1、1专题 数列综合考点精要会求简单数列的通项公式和前 n 项和热点分析数列的通项和求和，历来是高考命题的常见考查内容要重点掌握错位相减法，灵活运用裂项相消法，熟练使用等差和等比求和公式，掌握分组求和法知识梳理1.数列的通项 求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数 的变化而变化，哪些因素不变：n分析符号、数字、字母与项数 在变化过程中的联系，初步归纳公式。（2）公式法：等差数列与等比数列。（3）利用 与 的关系求 ：则 （注意：不能忘记讨nSan211nSan论 ）1（4）逐项作差求和法（累加法） ；已知 ，且f(n) 的和可求，)(1fan则求 可用累加法na（5）逐
2、项作商求积法（累积法）; 已知 ，且f(n)的和可求，)2(1nfan求 用累乘法.na（6）转化法 2 几种特殊的求通项的方法（一） 型。1nakb（1）当 时， 是等差数列，1nna1()nab（2）当 时，设 ，则 构成等比数列，求出k()mkm的通项，进一步求出 的通项。namna2例：已知 满足 ，求 的通项公式。na11,23nana（二）、 型。1()kf（1）当 时， ，若 可求和，则可用累加消项的方法。1naf()f例：已知 满足 ，求 的通项公式。n11,(1)nna（2）当 时，可设 ，则 构成等比数列，k1(nnagxkgx()ngx求出 的通项，进一步求出 的通项。（
3、注意 所对应的函数类()nagxa型）例：已知 满足 ，求 的通项公式。n11,2nan（三）、 型。1()f（1）若 是常数时，可归为等比数列。f（2）若 可求积，可用累积法化简求通项。()n例：已知： ，求数列 的通项。112,(2)3nnaana（四）、 型。两边取倒数，可得到 ，令 ，1nnmk 1nkm1nCa则 可转化为 型nC1ab例：已知： ，求数列 的通项。112,()3nna3.数列求和的常用方法：（1）公式法：等差数列求和公式；等比数列求和公式（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.（3）倒序相加法：在数列求
4、和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性3的作用求和（这也是等差数列前 和公式的推导方法）.n（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！） （这也是等比数列前 和公式的推导方法之一）n.（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： 1()1nn1()()nknk ()2()(
5、)2例题精讲:例 1、 （1）已知数列 中， ， ，求na13nan（2）已知数列 中， ， ，求na1an3n例 2、 （1）已知数列 中， , ，求na1nna2n（2）已知数列 中， ， ,求na1nna2例 3、已知数列 中， ， ,求na132nnan例 4 （快速回答）41、已知 满足 ，求通项公式。na11,2na2. 已知 的首项 ，求 通项公式。,nna3、已知 中， ，求数列 通项公式。na112,a4、数列 中， ，求 的通项。n11,(2)nna5、数列 中， ，求 的通项。na11,()nan6、数列 中， ，求 的通项公式。n1,2,nna7、已知 中， ，求 。n
6、a113,nnana8、已知 中， ，求 。n11,2,()nn9、已知 中， ，求 。na11,()nnana例 5 已知数列 的前 n 项和为 ， ， ,等差数nS112()nSN列 中 ，且 ，又 、 、 成等比nb0(*)N1235bab3ab数列.（）求数列 、 的通项公式；na（）求数列 的前 n 项和 Tn.b例 6 已知等比数列 的公比 ， 是 和 的一个等比中项， 和a1q421a42a的等差中项为 ，若数列 满足 （ ） 3a6nblognn*N（）求数列 的通项公式；na（）求数列 的前 项和 bnS5例 7 在数列 中， ， 且 求 ， 的值；na1312na(n *)
7、N2a3证明：数列 是等比数列，并求 的通项公式；求数列 的前 项nn n和 nS针对训练1若数列 na满足： ，则 5a_；前 8 项的和11,2Nna8S_（用数字作答） 2已知数列 的前 项和公式为 ，则他的通项公式n 21nS=_na3若数列 的前 项和 ，则此数列的通项公式为na20(3)n， ， ，_；数列 中数值最小的项是第_项a4在数列 中， ，则此数列的第二、三、四项分别为n11,nn_， _5若数列 的前 项和公式为 ，则 等于_na3log1nS5a6在数列 中， ， ，则121()anA B C D2l()l2l1ln7已知数列的通项 ，则其前 项和 _5n nS8数列
8、 的前 项和为 ，若 ，则 等于naS1()na5A1 B C D6309、已知数列 的首项 ， ，na2111na3,2（1）证明：数列 是等比数列；n（2）求数列 的前 项和 。nanS6答案: 例 1 (1) (2) 例 2 (1) (2) 32na23na1na(1)2n例 3 1n针对训练：1 16 215 2 3 3 4 ,12na1n2341,naa5 6 A 7 8 B 9 （1）略 （2）3log(51)2n(1)2nnS高考链接1（05 北京文）数列 an的前 n 项和为 Sn，且a1=1， ，n =1，2，3，求1nS（I）a 2，a 3，a 4 的值及数列a n的通项公
9、式；（II） 的值.622（10 北京文） （本小题共 13 分）已知 为等差数列，且 ， 。|na36a0（）求 的通项公式；|（）若等差数列 满足 ， ，求 的前 n 项和公|nb182123ba|nb式3（07 北京） （本小题共 13 分）数列 中， （ 是常数， ） ，且 成公比na121nac n， ， ， 123a， ，7不为 的等比数列1（I）求 的值；c（II）求 的通项公式na4（全国）已知数列 的首项 ， ，n321a11na3,2（1）证明：数列 是等比数列；n（2）求数列 的前 项和 。nanS答案1 解：（I）由 a1=1， ，n=1 ，2，3， ，得1nnS， ，
10、23S314()9a，4126()7aa由 （n2） ，得 （n2） ，133nnSa143na又 a2= ，所以 an= (n2),4() 数列a n的通项公式为 ；21()3nn（II）由（I）可知 是首项为 ，公比为 项数为 n 的等比数242,na 24()3列， = .2462na 221()3()137n2（北京文） （共 13 分）解：（）设等差数列 的公差 。nad因为 36,0所以 解得125da10,2ad8所以 10()21nan（）设等比数列 的公比为bq因为 21234,8ab所以 即 =38qq所以 的前 项和公式为nb1()4(3)nnnbqS3（共 13 分）解：（I） ， ， ，12ac32ac因为 ， ， 成等比数列，3所以 ，2()()cc解得 或 0当 时， ，不符合题意舍去，故 123a2c（II）当 时，由于n，21c，3a ，1()nc所以 (1)2()2nac又 ， ，故 1c (23)nan， ，当 时，上式也成立，n所以 2(12)a， ，4（1 ）略 （2） (1)nnS
