1、aaaaa 32132132132131213213231312 称为三阶行列式.事实上行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，所以对于二阶行列式和三阶行列式计算公式可以用对角展开来记，如图2.8，其中实线连接的无素乘积前用负号.三阶行列式的计算也可以用降阶的方法来计算； aaa321331223213231312 利用三阶行列式，我们可以把向量积写成行列式形式，如果， ，则)(azyx（ )(bzyx（bazyxkjiba在上述行列式中，将 ， ， 看成是一般的参数，按行列式计算方ijk法计算即可.直接计算（或者通过 4.2 节的行列式性质 4.2.1，性质4.2.2，可以得到向量积的如下
2、性质：性质 4.2.3 设 ， ， ，是空间的任意向量， 是实数，则abcc（bacbijkikji)()4)()3)2(1；，例 2.2.11 设 ，求同时垂直于 ， 的单位量.)123()1(， ba ab解 由向量积的定义知 kjikjiba53123同时垂直于 ， ，所以 (3,5,1)就是要求的单位向量.ab5)(0ba例 2.2.12 已知 ABC 的顶点 A（1，2，3） ，B （3，4，5， ） ，C（ 2， 4，7， ） ，求ABC 的面积和角 A 的正弦.解 .264123),(2kjikjiACBSABC = ,4.32sini ACBA例 2.2.13 证明恒等式 .)
3、()()( acbacba证明 设 则， )()()( 321321321 cba), ,)( 2323113 32312112ccba cbaba ).( )(),( ,(.)(3213 32132122 321cbac 所以 .()cbcba注意：上面的公式通常称为二重向量积展开式，我们也可以不用向量的坐标，而直接用向量的积来证明（请看补充题 2.2）.从这个公式可以看出，向量积不满足结合律，就是说，一般 ).()(cba向量的混合积定义 2.2.14 设 为三个向量，定义混合积 =a321， a321， .)21(a3如果 则可以得到),11(zyx),22(zyx),33(zyx（2）
4、零向量 0 的公解式是唯一的；（3）把 ， 任意公成两组 ， 与,21vr ,2vil jt（s+t=r）,则有,2jljt（ ） （ ）=0；iil2isiil2jt（4）设 的一个基为 （1ir）,则 是vi ,ijil的一个基； r21（5） .dimidi)dim( 2121 vvvrr 这个定理的证明与 r=2 的情形基本一样，这里就不再重复了 .习题 6.5习题 6.5.1 设 M（R）是全体实函数所成的实数域上的线性空间，W 1 是全体偶函数所成的子集，W 2 是全体厅函数所成的子集，证明：W 1 与 W2 是 M（R）的子空间，且 M（R）= W 1 W2. +习题 6.5.2
5、 设 W1 与 W2 分别是齐次线性方程组 与0xn的解空间.证明 Rn= W1 W2,这里 R 是实数域.xn21 +习题 6.5.3 如果 ，而 ，证明： .v21vvv21习题 6.5.4 试用几何空间的例子来说明：若 U，V ，Y 是子空间，且满足条件 U V=X， ，是否必有 + X?)()(6.6 线性空间的同构定义 6.6.1 数域 F 上两个线性空间 V 与 称为同构，如果存在一个由 V 到 的又射 ，它具有性质：/ WV :（1） ;,)()( （2） .Fkk,这样的映射 称为线性空间 V 与 的同构映射，记作 . V由定义可以看出同构映射有如下性质： );()()()(2
6、;(),0)1 2121 rrr kkkka 、3、V 中向量 ， 线性相关的充分必在条件是 中的对应r（ V量 线性相关；)()()21r（4、如果 是线性空间 V 到线性空间 的同构映射，则V；Vdimi5、同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘积仍是同构映射.这 5 条很容易证明的，作为习题留给读者自己来做.定理 6.6.2 数域 F 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们的维数相同.证明 必要性上面已有，现证充分性。设 是线性空间 V 的一个基，,21anB是线性空间 的一个基，下面我们就来找一个 V,1 到 的同映射.V我们取 V 到 的这们一个映射：使关于基 B 与 有相同坐
7、标的向量 相对应，即， nn xxx21221:为双射是显然的.我们来证明 具有定义 6.6.1 中所述性质.任取 ，且设V,nxyx21则 nny)()()( 2211 按 的定义，同样可证 ，故 是同构映射，即 V 到 同构.)()(k 在线性空间的抽象讨论中，同构的线性空间都有相同的代数性质，因而对于同构的线性空间没有必在再加以区别，我们可以把同构的线性空间看作是同一个空间.因此，定理 6.6.2 说明了，维数是有限维线性空间唯一的本质特征.特别，每一个数域 F 上 n 维线性空间都与 Fn 同构，而同构的空间有相同的性质，所以，我们以前所得到的关于有序 n 元数组的向量空间的一些结果，在一般的线性空间中也是成立的，而不必一一重新证明.
