1、重温圆的历史名题，体验数学文化罗志华 1 张映姜 2（1 广东省湛江教育学院 2 湛江师范学院数科院 广东湛江 524048）生活中无处不有圆，无时不见圆。我们对圆很熟悉。用圆、玩圆，我国如“没有规矩，不成方圆” ， “人有悲欢离合，月有阴睛圆缺”等好多成语中都有一字“圆” 。民间活动、大型活动也有用圆表示的习俗。如圆圆的五环，孕育奥运精神，牵动全球，连通世界。国际上有圆桌会议，与会者围圆桌而坐，共同协商，平等交流。哥伦布绕地球一圈，发现地球是圆的。圆是最基本的图形，也是最简单的曲线。我们知道，小学讲圆的周长、面积、对称性。中学也讲圆，主要讲圆的几何性质，圆的方程，圆与直线、圆与圆的位置关系等
2、。可是在中小学数学教材中，我们几乎没看到人类有关圆的活动，察觉不到人在圆中的痕迹。而事实上，自古至今，人类对圆给予了充分的关注，早已研究发现太阳、地球是圆的，留下了求地球半径、周长、圆周率、面积经典问题，也流传着化圆为方、欧拉圆、拿破仑四等分圆等许多历史名题，这一些都深深地打上人类活动的烙印，体现了人类对圆的执着、对圆的热情，反映着人类对圆的欣赏，平面中最美的图形是圆，立体图形中最美的是球。我们会发现，在人类的研究过程中，圆成为数学模型，去刻划、描述天体物体的运动规律，其中也给予我们许多经典的历史名题，展示了人类在圆的研究过程中巧妙的思维方式和思维方法，重温这些圆的历史名题，既能学习前人绝妙的
3、思维，又能继承人类的探索精神，既让我们惊叹人类对圆的执着热爱，又能给我们提供对圆美的欣赏，让我们滋润于数学文化丰富的营养之中。1人类天体研究繁衍出许多经典名题古时侯，很多人猜测地球是圆的。泰勒斯认为，地球乃是浮在水面上的一块圆盘。亚里士多德（公元前 384-前 322）从月蚀推测地球是圆的。他在论天中明确写道： 在月蚀时，它的外线总是弯曲的；既然月蚀是由于地球插入（太阳与月亮）其间，那么，它外线的那种形状就应是地球的表面所造成的，所以，地球必定是圆球形（史宁中，2009） 。公元前 320，欧几里得的几何原本里用圆去描述球，半圆绕着直径旋转一周而回到初始位置时，这样描绘的形状就是球。古希腊学者
4、埃拉托色尼认为，太阳离地球很远，太阳光应平行地照在地球上，而地球上有的地方有影子，有的地方没有影子，这就说明地球是圆的。那么地球的周长、半径是多少。这是早期数学家努力去解决的问题。（1） 埃拉托色尼是第一个验证地球是圆的，并准确计算地球周长（鲁品越 , 1992）。如图一，希伦（ S）在亚里山大（A）的正南方，点 O 是地球的球心。如图一，仲夏的某天，太阳在希伦 S 的正天顶上，太阳能映在水井里；同一时刻，在亚里山大城 A 测得的太阳光对铅垂线 ON 的角，即 PAN 是 ，05.7一般认为太阳光线 AP、SQ 是平行的。因此， QON=PAN= ， 是0.的 ，地球周长是弧 AS 长的 48
5、 倍。他们测得了 A、 S 两地的距离，于036481（一）O（二）是地球周长大约是 3.9 万公里。这与现代较准确的结果 4 万公里相差无几。（2） 10 世纪,中亚细亚阿尔婆罗尼曾创造一个简洁而非常有新意的方法,去测量地球半径.如图二。用现代的记号表示是:, 即有coshRRcos1h其中 h 是测量出人所在位置的高度,R 是地球的半径.（3） 10 世纪，阿拉伯的比鲁尼三角学方面造诣很深,也曾创造性地给出了测量地球半径的方法。首先用带有刻度的正方形 ABCD 测出山高,其中 .GTCDETFACD再在山顶 T 处悬挂一直径为 SP 可以转动的圆环 MPNS,如图.从山顶 T 观测地平线上
6、一点 I,测得俯角.OI由于 = , ,H09sinH09tanGT.IG得到 ,从而算出地球半径T09tanIIQ2数学家与化圆为方化圆为方是历史上在近两千年内尺规作图三大重要问题之一。曾研究指出，化圆为方的问题，可以通过转化为正多边形而获得解决。如果把圆能化为正多边形，而正多边形容易化为正方形了。这似乎为尺规作图中化圆为方问题提供解决思路。化圆为方的另一思路是，把半月形或皮刀匠形能化归为直线形，问题也能获得解决。在这样的研究思路中，出现了希波克拉底的半月形和阿基米德皮刀匠形这两个最有名的问题。（1） 希波克拉底与半月形用圆规、直尺：化圆为方即作一正方形，使其面积等于给定圆形的面积。三等分角
7、即三等分弧。公元前 430，享有盛名的希波克拉底，利用圆的特征把曲线面积化为直线形面积的方法，把两个半月形的面积化为三角形的面积。如图四，等腰直角三角形ABC，以 AB,BC,AC 为直径分别作三个半圆，整个图形除去以AB 为直径的半圆，得到两个半月形。利用毕达哥拉斯定理得到，AB 为直径的半圆的面积等于 BC 为直径的半圆面积与 AC 为直径的半圆的面积之和，各自除去 AB 为直径的半圆上弦 BC、AC 所对的弓形面积，则直角三角形 ABC 的面积等于两个半月形的面积。（2） 阿基米德与皮匠刀形皮匠刀形即三个半圆间的曲线图形。如图五，阿基米德首先研究并提出命题：大半径圆内含两个相切的小半圆。
8、三个半圆间的曲线图形，即皮匠刀形的面积等于两个小半（三）CB O A（四）（五）PA BN（六）圆公切线长为直径的圆的面积。因为 AB2=AN2+BN2+2ANBN= AN2+BN2+2PN2所以 AB2AN 2BN 22PN 2再由圆与圆的面积比等于其半径平方之比易得证命题成立。（3） 阿基米德等与圆的正多边形最伟大的数学家之一阿基米德，对圆的研究给予了极大的关注，阿基米德是用圆内接正 n 方形和圆的外切正 n 边形来估算的。如图六。其圆的度量中研究认为，圆的面积等于一直角三角形的面积，此直角三角形的两条直角边分别等于圆的半径和圆周；圆的面积与其直径上的正方形面积之比，近似地等于 11：14
9、. 圆周比直径的三倍大，所大部分小于直径的 ，大于直径 的。71710除此以外，我国古代数学家祖冲之也是利用圆的正多边形去估算圆周率的，并给出了精确度非常高的圆周率的近似值。圆的正多边形的尺规作图也是最有诱惑力的问题之一。正多边形尺规作图与费尔马数还有紧密关系。大数学家高斯也研究正十七边形的尺规作图问题并成功获得解决。3开普勒巧妙求圆的面积圆的面积是历来是人类非常关心的问题，寻求求圆面积的方法。开普勒对圆进行深入的研究。开普勒把半径为 r 的圆分割为无数个相同的微小扇形，每个微小的扇形近似看作小等腰三角形，无数个小等腰三角形的底边 x i构成圆周。如图（三） ，于是，圆的面积就是2121rxr
10、xSiii 也有记载认为， 开普勒采用了一种有趣的方法：将圆等分为 2n 个小扇形，如图七，然后把 2n 个小扇形剪开放在一起，拼成如图八所示的近似平行四边形，平行四边形的高近似等于圆的半径 r，平行四边形的底约等于半圆的弧长 r，于是圆的面积等于近似平行四边形的面积r 2，从而解决了圆的面积问题。通过对圆的分割、拼凑求其面积，我们可以发现人类是如何猜测圆的面积。4拿破仑四等分圆尺规作图深受数学家及广大数学爱好者的喜欢。更为甚者，有人对作图工具提出更加严格的限制，竟然提出单尺、单规进行几何作图。其中，军事、政治才能都显赫于世的法国皇帝、统帅拿破仑，对单规作图十分感兴趣，利用单规对圆四等分。传说
11、他竟然在马背上颠簸出用单规四等分圆的妙法。具体作法：令O 的半径为 R. 如图九。(1) 在O 上任取一点 A,以 R 为半径,自点 A 起,顺次截取三段相等的弧 AB、BC、CD.(2) 分别以 A、D 为圆心.以 AC 为半径作弧，两弧交于点 E.（八）（七）CnC5C4C3C2C1 CBnB5 B3B4B2 B1B(六)（九）HGEDC BO ANMLKHGFEDBCA（十二）(3) 以 A 为圆心,OE 为半径作弧交O 于 G、H 两点，则 A、G、D、H 四点即为O 的四等分点。并证明如下:连 AC、DC 和 AE、OE 易见 AD 是O 的直径，且 . 30C在 RTACD 中,可
12、知 则,R3C.RE在 RTAOE 中,算出 .2O2而 .EAHGA、G、D、H 为O 的四等分点。5数学家与共点圆从古到今，五点圆、九点圆等共点圆问题一直受到大家关注的，经久不衰。由此而引出了欧拉圆、泰勒圆、Miquel 圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆等。还提出了泰勒斯定理、五圆定理、Miquel 定理。当然，最有名的还是数九点圆，它是一个著名的几何学问题。（1）欧拉圆欧拉圆又叫做九点圆、费尔巴哈圆、或庞斯莱圆，如图（十） ，拖动三角形 ABC 任一顶点，三边的中点,三高的垂足、顶点与垂心连线希的中点总是九点在同一个圆上。公元 1882 年，K.W. 费尔巴哈证明了三角形的九点圆与其内切圆及旁
13、切圆之间存在充满魅力的关系，证明了三角形的九点圆同时切于三角形的内切圆和它的三个旁切圆（单墫，2002） 。（2）Miquel 圆在任意五角星 ABCDE 中，如图十一，AJF,BGF,CGH,DHI,EIJ 的外接圆依次相交于点 N、M 、O、L、K。那么，点 N、M、O、L 、K 五点圆。即就是五圆定理，此圆称为 Miquel圆。有很多人对它感兴趣，如张景中教授在计算机怎样解几何题给出了证法，江泽民先生等为对五点共圆进行证明，还特意向张景中院士请教。在出席澳门回归一周年庆典时，江先生对澳门的中学生给了这道五点共圆题。这又引起包括中学生在内的很多人的兴趣。对五个点共圆的证明，著名数学家丘成桐
14、说，他也要想半小时才行。毕竟是历史名题，曾有很多人关注过，自然在一些书中，如单墫的数学名题词典第 429 页中就能找到五点共圆的证明。（3）数学家 Louis Brand 与八点圆1944 年，数学家 Louis Brand 提出了八点圆呢。在四边形ABCD 中，ACBD，E、F 、 G、H 分别为AB、BC 、CD、DA 的中点，由 E、F、G、H 身对边作垂线，垂足分别是 K、L、M、N,于是 E、F、G 、H、K、L 、M 、N八点共圆。如图十二。（十）（十一）K NMGOIL HJ FABCDE（4）阿波罗尼奥斯问题生于公元前 255 年的阿波罗尼奥斯，在专著论相切中提出了一个著名的问
15、题：给定三个元素，点、直线或圆，求作一圆通过三点（若为三点） ，或与给定的各直线或圆相切。过不在同一直线上三点作圆，或作一圆与三条两两相交的直线相切，即作三角形外接圆、作三角形内切圆，都是其中的问题。公元 4 世纪，希腊学者 Pappus 研究过论相切 ，把阿波罗尼奥斯提出的问题划分为十种情况，记述详尽。对于作一圆与另外三个圆相切的问题，极为复杂，此即就是阿波罗尼奥斯问题(沈康身，2002) 。从公元前 200 一直到十七世纪都使许多数学家为之绞尽脑汁。韦达（1540-1603）在其专著Apollonius 问题 ，牛顿（ 1643-1727）在广义算术中都进行了较深入的研究。后来，蒙根（Mo
16、nge） 、高斯等数学家也进行深入研究，给出了众多的解法。日本的寺阪英孝、我国的沈康身先生对这三个圆的位置关系进行细致的研究。他们把“作一圆与另外三个圆相切的问题”给出了极其有趣的分类，用相交（记 J)、相切（记 Q） 、相离（记L）各种不同的排列形式去考虑。因而，三个圆的位置关系共有十种： LLL JJJ QQQ LJQ LLJ LLQ QQL QQL JJQ JJL每种情况又可分为若干子目。日本的寺阪英孝把阿波罗尼奥斯问题分为 49 个子目，我国的沈康身先生把上面分类进行改编，增补为 51 个子目，这种分类是否详尽无遗？沈康身先生还认为，这有待进一步深入探索。具体对阿波罗尼奥斯问题的研究，
17、可翻阅历史数学名题赏析 （沈康身著） 。参考文献：1 沈康身. 历史数学名题赏析，上海：上海教育出版社，2002：588-597，6496562 史宁中.数学思想概论，长春：东北师范大学出版社，2009：29-323 鲁品越.西方科学历程及其理论透视 , 北京：中国人民大学出版社,1992：694 美T.帕帕斯著，张远南等译.数学趣闻集锦，上海：上海教育出版社，1998：77，145146.5 单墫.数学名题词典,南京：江苏教育出版社，2002:428-445，956-9716 英斯科特著，侯德润等译.数学史，桂林：广西师范大学出版社，2002：1107 波尔德.著名几何问题及其解法:尺规作图的历史M.北京：高等教育出版社，2008：29-44.8 龚德行，张维忠.圆的文化意义，中学数学教学参考，2004（11）9 陈美英，张映姜.利用历史文化，加强三角教学，数学教学研究，2009（10）
