1、高一物理万有引力定律测试题（一）一定律内容（公式 ）及适用条件2rMmGF例 1 如图所示，阴影区域是质量为 M、半径为 R 的球体挖去一个小圆球后的剩余部分，所挖去的小圆球的球心和大球体球心间的距离是 ，求球2体剩余部分对球体外离球心 O 距离为 2R、质量为 m 的质点 P 的引力.例 1分析：万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点，至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的，故可用补偿法，将挖去的球补上.解析 将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点 P 的引力：2214)(RGMmF半径为 的小球的质量 MRR8134)
2、2()2(34 补上小球对质点 1 的引力： 22250)(RGmF因而挖去小球的阴影部分对质点 P 的引力： 2221 1034M二.综合运用牛顿定律、万有引力和匀速率圆周运动求解天体的运动的问题（1）星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法例 2据报道,美国航空航天管理局计划在 2008 年 10 月发射“月球勘测轨道器” (LRO),LRO 每天在 50km 的高度穿越月球两极上空 10 次.若以 T 表示 LRO 在离月球表面高 h 处的轨道上做匀速圆周运动的周期,以 R 表示月球的半径,求: (1)LR0 运行时的向心加速度 a; (2)月球表面的重力加速度 g.(2)例 2.解：(
3、1)由 a=r 得 24()hT(2)设月球质量为 M，万有引力恒量为 G，LRO 的质量为 m,根据牛顿定律 2()maRh由万有引力定律得 2g由得 234()RhgT此类题型经常以抛体运动出现：例 3某星球质量约为地球质量的 9 倍，半径为地球半径的一半，若从地球表面高 h 处平抛一物体，射程为 60m，则在该星球表面上，从同样高度以相同大小的初速度平抛同一个物体，射程应为（ ） A、10m; B、15m; C、90m; D、360m;例 4在地球某处海平面上测得物体自由下落高度 所需的时间为 ，到某高山顶测得物体ht自由落体下落相同高度所需时间增加了 ，已知地球半径为 ，求山的高度。t
4、R（2）卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系例 4解：在海平面，由自由落体运动规律，有 21gth（1）2RGMm（2）在某高山顶，由自由落体运动规律，有 1)(tgh（3）（4）2)(hRGMmg由以上各式可以得出， Tt例 5已知地球半径 R 6.410 6m，地面附近重力加速度 g =9.8 m/s2，计算在距离地面高为 h210 6m 的圆形轨道上的卫星做匀速率圆周运动的线速度 v 和周期 T.例 5分析：根据万有引力提供其做圆周运动的向心力 求解.hRmMG22)(解析 卫星做圆周运动的向心力是它与地球间的万有引力，即知 hRvmMG22)( hGM 1由地球表面附近万有引力近似
5、等于重力，即 得mgR22g 2由 两式可得： 1 2m/s6662 1024.8.910. hRgv=6.9103m/s运动周期： vhT)(s366109.24.27.64103s点评：在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换 GM g R 2，使计算变得简单，有些教师称其为黄金代换.例 6我国预计在 2007 年 4 月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥 1 号” 。设“嫦娥 1号” 卫星环绕月球做圆周运动，并在此圆轨道上绕行 n 圈，飞行时间为 t。已知月球半径为 R，月球表面的重力加速度为 g。导出飞船在上述圆轨道上运行时离月球表面高度 h 的公式（用 t、 n、 R
6、、 g 表示）例 6解析：设月球质量为 M，探测器质量为 m，引力常量为 G，在圆轨道上运行周期为T，由万有引力定律和牛顿第二定律得 224)()(ThmG由题意得 nt探测器在月球表面上时 mgRMG2由以上各式得，离地面的高度 Rnth324题后反思：本题是一道天体运动方面的试题。综合了万有引力定律、牛顿第二定律、圆周运动等考点，均为主干知识。试题中等难度。本题的亮点是以探月卫星“嫦娥 1 号”为话题引导学生关注科技进展，关注社会进步，是一道很好的试题。（3）求天体的质量、密度例 7继神秘的火星之后，土星也成了全世界关注的焦点！经过近 7 年 35.2 亿公里在太空中风尘仆仆的穿行后，美航
7、空航天局和欧航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器于美国东部时间 2004 年 6 月 30 日（北京时间 7 月 1 日）抵达预定轨道，开始“拜访”土星及其卫星家族。这是人类首次针对土星及其 31 颗已知卫星最详尽的探测！若“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道，在半径为 R 的土星上空离土星表面高 的圆形轨道上绕h土星飞行，环绕 周飞行时间为 .试计算土星的质量和平均密度。nt例 7解析：设“卡西尼”号的质量为 m，土星的质量为 M. “卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供.22)()(ThRMmG由题意 ntT所以： 23)(4th又 3RV得 32)(Gt
8、hnM例 8把地球绕太阳公转看作匀速率圆周运动，轨道平均半径约为 1.5108km，已知万有引力常量 G 6.6710 -11Nm2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少 kg？（结果取一位有效数字）例 8解析 题干给出地球轨道半径：r=1.510 8km，虽没直接给出地球运转周期数值，但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为 365 天，故周期T3652436003.210 7s万有引力提供向心力 rTmrM22)(故太阳质量： 234Gkg2713120.67.534）（ ）（ 21030kg点评 在一些天体运行方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用.如 1在地球表面物体受到地球
9、的引力近似等于重力.地面附近的重力加速度 g 9.8 m/s2；地球自转周期 T=24h，公转周期 T 365 天，月球绕地球运动的周期约为 27 天等.本方法利用的是卫星运动的有关参量（如 r、 T） ，求出的质量 M 是中心天体的， 2而不是卫星本身质量 m，同学们应切记这一点.本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运 3算时，只要按四舍五入的方法代入二位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用.（4） “双星”模型例 9太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统它们运
10、行的原理可以理解为，质量为 M 的恒星和质量为 m 的行星（ Mm） ，在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着如图所示，我们可认为行星在以某一定点 C 为中心、半径为 a 的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星） 设万有引力常量为 G，恒星和行星的大小可忽略不计 （1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道和位置；（2）试计算恒星与点 C 间的距离和恒星的运行速率 v例 9解析： (14 分) (1)恒星运动的轨道和位置大致如图 (圆和恒星位置各 2 分)(2)对行星 m （2 分）2mFR对恒星 M （2 分） M根据牛顿第三定律， F 与 F大小相等由得 （2 分）a对恒星 M （2 分）2
11、2()mMvGR代入数据得 （2 分）a（5）关于天体“解体”的的问题例 10中子星是恒星演变到最后的一种存在形式(1)有一密度均匀的星球，以角速度 绕自身的几何对称轴旋转若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大?(2)蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转 30 周，以此数据估算这颗中子星的最小密度(3)若此中子星的质量约为太阳的质量(210 30 kg)，试问它的最大可能半径是多大?例 10(1) =mR 2， M= R 3，带入得： =2RGm4G432(2) = = kg/m3=1.271014 kg/m3431067.)(（3） M= R3，所以R=
12、 m=1.56105 m31430327.4行星 mCa行星 mCa恒星 M（4 分）（3 分）（3 分）随堂练习：1我国预计在 2007 年 4 月份发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥 1 号” 。设想嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得其周期为 T。飞船在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为 m 的仪器重力为 P。已知引力常量为 G，由以上数据可以求出的量有（ ）A月球的半径 B月球的质量C月球表面的重力加速度 D月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度1解析：万有引力提供飞船做圆周运动的向心力，设飞船质量为 m，有，又月球表面万有引力等于重力， ，两式联立可以224TRMG 月
13、gPRM2求出月球的半径 R、质量 M、月球表面的重力加速度 ；故 A、B、C 都正确。月g答案：ABC。题后反思：测试考点“万有引力定律” 。本题以天体问题为背景，考查向心力、万有引力、圆周运动等知识。这类以天体运动为背景的题目，是近几年高考命题的热点，特别是近年来我们国家在航天方面的迅猛发展，更会出现各类天体运动方面的题。2两颗人造卫星 A、B 绕地球做圆周运动，周期之比为 TA:TB=1:8，则它们的轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）A B:4:1,:2Rv:4:1,2:RvC DBABABAB32006 年 9 月 3 日欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能 1 号”成功撞上月球。已
14、知“智能 1 号”月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，用 m 表示它的质量， h 表示它近月点的高度， 表示它在近月点的角速度， a 表示它在近月点的加速度， R 表示月球的半径， g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能 1 号”的影响。则“智能 1 号”在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于（ ）A ma B m C m D以上结果都不对2)(hRg2)(hR3解析：“智能 1 号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合外力，由牛顿第二定律得， ，故 A 正确。由万有引力定律得， ，又月球表面aF 2)(hRMmGF上， ，由以上两式得 m ，故 B 选项正确；由于“智能
15、 1 号”mgRMG2 F2)(hRg月球探测器环绕月球沿椭圆轨道运动，在近月点上万有引力小于其所需的向心力，故 C 选项错误。答案：AB。题后反思：本题以 2006 年 9 月 3 日欧洲航天局的月球探测器“智能 1 号”撞击月球为背景，考查学生多万有引力定律及牛顿第二定律的理解。试题难度不大，但要求考生有一定的理解能力。4 “探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现 A、 B 两颗天体各有一颗靠近表面飞行的卫星，并测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（ ）A天体 A、 B 表面的重力加速度与它们的半径成正比 B两颗卫星的线速度一定相等C天体 A、 B 的质量一定相等 D天体 A、
16、B 的密度一定相等4AD （由 知，A 正确；由 ，因两颗天体半径 R 不确定，故24TmRg224TRvB 不正确。由 知，C 不正确；由 得 D 正确。故选 AD）22MG23GVM5. 2005 年 10 月 12 日， “神舟”六号飞船成功发射，13 日 16 时 33 分左右，费俊龙在船舱里做“翻筋斗”的游戏。有报道说， “传说孙悟空一个筋斗十万八千里，而费俊龙在 3min里翻了 4 个筋斗，一个筋斗 351km”据此报道求出“神舟”六号在太空预定轨道上运行时，距地面的高度与地球半径之比。 （已知地球半径为 6400km，g 取 10m/s2，结果保留两位有效数字）5 ， 由 smt
17、sv/108.760351433 hRvmMG22)(得 又 RvGMh2g2vgRh203.12g6神舟六号载人飞船在绕地球飞行了 5 圈后变轨，轨道变为距地面高度为 h 的圆形轨道. 已知地球半径为 R，地面附近的重力加速度为 g。求飞船在圆轨道上运行的速度和运行的周期.6解析：（12）设地球质量为 M，飞船质量为 m，圆轨道的半径为 r根据万有引力定律和牛顿第二定律 （2 分）rvG2在地面附近 （2 分） 由已知条件知 r=R+h （1 分）mgRG2求出 （3 分） 由 （2 分）hRgrvvrT求出 （2 分）T)(27两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动，地球半径为
18、 R，a 卫星离地面的高度等于 R，b 卫星离地面的高度为 3R，则：（1）a、b 两卫星的周期之比 Ta:Tb是多少？（2）若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则 a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？7解析：（1 ） 。RrTGMrmGMba42,23332=故（2）两卫星相距最远，则 。nTtab7.024212=81789 年英国著名物理学家卡文迪许首先估算出了地球的平均密度.根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小.11剖析 实际本题是要求进行估算，因而如何挖掘题目中的隐含条件是关键.而我们学过的知识中能与地球质量密度相联系的应首先想到万有引力定律，何况题设中提出了“卡文迪许”呢？解析 设地球质量为 M，地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得：2RGg 1将地球看成均匀球体： 34V 2由 得地球的平均密度 1 2 GRg上式中 、 G、 R 和 g 均为常数，将它们的值代入可得： 5.510 3 kg/m3即地球的平均密度为 5.510 3 kg/m3点评 估算题中往往告诉的已知量很少或者什么量也不告诉，解题时就要求我们灵活地运用一些物理常数，如：重力加速度 g、圆周率 、万有引力恒量 G 等等.
