细解析 一选择题（共 1 小题）1如图，Rt ACB 中，ACB=90，ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P，过P 作 PFAD 交 BC 的延长线于点 F，交 AC 于点 H，则下列结论：APB=135；BF=BA；PH=PD；连接 CP，CP 平分ACB，其中正确的是（ ）A B C D二解答题（共 8 小题）2如图（1） ，点 O 是等边 ABC 内一点，将AOB 绕点 A 逆时针旋转 60得ADC，连接 OD（1）求证：DOA 是等边三角形；（2）如图（2） ，当AOB=150时，判断COD 的形状，并说
2、明理由；（3）如图（3） ，当AOB=110时，探究：当COB 为多少度时，COD 是等腰三角形3如图所示，BAC=ABD=90，AC=BD，点 O 是 AD，BC 的交点，点 E 是 AB的中点（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE 和 AB 的位置关系，并给予证明第 2 页（共 20 页）4在ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B，C 重合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧作 ADE ，使 AD=AE，DAE=BAC，连结 CE（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，如果BAC=90，则BCE= （2）设BAC=，BCE=如图 2，当点
3、 D 在线段 BC 上移动时， ， 之间有怎样的数量关系？请说明理由当点 D 在直线 BC 上移动时， ， 之间有怎样的数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论5如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E在ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME求证：MEBC6如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速移动，点
4、 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 CBC 作匀速移动，点 G 从点 B 出发沿 BD 向点 D 匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动（1）试证明：AD BC第 3 页（共 20 页）（2）在移动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有 DEG 与BFG 全等的情况出现，请你探究当点 G 的运动速度取哪些值时，DEG 与BFG 全等7如图，在ABC 中， ACB=90，AC=BC，PCQ=45，把PCQ 绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 ADCP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E（1）如图，当PCQ 在ACB 内部
5、时，求证：AD +BE=DE；（2）如图，当 CQ 在ACB 外部时，求证：ADBE=DE ；（3）在（1）的条件下，若 CD=18，S BCE =2SACD ，求 AE 的长 （直接写结果）8已知ABC ，分别以 AB、AC 为边作ABD 和 ACE，且AD=AB，AC=AE，DAB=CAE，连接 DC 与 BE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点（1）如图 1，DG BF（用、或= 填空）（2）如图 2，连接 AG，判断 AFG 的形状，并说明理由；（3）如图 3，若DAB=100，则AFG= ；（4）在图 3 中，若DAB= ，AFG= ，直接写出 与 的关系第 4 页（共 20 页
6、）9ABC 中，射线 AD 平分 BAC，AD 交边 BC 于 E 点（1）如图 1，若 AB=AC，BAC=90，则 ；（2）如图 2，若 ABAC，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若 ABAC，BAC=BDC=90 ，ABD 为锐角，DHAB 于 H，则线段 AB、AC、BH 之间的数量关系是 ，并证明第 5 页（共 20 页）2018 年 10 月 03 日陆枳彤的初中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 1 小题）1如图，Rt ACB 中，ACB=90，ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P，过P 作 PFAD 交 BC 的延长
7、线于点 F，交 AC 于点 H，则下列结论：APB=135；BF=BA；PH=PD；连接 CP，CP 平分ACB，其中正确的是（ ）A B C D【解答】解：在ABC 中，ACB=90，BAC+ABC=90，又AD、BE 分别平分BAC、ABC，BAD+ABE= （BAC+ABC）=45，APB=135，故正确BPD=45，又PFAD，FPB=90+45=135 ，APB=FPB，又ABP= FBP，BP=BP ，ABPFBP ，BAP=BFP，AB=FB，PA=PF，故正确第 6 页（共 20 页）在APH 和FPD 中，APH=FPD=90，PAH=BAP= BFP ，PA=PF，APHF
8、PD ，PH=PD，故正确ABC 的角平分线 AD、BE 相交于点 P，点 P 到 AB、AC 的距离相等，点 P 到 AB、BC 的距离相等，点 P 到 BC、AC 的距离相等，点 P 在ACB 的平分线上，CP 平分ACB ，故正确故选：D二解答题（共 8 小题）2如图（1） ，点 O 是等边 ABC 内一点，将AOB 绕点 A 逆时针旋转 60得ADC，连接 OD（1）求证：DOA 是等边三角形；（2）如图（2） ，当AOB=150时，判断COD 的形状，并说明理由；（3）如图（3） ，当AOB=110时，探究：当COB 为多少度时，COD 是等腰三角形第 7 页（共 20 页）【解答】
9、 （1）证明：AOB 绕点 A 逆时针旋转 60得ADC，AO=AD，OAD=60，DOA 为等边三角形；（2）解：COD 为直角三角形理由如下：AOB 绕点 A 逆时针旋转 60得ADC ，ADC=AOB=150 ，DOA 为等边三角形，ADO=60 ，ODC=ADCADO=15060=90，COD 为直角三角形；（3）解：DOA 为等边三角形，AOD=60 ，ADC=AOB=110 ，ADO=60 ，ODC=ADCADO=11060=50，当 OD=OC 时， OCD=ODC=50，则DOC=18050 50=80，所以BOC=360AOBAODDOC=360110 6080=110；当
10、CO=CD 时， DOC= OCD=50，所以BOC=360AOB AOD DOC=3601106050=140；当 DO=DC 时，DOC=DCO，则DOC= （18050 ）=65，所以BOC=360第 8 页（共 20 页）AOBAODDOC=360 1106065=125；综上所述，当COB 为 110或 125或 140时，COD 是等腰三角形3如图所示，BAC=ABD=90，AC=BD，点 O 是 AD，BC 的交点，点 E 是 AB的中点（1）图中有哪几对全等三角形？请写出来；（2）试判断 OE 和 AB 的位置关系，并给予证明【解答】解：（1）ABCBAD ，AOEBOE，AO
11、CBOD；（2）OEAB理由如下：在 RtABC 和 RtBAD 中，ABCBAD （SAS） ，DAB=CBA ，OA=OB，点 E 是 AB 的中点，OEAB4在ABC 中，AB=AC，点 D 是直线 BC 上一点（不与 B，C 重合） ，以 AD 为一边在 AD 的右侧作 ADE ，使 AD=AE，DAE=BAC，连结 CE（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，如果BAC=90，则BCE= 90 （2）设BAC=，BCE=如图 2，当点 D 在线段 BC 上移动时， ， 之间有怎样的数量关系？请说明第 9 页（共 20 页）理由当点 D 在直线 BC 上移动时， ， 之间有怎样的
12、数量关系？请你在备用图上画出图形，并直接写出你的结论【解答】解：（1）DAE=BAC，BAC= BAD+DAC= EAC+DAC；CAE=BAD；在ABD 和 ACE 中，ABD ACE（SAS） ；B= ACE；BCE=BCA+ACE= BCA+B=180 BAC=90；故答案为 90；（2）由（1）中可知 =180，、 存在的数量关系为 +=180；当点 D 在射线 BC 上时，如图 1，同（1）的方法即可得出，ABDACE （SAS） ；ABD=ACE ，= BCE=ACB+ACE=ACB+ABD=180BAC=180，+=180；当点 D 在射线 BC 的反向延长线上时，如图 2，第
13、10 页（共 20 页）同（1）的方法即可得出，ABDACE （SAS） ；ABD=ACE ，= BCE=ACEACB=ABDACB= BAC=，=5如图，ABC 中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是 D，AE 平分BAD，交 BC 于点 E在ABC 外有一点 F，使 FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在 AB 上取一点 M，使 BM=2DE，连接 MC，交 AD 于点 N，连接 ME求证：MEBC【解答】证明：（1）BAC=90，AFAE，1+EAC=90 2+EAC=901=2，又AB=AC，B= ACB=45，FC BC，FCA=90ACB=90 45=45，B=
14、 FCA，第 11 页（共 20 页）在ABE 和ACF 中，ABEACF（ASA） ，BE=CF；（2）如图，过点 E 作 EHAB 于 H，则BEH 是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45，AE 平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM 是等腰直角三角形，MEH=45，BEM=45 +45=90，MEBC6如图，在四边形 ABCD 中，AD=BC=4，AB=CD，BD=6，点 E 从 D 点出发，以每秒 1 个单位的速度沿 DA 向点 A 匀速移动，点 F 从点 C 出发，以每秒 3 个单位的速度沿 CBC 作匀速移动，点 G 从点 B 出发
15、沿 BD 向点 D 匀速移动，三第 12 页（共 20 页）个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动（1）试证明：AD BC（2）在移动过程中，小明发现当点 G 的运动速度取某个值时，有 DEG 与BFG 全等的情况出现，请你探究当点 G 的运动速度取哪些值时，DEG 与BFG 全等【解答】 （1）证明：在ABD 和CDB 中，ABD CDB，ADB=CBD，ADBC；（2）解：设运动时间为 t，点 G 的运动速度为 v，当 0t 时，若 DEGBFG，则 ， ， ，v=3；若DEGBGF，则 ， ， （舍去） ；当 t 时，若DEGBFG ，则 ， ，第 13 页（共 20
16、 页） ，v= ；若DEGBGF，则 ， ， ，v=1综上，点 G 的速度为 3 或 或 17如图，在ABC 中， ACB=90，AC=BC，PCQ=45，把PCQ 绕点 C 旋转，在整个旋转过程中，过点 A 作 ADCP，垂足为 D，直线 AD 交 CQ 于 E（1）如图，当PCQ 在ACB 内部时，求证：AD +BE=DE；（2）如图，当 CQ 在ACB 外部时，求证：ADBE=DE ；（3）在（1）的条件下，若 CD=18，S BCE =2SACD ，求 AE 的长 （直接写结果）【解答】解：（1）如图，延长 DA 到 F，使 DF=DE，CDAE，第 14 页（共 20 页）CE=CF
17、，DCE=DCF=PCQ=45，ACD+ACF=DCF=45 ，又ACB=90 ，PCQ=45，ACD+BCE=90 45=45，ACF=BCE ，在ACF 和 BCE 中， ，ACF BCE（SAS） ，AF=BE，AD+BE=AD+AF=DF=DE ，即 AD+BE=DE；（2）如图，在 AD 上截取 DF=DE，CDAE，CE=CF，DCE=DCF=PCQ=45，ECF=DCE+DCF=90 ，BCE+BCF= ECF=90，第 15 页（共 20 页）又ACB=90 ，ACF+BCF=90，ACF=BCE ，在ACF 和 BCE 中，ACF BCE（SAS） ，AF=BE，AD=AF+
18、DF=BE+DE ，即 ADBE=DE；（3）DCE= DCF=PCQ=45，ECF=45+ 45=90，ECF 是等腰直角三角形，CD=DF=DE=18，S BCE =2SACD ，AF=2AD，AD= 18=6，AE=AD+DE=6+18=248已知ABC ，分别以 AB、AC 为边作ABD 和 ACE，且AD=AB，AC=AE，DAB=CAE，连接 DC 与 BE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点（1）如图 1，DG = BF （用、或=填空）（2）如图 2，连接 AG，判断 AFG 的形状，并说明理由；（3）如图 3，若DAB=100，则AFG= 40 ；第 16 页（共 20
19、页）（4）在图 3 中，若DAB= ，AFG= ，直接写出 与 的关系【解答】解：（1）DAB=CAE，DAB+BAC=CAE+BAC，DAC=BAE在ADC 和ABE，ADCABE（SAS） ，DC=BE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点，DG= CD，BF= BE，DG=BF；故答案为：=；（2）如图 2，连接 AG，ADCABE，CD=BE， ADC=ABE，G、F 分别是 DC 与 BE 的中点，DG= CD，BF= BE，DG=BF，第 17 页（共 20 页）在ADG 与 ABF 中， ，ADG ABF，AG=AF，AFG 是等腰三角形；（3）如图 3，连接 AGADCABE
20、，ADC=ABEAD=ABG、F 分别是 DC 与 BE 的中点，DG= DC，BF= BE，DG=BF在ADG 和 ABF 中，ADG ABF（SAS） ，AG=AF，DAG=BAF，AGF= AFG ，DAGBAG=BAF BAG，DAB=GAFDAB=100 ，GAF=100GAF+AFG+AGF=180，AFG=40；故答案为：40 ；第 18 页（共 20 页）（4）DAB=a，GAF=aGAF+AFG+AGF=180，a +2=1809ABC 中，射线 AD 平分 BAC，AD 交边 BC 于 E 点（1）如图 1，若 AB=AC，BAC=90，则 = ；（2）如图 2，若 ABA
21、C，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3，若 ABAC，BAC=BDC=90 ，ABD 为锐角，DHAB 于 H，第 19 页（共 20 页）则线段 AB、AC、BH 之间的数量关系是 AB AC=2BH ，并证明【解答】解：（1）AB=AC，AD 平分BAC ，BE=CE AB=AC， ， = 故答案为：=；（2）成立，证明：作 EHAB 于 H，EQAC 于 Q，ANBC 于 N，则 EH=EQ，设AB=c，AC=b ，BE=m ，EC=n，EH=h 1，AN=h 2，SABE：SAEC= h1c h1b=c：b ，SABE： SAEC= h2m
22、 h2n=m：n，c：b=m：n，即 = ；（3）ABAC=2BH理由：作 DQAC 交 AC 的延长线于 Q，Q=90DH AB，AD 平分BAC，DH=DQ，AHD=90 ， HAD=CADAHD=Q在AHD 和AQD 中，AHDAQD（AAS ） ，第 20 页（共 20 页）AH=AQBAC=90 ，AHD= Q=90，四边形 AHDQ 是矩形，HDQ=90BDC=90，HDQ=BDC，HDQHDC=BDC= HDC，CDQ=BDH在DHB 和DQC 中DHBDQC （AAS） ，BH=CQ，AB BH=AH，AB BH=AQ，AB BH=AC+CQ，AB AC=2BH故答案为：ABAC=2BH
